Trả lời nhanh
Định lí Ta-lét đảo: nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh ấy các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì nó song song với cạnh còn lại. Hệ quả: nếu MN // BC thì AM/AB = AN/AC = MN/BC. Bài viết có 18 bài tập từ cơ bản đến vận dụng, đều có lời giải.
1. Tóm tắt lý thuyết cần nhớ
Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh AB, điểm N thuộc cạnh AC.
- Định lí Ta-lét đảo: nếu AM/MB = AN/NC (hoặc AM/AB = AN/AC) thì MN // BC.
- Hệ quả: nếu MN // BC thì AM/AB = AN/AC = MN/BC. Ba tỉ số này đều có tử là đoạn “nhỏ”, mẫu là đoạn “lớn” tương ứng.
- Mở rộng: hệ quả vẫn đúng khi đường thẳng song song với một cạnh cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại. Với hình thang ABCD (AB // CD), hai đường chéo cắt nhau tại O thì OA/OC = OB/OD = AB/CD.
Muốn ôn kĩ hơn, em xem thêm phần phương pháp bên dưới hoặc các bài: Phương pháp giải chi tiết về định lí Ta-lét đảo và hệ quả, Giải SGK Toán 8 Bài 2.
2. Phương pháp giải và lỗi sai thường gặp
- Chứng minh song song: lập hai tỉ số của các đoạn tương ứng trên cùng một cặp cạnh, rút gọn rồi so sánh. Bằng nhau thì kết luận song song, khác nhau thì không song song.
- Tính độ dài: chỉ viết tỉ lệ thức sau khi đã chắc chắn có đường thẳng song song. Viết đủ ba tỉ số rồi chọn hai tỉ số chứa ẩn.
- Bài chu vi, tỉ số: tam giác tạo bởi đường song song đồng dạng về tỉ lệ với tam giác lớn, nên tỉ số chu vi bằng tỉ số cạnh.
Lỗi hay gặp:
- Nhầm AM/MB với AM/AB. Hai tỉ số này khác nhau (AM/AB = AM/(AM + MB)).
- Áp dụng MN/BC = AM/AB khi chưa biết MN // BC.
- Quên cộng đoạn: AB = AM + MB chỉ đúng khi M nằm giữa A và B.
- Viết tỉ lệ lệch đỉnh, ví dụ AM/AB = NC/AC. Mẹo: luôn bắt đầu từ đỉnh A chung rồi đi dọc từng cạnh.
3. Bài tập trắc nghiệm và điền kết quả có đáp án
Bài 1. Cho tam giác ABC, M thuộc AB, N thuộc AC với AM = 3 cm, MB = 6 cm, AN = 2 cm, NC = 4 cm. Hỏi MN có song song với BC không?
Giải. AM/MB = 3/6 = 1/2; AN/NC = 2/4 = 1/2. Hai tỉ số bằng nhau nên theo định lí Ta-lét đảo, MN // BC. Đáp án: có song song.
Bài 2. Cho AB = 10 cm, AM = 4 cm, AC = 15 cm, AN = 6 cm, BC = 20 cm (M ∈ AB, N ∈ AC). Tính MN.
Giải. AM/AB = 4/10 = 2/5 và AN/AC = 6/15 = 2/5 nên MN // BC. Theo hệ quả: MN/BC = 2/5, suy ra MN = 20 · 2/5 = 8 cm. Đáp án: 8 cm.
Bài 3. Cho MN // BC, AM = 5 cm, AB = 15 cm, MN = 7 cm. Tính BC.
Giải. AM/AB = MN/BC ⇒ 5/15 = 7/BC ⇒ BC = 7 · 15 / 5 = 21 cm. Đáp án: 21 cm.
Bài 4. Cho MN // BC, AM = 6 cm, MB = 4 cm, AN = 9 cm. Tính NC và AC.
Giải. AM/MB = AN/NC ⇒ 6/4 = 9/NC ⇒ NC = 9 · 4 / 6 = 6 cm. Vậy AC = 9 + 6 = 15 cm. Đáp án: NC = 6 cm, AC = 15 cm.
Bài 5. Cho AM = 2 cm, MB = 3 cm, AN = 3 cm, NC = 4 cm. Kết luận nào đúng? A. MN // BC; B. MN không song song BC; C. MN ⊥ BC; D. Không kết luận được.
Giải. AM/MB = 2/3, AN/NC = 3/4. Vì 2/3 ≠ 3/4 nên MN không song song với BC. Phương án A sai (tỉ lệ không bằng), C và D không có cơ sở. Chọn B.
Bài 6. Cho tam giác ABC có MN // BC (M ∈ AB, N ∈ AC), AM/AB = 2/5, chu vi tam giác ABC bằng 45 cm. Tính chu vi tam giác AMN.
Giải. AM/AB = AN/AC = MN/BC = 2/5. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, (AM + AN + MN)/(AB + AC + BC) = 2/5. Chu vi AMN = 45 · 2/5 = 18 cm. Đáp án: 18 cm.
Bài 7. Cho tam giác ABC, đường thẳng qua D thuộc AB (AD = 3 cm, DB = 5 cm) song song với BC cắt AC tại E. Biết AC = 16 cm. Tính AE.
Giải. AB = 3 + 5 = 8 cm. AE/AC = AD/AB = 3/8 ⇒ AE = 16 · 3/8 = 6 cm. Đáp án: 6 cm.
Bài 8. Hình thang ABCD (AB // CD), hai đường chéo cắt nhau tại O. Biết OA = 4 cm, OC = 6 cm, OB = 5 cm, AB = 6 cm. Tính OD và CD.
