Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề phương trình tích, tài liệu bao gồm 17 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tài liệu gồm có:

I. Lý thuyết

II. Bài tập

CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẤN

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Phương trình tích (một ẩn) là phương trình có dạng \(A\left( x \right).B\left( x \right)... = 0\).    (1)

Trong đó \(A\left( x \right)\), \(B\left( x \right)\),…là các đa thức.

Để giải (1), ta chỉ cần giải từng phương trình \(A\left( x \right) = 0\),\(B\left( x \right) = 0\),…rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.

Các phườn pháp phân tích đa thức thành nhân tử có vai trò quan trọng trong việc đưa phương trình về dạng phương trình tích. Cách đặt ẩn phụ cũng hay được sử dụng để trình bày cho lời giải gọn gàng hơn.

II. BÀI TẬP

A. DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

Vận dụng các phương pháp phân tích thành nhân tử và cách giải phương trình tích đưa phương trình đã cho về các phương trình bậc nhất đã biết cách giải.

Ví dụ 1.Giải phương trình \(y\left( {y - 16} \right) - 297 = 0\).

Ví dụ 2.Giải phương trình \(\left( {2x - 3} \right)\left( {4 - x} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\).

Ví dụ 3.Giải phương trình \(\left( {4{x^2} - 9} \right)\left( {{x^2} - 25} \right) = 0\).

Ví dụ 4.Giải các phương trình sau:

Ví dụ 5.Giải các phương trình sau:

a. \({x^2} - 7x + 6 = 0\);

b. \({x^2} + 6x + 5 = 0\).

Ví dụ 6. Giải các phương trình sau:

a. \[4{x^2} + 4x + 1 = {x^2}\];

b. \(4{x^2} - 1 = \left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 5} \right)\).

Ví dụ 7. Giải các phương trình sau:

a. \(\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - 9 = 0\);

b. \({x^3} - 7{x^2} = 3{x^2} - 12x\).

Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:

a. \({\left( {2x - 5} \right)^2} = {\left( {x + 2} \right)^2}\);

b. \({\left( {x + 1} \right)^2} = 4\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\).

Ví dụ 9. Giải các phương trình sau:

a. \({\left( {{x^2} - 5x} \right)^2} + 10\left( {{x^2} - 5x} \right) + 24 = 0\);

b. \(x\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 42\).

Ví dụ 10. Giải phương trình: \({\left( {2x + 5} \right)^2} = {\left( {x + 3} \right)^2}\)

Ví dụ 11. Giải phương trình: \(\left( {{x^4} - 16} \right)\left( {{x^3} - 1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\).

LỜI GIẢI VÍ DỤ

Ví dụ 1. Giải phương trình \(y\left( {y - 16} \right) - 297 = 0\).

Lời giải. Ta có

\(y\left( {y - 16} \right) - 297 = 0\)

\( \Leftrightarrow {y^2} - 16y - 297 = 0\)

\( \Leftrightarrow {y^2} - 27y + 11y - 297 = 0\)

\( \Leftrightarrow y\left( {y - 27} \right) + 11\left( {y - 27} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {y - 27} \right)\left( {y + 11} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 27 = 0}\\{y + 11 = 0}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm \(y = 27\) và \(y =  - 11\).

Ví dụ 2.Giải phương trình \(\left( {2x - 3} \right)\left( {4 - x} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\).

Lời giải

Nghiệm số của phương trình đã cho là nghiệm số của:

\(\left( {2x - 3} \right) = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}\);

Hoặc \(4 - x = 0 \Rightarrow x = 4\);

Hoặc \(x + 3 = 0 \Rightarrow x =  - 3\).

Vậy phương trình có ba nghiệm \(x = \frac{3}{2}\),\(x = 4\)và \(x =  - 3\).

Ví dụ 3.Giải phương trình \(\left( {4{x^2} - 9} \right)\left( {{x^2} - 25} \right) = 0\).

Lời giải

Ta có thể viết:

\(4{x^2} - 9 = \left( {2x - 3} \right)\left( {2x + 3} \right)\),

\({x^2} - 25 = \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)\).

Do đó: \(\left( {2x - 3} \right)\left( {2x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) = 0\).

Từ đó: \(x =  \pm \frac{3}{2}\) và \(x =  \pm 5\).

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:

a. \(0,5x\left( {x - 3} \right) = \left( {x - 3} \right)\left( {2,5x - 4} \right)\);

b. \(\frac{3}{7}x - 1 = \frac{1}{7}x\left( {3x - 7} \right)\).

Lời giải

a. \(0,5x\left( {x - 3} \right) = \left( {x - 3} \right)\left( {2,5x - 4} \right)\).

Phương trình đã cho tương đương với

\(\left( {x - 3} \right)\left( {2,5x - 4} \right) - 0,5x\left( {x - 3} \right) = 0\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {2,5x - 4 - 0,5x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {2x - 4} \right) = 0\end{array}\).

Hoặc \(x - 3 = 0\), hoặc \(2x - 4 = 0\). Từ đó ta tìm được \(x = 3\) và \(x = 2\).

b. \(\frac{3}{7}x - 1 = \frac{1}{7}x\left( {3x - 7} \right)\).

