Bài toán 2. Chứng minh rằng các tiếp tuyến của mặt cầu song song với một đường thẳng cố định luôn nằm trên một mặt trụ xác định.

Giải

Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng d. Gọi \[\Delta \] là đường thẳng đi qua O và song song với d.

Nếu l là tiếp tuyến của mặt cầu và \[l//d\] thì \[l//\Delta \] và l cách A một khoảng không đổi R.

Vậy l nằm trên mặt trụ có trục là \[\Delta \] và có bán kính bằng R.

Bài toán 3. Cho hai điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho diện tích tam giác MAB bằng k không đổi.

Giải

Hạ MH vuông góc với AB.

Ta có: \[k = {S_{MAB}} = \frac{1}{2}AB.MD \Rightarrow MH = \frac{{2k}}{{AB}}\] là số không đổi.

Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ có trục là đường thẳng AB, bán kính \[R = \frac{{2k}}{{AB}}\].

Bài toán 4. Một hình trụ có bán kính R và chiều cao \[R\sqrt 3 \].

a) Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ.

b) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30°. Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.

Giải

a) \[{S_{xq}} = 2\pi R.R\sqrt 3  = 2\sqrt 3 \pi {R^2}\]

\[ = 2\sqrt 3 \pi {R^2} + 2\pi {R^2} = 2\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\pi {R^2}\]

\[V = \pi {R^2}.R\sqrt 3  = \sqrt 3 \pi {R^3}\].

b) Gọi O và \[O'\] là tâm của hai đường tròn đáy. Gọi \[AA'\] là đường sinh của hình trụ thì \[O'A' = R,AA' = R\sqrt 3 \] và góc \[\widehat {BAA'}\] bằng 30°.

Vì \[OO'//mp\left( {ABA} \right)\] nên khoảng cách giữa \[OO'\] và AB bằng khoảng cách giữa \[OO'\] và \[mp\left( {ABA'} \right)\].

Gọi H là trung điểm \[BA'\] thì khoảng cách đó bằng \[O'H\].

Tam giác \[BA'A\] vuông tại \[A'\] nên: \[BA' = AA'\tan 30^\circ  = R\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} = R\].

Do đó \[BA'O'\] là tam giác đều vậy khoảng cách \[O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}\].

Bài toán 5. Cho một khối trụ có bán kính đáy \[R = 5\](cm) và khoảng cách giữa hai đáy là 7(cm). Người ta cắt khối trụ đó bằng một mặt phẳng song song với trục của khối trụ và cách trụ một khoảng 3(cm). Tính diện tích của thiết diện.

Giải

Gọi tâm của hai đáy là O và \[O'\].

Thiết diện khi cắt khối trụ là hình chữ nhật \[AA'B'B\].

Gọi K là trung điểm của AB

Ta có \[OK \bot AB \Rightarrow OK \bot AA' \Rightarrow OK \bot \left( {AA'B'B} \right)\].

Vậy OK là khoảng cách từ trục \[OO'\] tới mặt phẳng thiết diện, tức là \[OK = 3\].

Trong tam giác vuông OKA:

\[\begin{array}{l}K{A^2} = O{A^2} - O{K^2}\\ = {5^2} - {3^2} = 16\\ \Rightarrow KA = 4,AB = 8\end{array}\].

Vậy diện tích của thiết diện \[AA'B'B\] là:

\[S = AB.BB' = 8.7 = 56\left( {c{m^2}} \right)\].

Bài toán 6. Cho hình trụ có bán kính R và chiều cao cũng bằng R. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là dây cung của hai đường tròn đáy, các cạnh AD và BC không phải là đường sinh của hình trụ. Tính diện tích của hình vuông đó.

Giải

Gọi \[C'\] là hình chiếu của C trên mặt đáy chứa AB thì\[AB \bot BC'\] do đó \[AC'\] là đường kính của đường tròn đáy.

Từ các tam giác vuông \[ABC'\] và \[CBC'\], ta có:

\[B{C'^2} = A{C'^2} - A{B^2} = 4{R^2} - A{B^2}\]

\[B{C'^2} = B{C^2} - C{C'^2} = A{B^2} - {R^2}\]

Suy ra: \[2A{B^2} = 5{R^2}\],

Vậy diện tích của hình vuông \[S = A{B^2} = \frac{5}{2}{R^2}\].

Bài toán 7. Trên hai đáy của hình trụ có đường cao gấp đôi bán kính đáy, ta lấy hai bán kính chéo nhau, đồng thời tạo với nhau một góc là 30°. Biết rằng đoạn thẳng nối hai đầu mút của hai bán kính không đi qua tâm đường tròn có độ dài là a.

a) Tính tang của góc hợp trục và đoạn thẳng qua 2 mút đó.

b) Tính thể tích của khối trụ.

Giải

a) Gọi bán kính của hình trụ là R, hai bán kính chéo nhau là \[OA'\] và \[O'D\].

Vẽ đường sinh DA thì: \[g\left( {OO',A'D} \right) = g\left( {AD,A'D} \right) = \widehat {ADA'} = \alpha \]

Trong tam góc \[AOA'\] cân tại O:

\[A{A'^2} = 2{R^2} - 2{R^2}\cos 30^\circ \]

\[ = \left( {2 - \sqrt 3 } \right){R^2} \Rightarrow AA' = \sqrt {2 - \sqrt 3 } R\]

Tam giác \[ADA'\] vuông tại A nên: \[D{A'^2} = A{D^2} + A{A'^2}\]

 \[\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} = {\left( {2R} \right)^2} + \left( {2 - \sqrt 3 } \right){R^2}\\ \Rightarrow {a^2} = \left( {6 - \sqrt 3 } \right){R^2}\\ \Rightarrow R = \frac{a}{{\sqrt {6 - \sqrt 3 } }}\end{array}\]

Ta có: \[{h^2} = A{D^2} = D{A'^2} - A'{A^2}\]

\[\begin{array}{l} = {a^2} - \left( {2 - \sqrt 3 } \right).\frac{{{a^2}}}{{6 - \sqrt 3 }} = \frac{{4{a^2}}}{{6 - \sqrt 3 }}\\ \Rightarrow h = 2.\frac{{a\sqrt {6 - \sqrt 3 } }}{{6 - \sqrt 3 }}\end{array}\].

Do đó \[\tan \alpha  = \frac{{AA'}}{{AD}} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{2}\].

b) Thể tích của khối trụ là:

 \[\begin{array}{l}V = \pi .{R^2}h\\ = \pi .\frac{{{a^2}}}{{6 - \sqrt 3 }}.2.\frac{{a\sqrt {6 - \sqrt 3 } }}{{6 - \sqrt 3 }}\\ = \frac{{2\pi \sqrt {6 - \sqrt 3 } {a^3}}}{{{{\left( {6 - \sqrt 3 } \right)}^2}}}\end{array}\]