Phương pháp giải và bài tập về Các bài toán tính tổng theo quy luật đầy đủ chọn lọc

Quý Lê Xuân Ngày: 20-08-2024 Lớp 7

Tải xuống 5 5.4 K 29

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập bộ bài tập Cách giải các bài toán tính tổng theo quy luật Toán lớp 7, tài liệu bao gồm 5 trang, tuyển chọn bài tập Cách giải các bài toán tính tổng theo quy luật có phương pháp giải chi tiết và bài tập, giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Tài liệu Cách giải các bài toán tính tổng theo quy luật gồm các nội dung chính sau:

A. Phương phương giải

- tóm tắt lý thuyết ngắn gọn và 4 ví dụ minh họa đa dạng của Cách giải các bài toán tính tổng theo quy luật.

B. Bài tập luyện tập

- gồm 15 bài tập tự luyện có đáp án và lời giải chi tiết giúp học sinh tự rèn luyện Cách giải các bài toán tính tổng theo quy luật.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

Cách giải các bài toán tính tổng theo quy luật (ảnh 1)

CÁC BÀI TOÁN TÍNH TỔNG THEO QUY LUẬT

A. Phương pháp giải

Ví dụ 1: $1 + 2 + 3 + ... + 99$ (khoảng cách bằng 2)

Số các số hạng $\frac{99 - 1}{2} + 1 = 50$ số hạng

Tổng $= \frac{(99 + 1) .50}{2}$

Chú ý:

$\begin{array}{l} A = 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + (n - 1) (n + 1) = n / 6 [(n - 1) . (2 n + 1)] \\ A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + (n - 1) n = \frac{1}{3} n (n - 1) (n + 1) \\ A = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) + n = n (n + 1) : 2 \\ A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + (n - 2) (n - 1) n = \frac{1}{4} (n - 2) (n - 1) n (n + 1) \\ A = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + 99^{2} + 100^{2} = n (n + 1) (2 n + 1) : 6 \end{array}$

Tính tổng dãy số A có các số hạng mà số đứng sau gấp số đứng trước một số không đổi n:

Phương pháp:

- Tính A.n

- Tính rồi suy ra tổng A

Ví dụ 2: $A = 2 + 2^{2} + 2^{3} + ... + 2^{100}$ (ở đây $n = 2$ : số đứng sau gấp số đứng trước 2 đơn vị)

Ta có: $2. A = 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + ... + 2^{101}$ (nhân 2 vế với n = 2)

$2 A - A = 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + ... + 2^{101} - (2 + 2^{2} + 2^{3} + ... + 2^{100})$ (chú ý: $2 A - A = A$ )

$A = 2^{101} - 2$

Tính tổng các phân số có tử số không đổi, mẫu số là tích của 2 số có hiệu không đổi.

Phương pháp:

Phân tích tử số thành hiệu 2 số dưới mẫu

Ví dụ 3:

$\begin{array}{l} A = \frac{2}{1.3} + \frac{2}{3.5} + \frac{2}{5.7} + ... + \frac{2}{97.99} = \frac{3 - 1}{1.3} + \frac{3 - 2}{3.5} + \frac{7 - 5}{5.7} + ... + \frac{99 - 97}{97.99} \\ = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} ...... + \frac{1}{97} - \frac{1}{99} = 1 - \frac{1}{99} = \frac{98}{99} \end{array}$

Tính tổng các phân số có tử số không đổi, mẫu số là tích của 3 số có hiệu số cuối trừ số đầu không đổi:

Phương pháp:

Phân tích tử số thành hiệu của hai số ( số cuối - số đầu ) ở dưới mẫu

Ví dụ 4:

$\begin{array}{l} S_{n} = \frac{2}{1.2.3} + \frac{2}{2.3.4} + ... + \frac{2}{98.99.100} \\ = \frac{3 - 1}{1.2.3} + \frac{4 - 2}{2.3.4} + ... + \frac{100 - 98}{98.99.100} = \frac{3}{1.2.3} - \frac{1}{1.2.3} + ... + \frac{100}{98.99.100} - \frac{98}{98.99.100} \\ = \frac{1}{1.2} - \frac{1}{2.3} + \frac{1}{2.3} - ... + \frac{1}{98.99} - \frac{1}{99.100} = \frac{1}{1.2} - \frac{1}{99.100} \end{array}$

B. Bài tập luyện tập

Bài 1: Tính

$\begin{array}{l} A = 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + 99.101 \\ A = 1.4 + 2.5 + 3.6 + ... + 99.102 \end{array}$

(Hướng dẫn: thay thừa số 4, 5, 6,...102 bằng $(2 + 2), (3 + 2), (4 + 2) ... (100 + 2)$

