Phương pháp giải về Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu 2023 (lý thuyết và bài tập)

Hoài Phạm Thị Thu Ngày: 08-03-2024 Lớp 12

Tải xuống 72 6.2 K 71

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu bài tập Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Logarit Toán lớp 12, tài liệu bao gồm 72 trang, tuyển chọn 116 bài tập Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải chi tiết, đáp án và lời giải, giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Tài liệu Lý thuyết, bài tập về Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu có đáp án gồm các nội dung sau:

- Tóm tắt ngắn gọn các kiến thức cần nhớ về Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

- 116 câu hỏi trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết giúp học sinh luyện tập giải các bài tập Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

Bài giảng Toán 12: Mối quan hệ nón - trụ - cầu

MẶT TRỤ, MẶT NÓN – MẶT CẦU

MẶT NÓN	Các yếu tố mặt nón:	Một số công thức:
Hình thành: Quay $∆$ vuông SOM quanh trục SO , ta được mặt nón như hình bên với: $\{\begin{cases} h = S O \\ r = O M \end{cases}$	Đường cao: h = SO . ( SO cũng được gọi là trục của hình nón) Bán kính đáy: r = OA = OB = OM Đường sinh: l = SA = SB = SM Góc ở đỉnh: $\hat{A S B}$ Thiết diện qua trục: $∆$ SAB cân tại S Góc giữa đường sinh và mặt đáy: $\hat{S A O} = \hat{S B O} = \hat{S M O}$	Chu vi đáy: p=2 $π$ r Diện tích đáy: $S_{đ} = {πr}^{2}$ Thể tích: $V = \frac{1}{3} h S_{đ} = \frac{1}{3} h {πr}^{2}$ (liên tưởng đến thể tích khối chóp) Diện tích xung quanh: $S_{x q} = πrl$ Diện tích toàn phần $S_{t p} = S_{x q} + S_{đ} = πrl + {πr}^{2}$
MẶT TRỤ	Các yếu tố mặt trụ:	Một số công thức:
Hình thành: Quay hình chữ nhật ABCD quanh đường trung bình OO' , ta có mặt trụ như hình bên	Đường cao: h = OO' Đường sinh: l = AD = BC . Ta có: l = h . Bán kính đáy: r = OA = OB = O'C =O'D. Trục (∆) là đường thẳng đi qua hai điểm O. O' Thiết diện qua trục: Là hình chữ nhật ABCD	Chu vi đáy: p = $2 πr$ Diện tích đáy: $S_{đ} = {πr}^{2}$ Thể tích khối trụ: $V = h . S_{đ} = h {πr}^{2}$ Diện tích xung quanh: $S_{x q} = 2 πrh$ Diện tích toàn phần: $S_{t p} = S_{x q} + 2 S_{đ} = 2 πrh + 2 {πr}^{2}$
MẶT CẦU	Một số công thức:	Mặt cầu ngoại tiếp đa diện Mặt cầu nội tiếp đa diện
Hình thành: Quay đường tròn tâm I , bán kính $R = \frac{A B}{2}$ quanh trục AB , ta có mặu như hình vẽ	Tâm I, bán kính R =IA =IB = IM Đường kính AB = 2R . Thiết diện qua tâm mặt cầu: Là đường tròn tâm I , bán kính R . Diện tích mặt cầu: $S = 4 {πR}^{2}$ Thể tích khốí cầu: $V = \frac{4 {πR}^{3}}{3}$	Mặt cầu ngoại tiếp đa diện là mặt cầu đi qua tất cả đỉnh của đa diệnđó. Mặt cầu nội tiếp đa diện là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của đa diện đó

A. LÝ THUYẾT

I. MẶT NÓN

1. Mặt nón tròn xoay

Trong mặt phẳng (P), cho 2 đường thẳng d, Δ cắt nhau tại O và chúng tạo thành góc β với 0^o < β ≤ 90^o . Khi quay mp(P) xung quanh trục Δ với góc β không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O (hình 1).

- Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.

- Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2β gọi là góc ở đỉnh.

2. Hình nón tròn xoay

Cho ΔOIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2).

- Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón.

- Hình tròn tâm I, bán kính r = IM là đáy của hình nón.

