Trả lời nhanh
Vẽ hình phụ là thêm điểm hoặc đường (kéo dài đoạn thẳng, nối hai điểm, kẻ đường song song, kẻ phân giác, lấy điểm sao cho hai đoạn bằng nhau) để tạo ra các tam giác bằng nhau hoặc các góc, đoạn thẳng có quan hệ với nhau. Điều quan trọng là phải vẽ có mục đích, dựa vào giả thiết và kết luận, không vẽ tuỳ tiện.
Vì sao phải vẽ thêm hình phụ?
Có những bài chứng minh mà hình gốc “thiếu mắt xích”: hai đoạn cần chứng minh bằng nhau nằm ở hai nơi xa nhau, hoặc kết luận có dạng tổng như BC = AD + BD mà ba điểm A, D, B không thẳng hàng. Khi đó ta bổ sung đường phụ để nối các mắt xích lại.
Mục đích thường gặp:
- Đưa các yếu tố đã cho (cạnh, góc) về cùng một hình để chúng liên hệ được với nhau.
- Tạo đoạn thẳng (hoặc góc) thứ ba làm “cầu nối” giữa hai đại lượng cần so sánh.
- Tạo đoạn thẳng bằng tổng, hiệu, gấp đôi hoặc bằng một nửa đoạn cho trước.
- Tạo ra cặp tam giác bằng nhau hoặc một hình để áp dụng được định lí đã biết (tam giác cân, tam giác đều, đường trung bình…).
Các loại đường phụ hay dùng
| Cách vẽ | Khi nào dùng | Thu được gì |
|---|---|---|
| Kéo dài đoạn thẳng, lấy điểm sao cho đoạn mới bằng đoạn cho trước | Có trung điểm, có tổng hai đoạn, cần “nhân đôi” đoạn | Tam giác bằng nhau (thường c.g.c) |
| Trên cạnh dài lấy điểm sao cho bằng cạnh ngắn | Có tia phân giác, hoặc cần so sánh hiệu hai cạnh | Hai tam giác bằng nhau đối xứng qua phân giác |
| Nối hai điểm | Cần một cạnh chung hoặc một tam giác mới | Tam giác để dùng bất đẳng thức, tính góc |
| Qua một điểm kẻ đường thẳng song song | Cần các cặp góc so le trong, đồng vị bằng nhau | Góc bằng nhau, tam giác cân |
| Kẻ tia phân giác, hoặc dựng góc bằng góc cho trước | Bài có góc đặc biệt (20°, 40°, 100°…) | Tam giác cân, tam giác đều |
Mẹo nhớ: đọc kết luận trước. Thấy “gấp đôi/một nửa” → nghĩ tới trung điểm và lấy điểm đối xứng. Thấy “tổng hai đoạn” → nghĩ tới “gộp” hai đoạn thành một hoặc “tách” một đoạn thành hai phần. Thấy “phân giác” → nghĩ tới lấy hai điểm trên hai cạnh cách đều đỉnh.
Ví dụ 1: Chứng minh đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn
Đề. Cho tam giác ABC cân tại A, góc A bằng 100°. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Chứng minh BC = AD + BD.
Phân tích. Tam giác cân có góc ở đỉnh 100° nên hai góc đáy bằng 40°, suy ra góc DBC = 20°. Kết luận là một tổng nên ta “tách” BC thành hai đoạn, trong đó một đoạn bằng BD và đoạn còn lại bằng AD.
Lời giải.
- Ta có góc B = góc C = 40°, góc ABD = góc DBC = 20°.
- Trên tia BC lấy điểm E sao cho BE = BD. Tam giác BDE cân tại B, góc ở đỉnh 20° nên góc BED = góc BDE = 80°.
- Trong tam giác ABD: góc A = 100°, góc ABD = 20° nên góc ADB = 60°. Góc A là góc lớn nhất nên BD > AB, tức BE > BA. Vì vậy điểm F trên BC với BF = BA nằm giữa B và E.
- Xét tam giác ABD và FBD: BA = BF, góc ABD = góc FBD, BD chung nên hai tam giác bằng nhau (c.g.c). Suy ra AD = FD và góc BFD = góc BAD = 100°.
- Do đó góc DFE = 180° − 100° = 80°. Tam giác DFE có góc DFE = góc DEF = 80° nên cân tại D, suy ra DF = DE. Vậy AD = DE.
- Trong tam giác DEC: góc DEC = 180° − 80° = 100°, góc C = 40° nên góc EDC = 40° = góc C. Tam giác EDC cân tại E, suy ra EC = ED = AD.
- Vậy BC = BE + EC = BD + AD. ∎
Nhận xét. Cả hai đường phụ (điểm E và điểm F) đều lấy trên BC với độ dài mượn từ BD và BA, nhờ đó các góc 100°, 80°, 40° “tự lộ” ra tam giác cân.
Ví dụ 2: Kéo dài trung tuyến để so sánh độ dài
Đề. Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC. Chứng minh AM < (AB + AC) : 2.
Lời giải. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Xét tam giác AMB và DMC: MA = MD, góc AMB = góc DMC (đối đỉnh), MB = MC nên hai tam giác bằng nhau (c.g.c). Suy ra CD = AB.