$A = 4 + 12 + 24 + 40 + ... + 19404 + 19800$ (Hướng dẫn: Chia 2 vế cho 2)

$A = 1 + 3 + 6 + 10 + ... + 4851 + 4950$ (Nhân 2 vế với 2)

Bài 2: Chứng minh rằng 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7+ ... + n = $\frac{n(n+1)}{2}$ đúng với mọi số tự nhiên $n\geq 1$

Lời giải chi tiết:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7+ ... + n = $\frac{n(n+1)}{2}$ (1)

Bước 1: Với n = 1 ta có: VT = VP = 1 ⇒ (1) đúng với n = 1

Bước 2: Giả sử (1) đúng với k, $k \epsilon N$ ; $k\geq 1$ tức là:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + .. + k = $\frac{k(k+1)}{2}$

Ta phải chứng minh (1) đúng với k + 1 tức là:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + .. + k + (k + 1) = $\frac{[(k+1)(k+1)+1]}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$ (2)

Ta có:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + k + (k + 1)

= ( 1 + 2 + 3 + ... + k) + k + 1

= $\frac{k(k+1)}{2}+ k + 1$

= $\frac{k^{2}+ 3k + 2}{2}$

= $\frac{(k+1)(k+2)}{2}$

= (2) ⇒ dpcm

Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi $n \geq 1$

Bài 3: Chứng minh rằng với $x \neq k2\pi , n \geq 1$

$sin x + sin 2x + sin 3x + ... + sin nx = \frac{sin\frac{nx}{2}.sin\frac{(n+1)x}{2}}{sin\frac{x}{2}}$

Lời giải chi tiết:

Với n = 1 ta có: VT = sin x; $VP = \frac{sin\frac{x}{2}.sinx}{sin\frac{x}{2}} = sin x = VT \Rightarrow (1)$ đúng

Giả sử (1) đúng với n = $k \geq1$ tức là:

sin x + sin2x + sin3x + sin4x + ... + sinkx = $\frac{sin\frac{kx}{2}.sin\frac{(k+1)x}{2}}{sin\frac{x}{2}}$ (2)

Ta sẽ chứng minh (1) đúng với n = k + 1 tức là:

sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ... + sinkx + sin( k+1)x = $\frac{sin\frac{(k+1)x}{2}.sin\frac{(k+2)x}{2}}{sin\frac{x}{2}}$

Tức là:

$sinx + sin2x + sin3x + ... + sin kx + sin(k+1)x= \frac{sin\frac{kx}{2}.sin\frac{(k+1)x}{2}}{sin\frac{x}{2}}sin(k+1)x$

$= \frac{sin\frac{kx}{2}.sin\frac{(k+1)x}{2}+sin[(k+1)x].sin\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}}$

= $\frac{sin\frac{kx}{2}.sin\frac{(k+1)x}{2}.cos\frac{(k+1)x}{2}.sin\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}}$

= $sin\frac{(k+1)x}{2}.[\frac{sin\frac{kx}{2}+2.cos\frac{(k+1)x}{2}.sin\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}}]$

= $\frac{sin\frac{(k+1)x}{2}.sin\frac{(k+2)x}{2}}{sin\frac{x}{2}}$

= VP ⇒ dpcm

Vậy đẳng thức (1) đúng với mọi $x \neq k2\pi , n\geq 1$

Bài 4: Tính tổng dãy số

a. A = $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+ ... + \frac{1}{n(n+1)}$

b. B = $(1-\frac{1}{2^{2}})(1-\frac{1}{3^{3}}).(1-\frac{1}{4^{2}})... (1-\frac{1}{n^{2}})$

Lời giải chi tiết:

a. Ta có

$\frac{1}{k(k+1)}= \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$

⇒ $A = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+ ... + \frac{1}{n(n+1)}$

= $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3}+ .. + \frac{1}{n}- \frac{1}{n+1}= 1 - \frac{1}{n+1}$

b. $B = (1-\frac{1}{2^{2}})(1-\frac{1}{3^{3}}).(1-\frac{1}{4^{2}})... (1-\frac{1}{n^{2}})$

Ta có: $a - \frac{1}{a^{2}}=\frac{(a-1)(a+1)}{a^{2}}$

$B= (1-\frac{1}{2^{2}})(1-\frac{1}{3^{3}}).(1-\frac{1}{4^{2}})... (1-\frac{1}{n^{2}})$

= $\frac{1.3}{2^{2}}.\frac{2.4}{3^{2}}.\frac{3.5}{4^{2}}... \frac{(n-1)(n+1)}{n^{2}}= \frac{n+1}{2n}$

Xem thêm

Trang 1

Trang 2

Trang 3

Trang 4

Trang 5

Tài liệu có 5 trang. Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống

Từ khóa :

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Tìm kiếm