3. Công thức diện tích hình nón và thể tích khối nón

Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và đường sinh là l thì có:

- Thể tích khối nón: Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải .

4. Tính chất:

- TH1: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp(P) đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

+ Nếu mp(P) cắt mặt nón theo 2 đường sinh ⇒ Thiết diện là tam giác cân.

+ Nếu mp(P) tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.

- TH2: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp(Q) không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

+ Nếu mp(Q) vuông góc với trục hình nón ⇒ giao tuyến là một đường tròn.

+ Nếu mp(Q) song song với 2 đường sinh hình nón giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.

+ Nếu mp(Q) song song với 1 đường sinh hình nón giao tuyến là 1 đường parabol.

II. MẶT TRỤ

1. Mặt trụ tròn xoay

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Trong mp(P) cho hai đường thẳng Δ và l song song nhau, cách nhau một khoảng r. Khi quay mp(P) quanh trục cố định Δ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ.

- Đường thẳng Δ được gọi là trục.

- Đường thẳng l được gọi là đường sinh.

- Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ.

2. Hình trụ tròn xoay

Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ.

- Đường thẳng AB được gọi là trục.

- Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh.

- Độ dài đoạn thẳng AB = CD = h được gọi là chiều cao của hình trụ.

- Hình tròn tâm A, bán kính r = AD và hình tròn tâm B, bán kính r = BC được gọi là 2 đáy của hình trụ.

- Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ.

3. Công thức tính diện tích hình trụ và thể tích khối trụ

Cho hình trụ có chiều cao là và bán kính đáy bằng r, khi đó:

- Diện tích xung quanh của hình trụ: S_xq = 2πrh

- Diện tích toàn phần của hình trụ: S_tp = S_xq + 2.S_Đay = 2πrh + 2πr²

- Thể tích khối trụ: V = B.h = πr²h

4. Tính chất:

- Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp(α) vuông góc với trục Δ thì ta được đường tròn có tâm trên α và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.

- Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp(α) không vuông góc với trục Δ nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng 2r/sinφ, trong đó φ là góc giữa trục Δ và mp(α) với 0⁰ < φ < 90⁰.

- Cho mp(α) song song với trục Δ của mặt trụ tròn xoay và cách Δ một khoảng d.

+ Nếu d < r thì mp(α) cắt mặt trụ theo hai đường sinh ⇒ thiết diện là hình chữ nhật.

+ Nếu d = r thì mp(α) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.

+ Nếu d > r thì mp(α) không cắt mặt trụ.

III. MẶT CẦU

1. Định nghĩa

Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R gọi là mặt cầu tâm O, bán kính R, kí hiệu là: S(O; R). Khi đó S(O; R) = {M|OM = R}

2. Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Cho mặt cầu S(O; R) và một điểm A bất kì, khi đó:

- Nếu OA = R ⇔ A ∈ S(O; R). Khi đó OA gọi là bán kính mặt cầu. Nếu OA và OB là hai bán kính sao cho OA→ = -OB→ thì đoạn thẳng AB gọi là một đường kính của mặt cầu.

- Nếu OA < R ⇔ A nằm trong mặt cầu.

- Nếu OA > R ⇔ A nằm ngoài mặt cầu.

⇒ Khối cầu S(O; R) là tập hợp tất cả các điểm M sao cho OM ≤ R.

3. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu S(O; R) và một mp(P). Gọi d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến mp(P) và H là hình chiếu của O trên mp(P) ⇒ d = OH.

- Nếu d < R ⇔ mp(P) cắt mặt cầu S(O; R) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mp(P) có tâm là H và bán kính Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải (hình a).

- Nếu d > R ⇔ mp(P) không cắt mặt cầu S(O; R) (hình b).

- Nếu d = R ⇔ mp(P) có một điểm chung duy nhất. Ta nói mặt cầu S(O; R) tiếp xúc mp(P). Do đó, điều kiện cần và đủ để mp(P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) là s(O, (P)) = R (hình c).

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

4. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu S(O; R) và một đường thẳng Δ. Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng Δ và d = OH là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến đường thẳng Δ. Khi đó:

- Nếu d > R ⇔ Δ không cắt mặt cầu S(O; R).

