Áp dụng hệ quả của định lí Ta – lét với FG//HT ta có:

FG//HT ⇒ $\frac{EF}{ET}=\frac{EG}{HE}$ = EG/HE ⇔ ET = $\frac{\left(EF.HE\right)}{EG}$ = $\frac{\left(3.3\right)}{2}$ = 4,5

Chọn đáp án A.

Ta có:

Cả 3 đáp án A, B, C đều sai.

Chọn đáp án D.

Ta có:

+ $\frac{SL}{LK}=\frac{HI}{HK}$ → SH//LI

+ $\frac{SL}{SK}=\frac{HI}{HK}$ → SH//LI

Chọn đáp án B.

Ta có: $\frac{ED}{BC}\Rightarrow \frac{ED}{BC}=\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5}$

Chọn đáp án C.

Vì điểm M nằm giữa hai điểm A và B nên:

MB = AB – AM = 4,5 - 1,5 = 3cm

Ta có:

Do đó, đường thẳng MN không song song với BC.

Chọn đáp án A

Do M nằm giữa A và B nên: AB = AM + MB = 13 + 11 = 24 cm

Theo hệ quả định lí Ta let ta có:

Chọn đáp án C

Do N nằm giữa A và C nên: NC = AC - AN = 13,5 - 6 = 7,5cm

Ta có:

Suy ra: MN // BC ( định lí Ta let đảo)

Theo hệ quả định lí ta let ta có;

Chọn đáp án B

Điểm M nằm giữa A và B nên: AB = AM + MB = 4 + 8 = 12cm

Áp dụng hệ quả định lí Ta let ta có;

Chọn đáp án C

Xét tam giác MNP có QR // NP , áp đụng hệ quả định lí Ta- let ta có:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Chọn đáp án D

Ta có:

Vì MN// BC nên theo hệ quả định lí Ta let ta có:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Do đó, tỉ số chu vi tam giác AMN và ABC là $\frac{1}{3}$

Chọn đáp án A

II. Bài tập tự luận có giải

Lời giải

Lời giải

Theo định lý Ta-lét:

Vậy cả 4 khẳng định đã cho đều đúng.

Lời giải

Vì DE // AC, áp dụng định lý Talet, ta có: 

Lời giải

Ta có: ED ⊥ AB, AC ⊥ AB ⇒ DE // AC (từ vuông góc đến song song), áp dụng định lý Talet, ta có: 

⇔ x² + 6x – 27 = 0

Vậy x = 3

Lời giải

Áp dụng định lý Ta-lét:

Bài 6: Tìm các cặp đường thẳng song song trong hình 13 và giải thích vì sao chúng song song.

Lời giải:

a) Xét hình 13a) : MN // AC.

⇒ MN // AB (Theo định lý Ta-let đảo).

b) Xét hình 13b) : AB // A’B’ // A”B”.

Ta có:

⇒ A’B’ // A”B” (Hai góc so le trong bằng nhau).

Lại có:

Vậy ta có AB//A’B’//A”B”.

Bài 7 Tính các độ dài x, y trong hình 14.

Lời giải:

Bài 8

a) Để chia đoạn thẳng AB thành ba đoạn thẳng bằng nhau, người ta đã làm như hình 15.Hãy mô tả cách làm trên và giải thích vì sao các đoạn thẳng AC, CD, DB bằng nhau?

b) Bằng cách làm tương tự, hãy chia đoạn thẳng AB cho trước thành 5 đoạn bằng nhau. Hỏi có cách nào khác với cách làm như trên mà vẫn có thể chia đoạn thẳng AB cho trước thành 5 đoạn thẳng bẳng nhau?

Lời giải:

a) - Mô tả cách làm:

+ Vẽ đoạn thẳng PQ song song với AB, PQ có độ dài bằng 3 đơn vị.

+ E, F nằm trên PQ sao cho PE = EF = FQ = 1. Xác định giao điểm O của 2 đoạn thẳng PB và QA

+ Vẽ các đường thẳng EO, FO cắt AB tại C và D.

Khi đó ta được AC = CD = DB.