Trong tam giác ACD, theo bất đẳng thức tam giác: AD < AC + CD = AC + AB. Mà AD = 2·AM nên 2·AM < AB + AC, tức AM < (AB + AC) : 2. ∎
Vì sao vẽ thế? Việc nhân đôi AM tạo ra đoạn AD “gấp đôi” đúng như kết luận cần, đồng thời “chuyển” cạnh AB sang vị trí CD để ghép cùng AC thành một tam giác.
Ví dụ 3: Kẻ đường thẳng song song
Đề. Cho tam giác ABC cân tại A. Điểm D nằm trên cạnh AB, điểm E nằm trên tia đối của tia CA sao cho BD = CE. DE cắt BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của DE.
Lời giải. Qua D kẻ đường thẳng song song với AC, cắt BC tại K.
- DK // AC nên góc DKB = góc ACB (đồng vị). Mà góc ACB = góc ABC (tam giác ABC cân) nên góc DKB = góc DBK. Tam giác DBK cân tại D, suy ra DK = DB = CE.
- DK // CE nên góc KDI = góc CEI (so le trong); lại có góc DIK = góc EIC (đối đỉnh).
- Xét hai tam giác DKI và ECI: góc KDI = góc CEI, DK = EC, góc DIK = góc EIC nên chúng bằng nhau (g.c.g). Suy ra ID = IE.
Vậy I là trung điểm của DE. ∎
Lỗi sai thường gặp
- Vẽ xong mà không nói rõ cách vẽ. Bài làm phải ghi: “Trên tia … lấy điểm … sao cho …” hoặc “Qua … kẻ … song song với …”.
- Vẽ đường phụ mà không dùng được. Sau khi vẽ, hãy kiểm tra xem giả thiết nào đã gắn được vào hình mới.
- Quên xét vị trí điểm. Ví dụ 1 cần giải thích điểm F nằm giữa B và E trước khi tính góc DFE.
- Chứng minh bằng hình vẽ mắt thấy. Điểm thẳng hàng, góc bằng nhau phải được chứng minh, không “nhìn ra”.
Bài luyện tập có đáp án
Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 10 cm, M là trung điểm BC. Chứng minh 2 cm < AM < 8 cm.
Gợi ý – đáp án: Lấy D trên tia đối của MA sao cho MD = MA, được CD = AB = 6 cm và AD = 2AM. Trong tam giác ACD: AC − CD < AD < AC + CD, tức 4 < 2AM < 16, vậy 2 < AM < 8.
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, góc C = 30°. Chứng minh AB = BC : 2.
Gợi ý – đáp án: Trên tia đối của tia AB lấy D sao cho AD = AB. Hai tam giác vuông ABC và ADC bằng nhau (hai cạnh góc vuông) nên CB = CD và góc D = góc B = 60°. Tam giác BCD cân có một góc 60° nên đều, BD = BC. Mà BD = 2AB nên AB = BC : 2.
Bài 3. Cho tam giác ABC có AB < AC, AD là tia phân giác của góc A (D thuộc BC). Chứng minh DC − DB < AC − AB.
Gợi ý – đáp án: Trên AC lấy E sao cho AE = AB. Hai tam giác ABD và AED bằng nhau (c.g.c) nên DE = DB. Trong tam giác DEC: DC − DE < EC, tức DC − DB < AC − AE = AC − AB.
Luyện thêm ở đâu?
Bạn có thể xem thêm các chuyên đề cùng mạch kiến thức: chứng minh bằng phản chứng và tính số đo góc ở các trang tương ứng bên dưới: Chứng minh bằng phản chứng hình học lớp 7, Tính số đo góc hình học lớp 7 và Tuyển chọn một số bài toán nâng cao lớp 7.
Câu hỏi thường gặp
Vẽ hình phụ là gì?
Là việc thêm điểm, đoạn thẳng hoặc đường thẳng vào hình đã cho để tạo ra tam giác bằng nhau, góc bằng nhau hoặc đoạn thẳng có quan hệ với nhau, nhờ đó chứng minh được kết luận.
Khi nào nên kéo dài trung tuyến gấp đôi?
Khi đề bài có trung điểm của một đoạn và kết luận liên quan đến độ dài gấp đôi, một nửa hoặc so sánh tổng hai cạnh. Lấy điểm đối xứng giúp tạo cặp tam giác bằng nhau theo trường hợp c.g.c.
Bài có tia phân giác thì vẽ hình phụ thế nào?
Thường lấy hai điểm trên hai cạnh của góc sao cho cách đều đỉnh, hoặc lấy điểm trên cạnh dài sao cho bằng cạnh ngắn. Khi đó hai tam giác tạo ra bằng nhau (c.g.c) vì có chung tia phân giác.
Làm sao biết đường phụ mình vẽ là hợp lý?
Sau khi vẽ, kiểm tra xem các giả thiết đã cho có được gắn vào hình mới chưa và có tạo ra tam giác bằng nhau hoặc cặp góc bằng nhau hay không. Nếu chưa dùng được giả thiết nào, nên thử cách vẽ khác.