- Nếu d < R ⇔ Δ cắt mặt cầu S(O; R) tại hai điểm phân biệt.

- Nếu d = R ⇔ Δ và mặt cầu tiếp xúc nhau (tại một điểm duy nhất). Do đó: điều kiện cần và đủ để đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu là d = d(O, Δ) = R.

Định lí: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R) thì:

- Qua có vô số tiếp tuyến với mặt cầu S(O; R).

- Độ dài đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.

- Tập hợp các điểm này là một đường tròn nằm trên mặt cầu S(O; R).

5. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

• Diện tích mặt cầu: S_C = 4πR².

• Thể tích mặt cầu: V_C = (4/3)πR³.

B. BÀI TẬP

Câu 1: Tính diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy a và đường cao a√3 .

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 2: Hình trụ (H) có diện tích xung quanh là 6π(cm²) và thể tích khối trụ là 9π(cm³). Chiều cao của hình lăng trụ là :

A. 1(cm)

B. 3(cm)

C. 1/2 (cm)

D. 2(cm)

Câu 3: Cho hình nón tròn xoay có đường cao 12cm và đường kính đáy 10cm. Độ dài đường sinh của hình nón là :

A. √119 (cm)

B. 17(cm)

C. 15(cm)

D. 13(cm)

Câu 4:Một hình nón có đường kính đáy là 2a√3, góc ở đỉnh là 120° . Tính thể tích của khối nón đó theo a .

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 5:Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S, O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a√2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 60° . Diện tích xung quanh S_xq của hình nón và thể tích V của khối nón tương ứng là:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 6: Một hình trụ có bán kính đáy bằng a và có thiết diện qua trục là một hình chữ nhật có diện tích là 2a² . Diện tích xung quanh của hình trụ là :

A. 4πa²

B. 3πa²

C. 2πa²

D. πa²

Câu 7:Tính thể tích của khối trụ biết chu vi đáy của hình trụ đó bằng 6π (cm) và thiết diện đi qua trục là một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 10 (cm) .

A. 48π (cm³)

B. 24π (cm³)

C. 72π (cm³)

D. Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12 (cm³)

Câu 8: Cho khối trụ có diện tích toàn phần là 6πa² và thể tích là 2πa³. Bán kính đáy của hình trụ là :

A. 3a/2

B. a

C. 2a/3

D. 2a

Câu 9: Tam giác ABC vuông đỉnh A có ∠ ABC = 60^o và AB = a. Quay miền trong và các cạnh của tam giác ABC quanh trục AB thì ta được khối nón (N). Thể tích của khối nón (N) là :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông cạnh a và cạnh bên bằng 2a. Thể tích khối nón có đỉnh là tâm O của hình vuông A'B'C'D' và đáy là hình tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 11:Cho hình nón đỉnh S với đáy là đường tròn tâm O bán kính R . Gọi I là một điểm nằm trên mặt phẳng đáy sao cho OI = R√3 . Giả sử A là điểm nằm trên đường tròn (O; R) sao cho OA ⊥ OI . Biết rằng tam giác SAI vuông cân tại S . Khi đó, diện tích xung quanh S_xq của hình nón và thể tích V của khối nón là:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với đáy và SA = 2a.Góc giữa cạnh bên SB và đáy là 45^o . Bán kính mặt cầu tâm S và tiếp xúc với BD theo a là :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 13: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và góc giữa SA và đáy là 60^o . Bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) là :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông đỉnh A và BC = a. Cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng (ABC), SC tại với mặt phẳng (ABC) một góc là 60^o. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là :

A. a√3

B. a√2

C. a√3/2

D. a

Câu 15: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AD = a; AB' = 2a. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ACB’D’ là :

A. 5πa²

B. 3πa²

C. 5πa²/4

D. 5πa²/3

Câu 16: Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A'B'C' có AA' = 2AB = 2a . Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 17: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A₁B₁C₁ có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng a. Các đáy của lăng trụ nội tiếp các đường tròn đáy của khối trụ (H). Thể tích của khối trụ là :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 18: Cho hình tứ diện ABCD có hai tam giác ΔBCD, ΔACD là hai tam giác đều cạnh a và nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện là :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 19: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC , mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc bằng 30^o và SA = 2a. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12