- Chứng minh AC = CD = DB:

Theo hệ quả định lý Ta-let ta có:

Mà FQ = EF = PE ⇒ AC = CD = DB (đpcm).

b) Tương tự chia đoạn thẳng AB thành 5 đoạn bằng nhau thực hiện như hình vẽ sau

Bài 9 Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh AB sao cho AD = 13,5cm, DB = 4,5cm. Tính tỉ số các khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh AC.

Lời giải:

Gọi DH và BK lần lượt là khoảng cách từ D và B đến cạnh AC.

Ta có AB = AD + DB

⇒ AB = 13,5 + 4,5 = 18 (cm)

Vì DH // BK (cùng vuông góc với AC) nên áp dụng hệ quả định lí Ta-lét ta có:

Vậy tỉ số khoảng cách từ D và B đến cạnh AC là $\frac{3}{4}$

Tam giác ABC có AB = 6cm; AC = 9cm.

Lấy trên cạnh AB điểm B', trên cạnh AC điểm C' sao cho AB' = 2cm; AC' = 3cm (h.8)

1) So sánh các tỉ số

2) Vẽ đường thẳng a đi qua B' và song song với BC, đường thẳng a cắt AC tại điểm C''.

Bài 10 

a) Tính độ dài đoạn thẳng AC''.

b) Có nhận xét gì về C và C' và về hai đường thẳng BC và B'C' ?

Lời giải

1) 

2)

a) Vì B’C’ // BC, theo Định lý Ta-lét ta có:

b) Ta có:

Bài 11  Tìm x trong các trường hợp sau

a) 

b)

Lời giải

a) $\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}=\frac{2}{3+2}$, suy ra $MN=\frac{2}{5}BC=\frac{2}{5}.6,5=2,6$

b) $\frac{OP}{ON}=\frac{PQ}{MN}$ suy ra $\frac{x}{2}=\frac{5,2}{3}$, do đó $x=\frac{52}{15}$.

Bài 12 Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi trung điểm của các đường chéo AC và BD lần lượt là M, N. Chứng minh MN // AB // CD.

Lời giải

Gọi giao điểm của hai đường chéo là O. Vì AB // CD nên $\frac{OC}{OA}=\frac{OD}{OB}$.

Nên $\frac{OA+OC}{OA}=\frac{OB+OD}{OB}$

Suy ra $\frac{AC}{OA}=\frac{BD}{OB}.$

Từ AC = 2AM và BD = 2BN

Suy ra $\frac{2AM}{OA}=\frac{2BN}{OB}$, suy ra $\frac{AM}{OA}=\frac{BN}{OB}$.

Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có: $\frac{AM-OA}{OA}=\frac{BN-OB}{OB}$ hay $\frac{OM}{OA}=\frac{ON}{OB}$.

Áp dụng định lý Thales đảo suy ra MN // AB mà AB // CD (do ABCD là hình thang) nên MN // AB // CD.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Tìm các cặp đường thẳng song song trong hình 13 và giải thích vì sao chúng song song.

Bài 2 Tính các độ dài x,y trong hình 14

a) Để chi đoạn thẳng AB thành ba đoạn bằng nhau, người ta đã làm như hình 15.

Hãy mô tả cách làm trên và giải thích vì sao các đoạn AC,CD,DB bằng nhau?

b) Bằng cách tương tự, hãy chi đoạn thẳng AB cho trước thành 5 đoạn bằng nhau. Hỏi có cách nào khác với cách làm trên mà vẫn có thể chia đoạn AB cho trước thành 5 đoạn bằng nhau?

Bài 3 Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh AB sao cho AD= 13,5cm, DB= 4,5cm. Tính tỉ số các khoảng cách tự điểm A và B đến cạnh AC

Bài 4 Tam giác ABC có đường cao AH. Đường thẳng d song song với BC, cắt các cạnh AB,AC và đường cao AH theo thứ tự tại các điểm B', C' và H'(h.16)

a) Chứng minh rằng: $\frac{A{H}^{\prime }}{AH}$ = $\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}$.

b) Áp dụng: Cho biết AH' = $\frac{1}{3}$ AH và diện tích tam giác ABC là 67.5 cm²

Bài 5 Tính diện tích tam giác AB'C'.