Phương trình đã cho tương đương với

\(\frac{1}{7}x\left( {3x - 7} \right) - \frac{1}{7}\left( {3x - 7} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {3x - 7} \right)\left( {\frac{1}{7}x - 1} \right) = 0\).

Hoặc \(3x - 7 = 0\), hoặc \(\frac{1}{7}x - 1 = 0\). Từ đó ta tìm được \(x = \frac{7}{3}\) hoặc \(x = 7\).

Vậy nghiệm của phương trình ban đầu là \(x = \frac{7}{3}\) hoặc \(x = 7\).

Ví dụ 5.Giải các phương trình sau:

a. \({x^2} - 7x + 6 = 0\);

b. \({x^2} + 6x + 5 = 0\).

Lời giải

a.  Phương trình đã cho tương đương với

\({x^2} - x - 6x + 6 = 0\), hay \(x\left( {x - 1} \right) - 6\left( {x - 1} \right) = 0\).

Tức là \(\left( {x - 1} \right)\left( {x - 6} \right) = 0\). Từ đó ta tìm được \(x = 1\) hoặc \(x = 6\).

b.  Phương trình đã cho tương đương với

\({x^2} + x + 5x + 5 = 0\), hay \(x\left( {x + 1} \right) + 5\left( {x + 1} \right) = 0\).

Tức là \(\left( {x + 1} \right)\left( {x + 5} \right) = 0\). Từ đó ta tìm được \(x =  - 1\)hoặc \(x =  - 5\).

Vậy phương trình có nghiệm \(x =  - 1\)hoặc \(x =  - 5\).

Ví dụ 6. Giải các phương trình sau:

a. \[4{x^2} + 4x + 1 = {x^2}\];

b. \(4{x^2} - 1 = \left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 5} \right)\).

Lời giải

a.   Phương trình đã cho tương đương với

\({\left( {2x + 1} \right)^2} = {x^2}\), hay \({\left( {2x + 1} \right)^2} - {x^2} = 0\).

Tức là \(\left( {x + 1} \right)\left( {3x + 1} \right) = 0\).

Từ đó ta tìm được \(x =  - 1\)hoặc \(x =  - \frac{1}{3}\).

Vậy phương trình có nghiệm \(x =  - 1\)hoặc \(x =  - \frac{1}{3}\).

b.   Phương trình đã cho tương đương với

\(\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) = \left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 5} \right)\), hay \(\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 5 - 2x + 1} \right) = 0\).

Tức là \(\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\). Từ đó ta tìm được \(x = 4\) hoặc \(x =  - \frac{1}{2}\).

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 4\) hoặc \(x =  - \frac{1}{2}\).

Ví dụ 7. Giải các phương trình sau:

a. \(\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - 9 = 0\);

b. \({x^3} - 7{x^2} = 3{x^2} - 12x\).

Lời giải

a.  Xét phương trình \(\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - 9 = 0\).

Phương trình đã cho tương đương với \({\left( {x + 1} \right)^2} - 9 = 0\), hay \(\left( {x + 1 - 3} \right)\left( {x + 1 + 3} \right) = 0\), tức là \(\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\).

Từ đó ta tìm được \(x = 2\), hoặc \(x =  - 4\).

Vậy nghiệm của phương trình ban đầu là \(x = 2\) và \(x =  - 4\).

b.  Xét phương trình \({x^3} - 7{x^2} = 3{x^2} - 12x\).

Phương trình đã cho tương đương với

\({x^3} - 7{x^2} - 3{x^2} + 12 = 0\)

\( \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 10x + 12} \right) = 0\) hay \(x\left( {x - 4} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\).

Từ đó ta tìm được \(x = 0\) hoặc \(x = 3\) hoặc \(x = 4\).

Vậy nghiệm của phương trình ban đầu là \(x = 0\), \(x = 3\),\(x = 4\).

Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:

a. \({\left( {2x - 5} \right)^2} = {\left( {x + 2} \right)^2}\);

b. \({\left( {x + 1} \right)^2} = 4\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\).

Lời giải

a.  Phương trình đã cho tương đương với

\({\left( {2x - 5} \right)^2} - {\left( {x + 2} \right)^2} = 0\), hay \(\left( {2x - 5 - x - 2} \right)\left( {2x - 5 + x + 2} \right) = 0\).

Tức là \(\left( {x - 7} \right)\left( {3x - 3} \right) = 0\). Từ đó ta tìm được \(x = 1\) hoặc \(x = 7\).

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 1\) và \(x = 7\).

b.  Phương trình đã cho tương đương với

\({\left( {2\left( {x - 1} \right)} \right)^2} - {\left( {x + 1} \right)^2} = 0\), hay \(\left( {2x - 2 + x + 1} \right)\left( {2x - 2 - x - 1} \right) = 0\).

Tức là \(\left( {3x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0.\) Từ đó ta tìm được \(x = 3\) hoặc \(x = \frac{1}{3}\).

\(\)