Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, tài liệu bao gồm 37 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Kiến thức cần nhớ:

1. Khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng

Khoảng cách giữa một điểm và một mặt phẳng là khoảng cách từ điểm đó tới hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng đó.

\(d(M,(\alpha )) = M{M^\prime }\) với \({M^\prime }\) là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng \((\alpha )\).

1.1. Khoảng cách từ điểm M bất kì đến mặt phẳng \((\alpha )\) có chứa đường cao của hình chóp (lăng trụ...)

Phương pháp:

Bước 1: Quy khoảng cách từ điểm M về điểm A thuộc mp đáy.

Bước 2: Tìm giao tuyến của mp đáy với \(mp(\alpha )\)

Bước 3: Từ A dựng AH vuông góc với giao tuyến tại H. Khi đó \(AH = d(A;(\alpha ))\)

* Công thức tính tỉ lệ khoảng cách: \(\frac{{d(M,mp(P))}}{{d(A,mp(P))}} = \frac{{MO}}{{AO}}\)

1.2. Khoảng cách từ hình chiếu vuông góc A của đỉnh S đến mp bên \((\alpha )\)

Phương pháp:

Bước 1: Tìm giao tuyến của \((\alpha )\) với mp đáy.

Bước 2: Từ A dựng AH vuông góc với giao tuyến tại H.

Bước 3: Nối SH, dựng AK vuông góc  SH tại K. Khi đó \(AK = d(A;(\alpha ))\).

1.3. Khoảng cách từ điểm bất kì đến mp bên.

Phương pháp: Quy khoảng cách từ điểm đó đến mp bên về khoảng cách từ điểm là hình chiếu của đỉnh S đến mp bên.

2. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng này tới mặt phẳng kia.

3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này tới mặt phẳng kia.

4. Khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

4.1. Khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta  \bot a,\Delta  \bot b}\\{\Delta  \cap a = A,\Delta  \cap b = B}\end{array} \Rightarrow d(a,b) = AB} \right.\)

4.2. Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

* Cách 1:Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại.

\(d(a,b) = d(a,(\alpha )){\rm{.V?i }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(\alpha ) \supset b}\\{a//(\alpha )}\end{array}} \right.\)

Cách 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoẳng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

\(d(a,b) = d((\alpha ),(\beta )){\rm{. V?i }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(\alpha ) \supset a}\\{(\beta ) \supset b}\\{(\alpha )//(\beta )}\end{array}} \right.\)

* Cách 3: Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b.

Bài tập mẫu

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, \(AB = 2a,AD = DC = CB = a\), SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=3a (minh họa như hình bên dưới). Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM bằng

A. \(\frac{{3a}}{4}\)

B. \(\frac{{3a}}{2}\)

C. \(\frac{{3\sqrt 3 a}}{{13}}\)

D. \(\frac{{3\sqrt 3 a}}{{13}}\)

Phân tích hướng dẫn giải

1. Dạng toán: Đây là dạng toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

2. Hướng giải:

B1: Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM bằng khoảng cách từ đường thẳng DM đến mặt phẳng (SBC).

B2: Tính khoảng cách từ DM đến mặt phẳng (SBC) thông qua khoảng cách từ điểm A đến (SBC).

B3: Tính và kết luận

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải

Chọn A

Do M là trung điểm của AB

\( \Rightarrow BM = AM = \frac{1}{2}AB = a = AD = BC = CD\)

\( \Rightarrow \) nên tứ giác A D C M ; B C D M là hình thoi.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow DM//BC \Rightarrow DM//(SBC)\\ \Rightarrow d(DM,SB) = d(DM,(SBC)) = d(M,(SBC)){\rm{. }}\end{array}\)

Mặt khác \(AM \cap (SBC) \equiv B \Rightarrow \frac{{d(M,(SBC))}}{{d(A,(SBC))}} = \frac{{BM}}{{BA}} = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow d(M,(SBC)) = \frac{1}{2}d(A,(SBC))(1)\)

Xét tam giác ABC, có đường trung tuyến  vuông tại\(C \Rightarrow AC \bot BC\)

Trong tam giác vuông SAC dựng \(AH \bot SC\).

Lại có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AC}\\{BC \bot SA\quad ({\rm{ do }}SA \bot (ABCD))}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow BC \bot (SAC) \Rightarrow BC \bot AH\).

Suy ra: \(AH \bot (SBC) \Rightarrow AH = d(A,(SBC))\).

Xét tam giác vuông ABC tại C có \(AC = \sqrt {A{B^2} - B{C^2}}  = a\sqrt 3 \)

Tam giác SAC vuông tại A nên ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AH = \frac{{AS \cdot AC}}{{\sqrt {A{S^2} + A{C^2}} }} = \frac{{3a \cdot \sqrt 3 a}}{{\sqrt {9{a^2} + 3{a^2}} }} = \frac{{3a}}{2}\\ \Rightarrow d(A,(SBC)) = \frac{{3a}}{2}\end{array}\)

Từ (1)\( \Rightarrow d(M,(SBC)) = \frac{{3a}}{4}{\rm{. }}\)

Vậy\({\rm{ }}d(DM,SB) = d(M,(SBC)) = \frac{{3a}}{4}{\rm{. }}\)

Bài tập tuơng tự và phát triển:

Câu 37.1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có \(AB = 2a;AD = 3a\). Hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là H thuộc AB sao cho \(HB = 2HA\). Tính khoảng cách từ D đến (SHC).

A. \(\frac{{9\sqrt {97} }}{{97}}a\)

B. \(\frac{{2\sqrt {85} }}{{11}}a\).

C. \(\frac{{a\sqrt {85} }}{{11}}\).

D. \(\frac{{a\sqrt {97} }}{{97}}\).

Lời giải

Chọn A

Dựng \(DK \bot HC\) tại \({\rm{K}}\).

Ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{DK \bot HC}\\{DK \bot SH}\end{array} \Rightarrow DK \bot (SHC) \Rightarrow DK = d(D;(SHC))} \right.\).

\(HC = \sqrt {B{H^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{4a}}{3}} \right)}^2} + {{(3a)}^2}}  = \frac{{\sqrt {97} }}{3}a.\)

Khi đó

$$\begin{gathered} S_{△HDC}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}=\frac{1}{2}DK.HC \\ \Rightarrow DK=\frac{S_{ABCD}}{HC}=\frac{6a^2}{\frac{\sqrt{97}a}{3}}=\frac{9\sqrt{97}}{97}a \end{gathered}$$.

Câu 37.2: Cho hình chóp S,ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại \(A,AB = a,AC = a\sqrt 3 \). Tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SAC).

A. \(d = \frac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\).

B. \(d = a\).

C. \( \cdot d = \frac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}.\)

D. \(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Lời giải

Chọn C

Gọi H là trung điểm của BC, suy ra \(SH \bot BC \Rightarrow SH \bot (ABC)\).

Gọi K là trung điểm AC, suy ra \(HK \bot AC\).

Kè \(HE \bot SK(E \in SK)\).

Khi đó

\(\begin{array}{l}d(B,(SAC)) = 2d(H,(SAC)) = 2HE\\ = 2 \cdot \frac{{SH.HK}}{{\sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }} = \frac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}\end{array}\).