Bài 6 Tam giác ABC có BC = 15cm. Trên đường cao AH lấy các điểm I, K sao cho AK = KI = IH. Qua I và K vẽ các đường EF // BC, MN // BC (h.17)

a) Tính độ dài đoạn MN và EF.

b) Tính diện tích tứ giác MNFE, biết diện tích của tam giác ABC là 270 cm²

Bài 7 Có thể đo dược chiều rộng của một khúc sông mà không cần phải sang bờ bên kia hay không?

Bài 8 Người ta tiến hành đo đạc các yếu tố hình học cần thiết để tình chiều rộng của khúc sông mà không cần phải sang bờ bên kia (h18). Nhìn hình vẽ, hãy mô tả những công việc cần làm và tính khoảng cách $AB=x$ theo $BC=a,B^{\prime }{C}^{\prime }=a^{\prime },B{B}^{\prime }=h$.

Bài 9 Có thể đo gián tiếp chiều cao của một bức tường bằng dụng cụ do đơn giản được không?

Bài 10 Hình 19: thể hiện cách đo chiều cao AB của một bức tường bằng các dụng cụ đơn giản gồm:

Hai cọc thẳng đứng và sợi dây FC, Cọc 1 có chiều cao DK= h. Các khoảng cách BC= a, DC= b đo được bằng thước thông dụng.

a) Em hay cho biết người ta tiến hành đo đạc như thế nào ? 

b) Tính chiều cao AB theo h, a, b.

Cho ba đoạn thẳng có độ dài là m, n, p (cùng đơn vị đo).

Dựng đoạn thẳng có độ dài x sao cho:

a) $\frac{x}{m}$= 2;     b) $\frac{x}{n}$ = $\frac{2}{3}$;       c) $\frac{m}{x}$ = $\frac{n}{p}$

Hướng dẫn:

Câu b) - Vẽ hai tia Ox, Oy.

            - Trên tia Ox đặt đoạn thẳng OA = 2 đơn vị, OB = 3 đơn vị.

            - Trên tia Oy đặt đoạn thẳng OB' = n và xác định điểm A' sao cho $\frac{OA}{OB}=\frac{O{A}^{\prime }}{O{B}^{\prime }}$.

            - Từ đó ta có OA' = x.

Bài 11 Tam giác ABC có AB = 6cm; AC = 9cm.

Lấy trên cạnh AB điểm B', trên cạnh AC điểm C' sao cho AB' = 2cm; AC' = 3cm (h.8).

1) So sánh các tỉ số 

2) Vẽ đường thẳng a đi qua B' và song song với BC, đường thẳng a cắt AC tại điểm C''.

a) Tính độ dài đoạn thẳng AC''.

b) Có nhận xét gì về C và C' và về hai đường thẳng BC và B'C'?

B. Lý thuyết Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét

1. Định lý đảo

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh một tam giác và định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Tổng quát: Δ ABC, B' ∈ AB, C' ∈ AC; AB'/BB' = AC'/C'C

Suy ra: B'C'//BC.

Ví dụ: Trong Δ ABC có AB = 6cm, AC = 9cm. Lấy trên cạnh AB điểm B', trên cạnh AC lấy điểm C' sao cho AB' = 2cm, AC' = 3cm. Chứng minh B'C'//BC.

Hướng dẫn:

Trong Δ ABC, B' ∈ AB, C' ∈ AC.

Ta có

Suy ra: B'C'//BC.

2. Hệ quả của định lý Ta – lét

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh còn lại của một của một tam giác và song song với các cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh còn lại của tam giác đã cho.

Tổng quát : Δ ABC, B'C'//BC; B' ∈ AB, C' ∈ AC

Ta có:

Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng song song với một cạnh và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại.

Ví dụ: Trong Δ ABC có AB = 8cm và B'C'//BC. Lấy trên cạnh AB điểm B', trên cạnh AC lấy điểm C' sao cho AB' = 2cm, AC' = 3cm. Tính độ dài cạnh AC.

Hướng dẫn:

Áp dụng hệ quả trên ta có: Δ ABC, B'C'//BC; B' ∈ AB, C' ∈ AC

Khi đó ta có: AB'/AB = AC'/AC ⇔ 2/8 = 3/AC ⇒ AC = (3.8)/2 = 12( cm )