Giải. Vì AB // CD nên OA/OC = OB/OD = AB/CD = 4/6 = 2/3. Suy ra OD = 5 · 3/2 = 7,5 cm; CD = 6 · 3/2 = 9 cm. Đáp án: OD = 7,5 cm; CD = 9 cm.
Bài 9. Cho tam giác ABC, D thuộc tia AB, E thuộc tia AC sao cho DE // BC, B nằm giữa A và D. Biết AB = 4 cm, AD = 6 cm, BC = 10 cm. Tính DE.
Giải. Hệ quả vẫn đúng khi đường thẳng cắt phần kéo dài: AB/AD = BC/DE ⇒ 4/6 = 10/DE ⇒ DE = 15 cm. Đáp án: 15 cm. Chú ý: ở đây tam giác ADE lớn hơn tam giác ABC, nên AD là mẫu “lớn”.
4. Bài tập tự luận có lời giải
Bài 10. Cho tam giác ABC, M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh MN // BC và MN = BC/2.
Giải. Vì M, N là trung điểm nên AM/AB = AN/AC = 1/2. Theo định lí Ta-lét đảo, MN // BC. Theo hệ quả, MN/BC = AM/AB = 1/2, tức MN = BC/2. Đây chính là tính chất đường trung bình của tam giác.
Bài 11. Cho tam giác ABC có AB = 12 cm, D thuộc AB sao cho AD = 8 cm. Kẻ DE // BC (E ∈ AC), kẻ EF // CD (F ∈ AB). Tính AF.
Giải.
- DE // BC ⇒ AE/AC = AD/AB = 8/12 = 2/3.
- EF // CD (tam giác ADC) ⇒ AF/AD = AE/AC = 2/3.
- Vậy AF = 8 · 2/3 = 16/3 cm ≈ 5,33 cm.
Đây là dạng “áp dụng Ta-lét hai lần liên tiếp”: tỉ số AE/AC làm cầu nối giữa hai tam giác.
Bài 12. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng qua giao điểm O của hai đường chéo và song song với AB cắt AD, BC lần lượt tại M, N. Chứng minh OM = ON.
Giải.
- Trong tam giác ADC có OM // DC: OM/DC = AO/AC (1).
- Trong tam giác BDC có ON // DC: ON/DC = BO/BD (2).
- Do AB // CD nên AO/OC = BO/OD ⇒ AO/AC = BO/BD (3).
- Từ (1), (2), (3) suy ra OM/DC = ON/DC, tức OM = ON.
Bài 13. Nêu cách chia đoạn thẳng AB thành ba đoạn bằng nhau chỉ với thước và compa.
Giải. Vẽ tia Ax bất kì (không trùng AB). Trên Ax lấy liên tiếp A₁, A₂, A₃ sao cho AA₁ = A₁A₂ = A₂A₃. Nối A₃ với B. Qua A₂ và A₁ kẻ các đường song song với A₃B, cắt AB lần lượt tại D và C. Theo Ta-lét, AC/AB = AA₁/AA₃ = 1/3 và AD/AB = 2/3, nên AC = CD = DB.
Bài 14 (thực tế). Một cọc cao 1,5 m có bóng dài 2 m trên mặt đất. Cùng lúc đó, bóng của một cây dài 8 m. Tính chiều cao cây (coi cọc và cây cùng vuông góc với mặt đất, tia nắng song song).
Giải. Hai tam giác vuông tạo bởi vật, bóng và tia nắng có các cạnh tương ứng tỉ lệ (hệ quả Ta-lét): chiều cao cây/1,5 = 8/2 = 4. Chiều cao cây = 1,5 · 4 = 6 m. Đáp án: 6 m.
Bài 15. Cho tam giác ABC, DE // BC (D ∈ AB, E ∈ AC), AD = x, DB = 3, AE = 4, EC = 6 (cùng đơn vị cm). Tìm x.
Giải. Cách 1: AD/DB = AE/EC ⇒ x/3 = 4/6 ⇒ x = 2. Cách 2 (kiểm tra): AD/AB = AE/AC ⇒ x/(x + 3) = 4/10 ⇒ 10x = 4x + 12 ⇒ x = 2. Hai cách cho cùng kết quả. Đáp án: x = 2 cm.
5. Bài luyện tập tự giải (có đáp án)
Bài 16. Cho MN // BC (M ∈ AB, N ∈ AC), AM = 4 cm, AB = 10 cm, MN = 6 cm. Tính BC.
Đáp án: 4/10 = 6/BC ⇒ BC = 15 cm.
Bài 17. Hình thang ABCD (AB // CD), AB = 4 cm, CD = 10 cm, AC = 14 cm, hai đường chéo cắt nhau tại O. Tính OA, OC.
Đáp án: OA/OC = 4/10 = 2/5 ⇒ OA = 14 · 2/7 = 4 cm, OC = 10 cm.
Bài 18. Cho DE // BC (D ∈ AB, E ∈ AC), AD = 5 cm, DB = 7 cm, chu vi tam giác ABC bằng 36 cm, BC = 24 cm. Tính chu vi tam giác ADE và độ dài DE.
Đáp án: AD/AB = 5/12. Chu vi ADE = 36 · 5/12 = 15 cm; DE = 24 · 5/12 = 10 cm.
6. Gợi ý ôn tập tiếp theo
Sau khi làm chắc phần này, em chuyển sang bài tập tính chất đường phân giác của tam giác và bài tập khái niệm hai tam giác đồng dạng. Hãy tự vẽ hình, ghi rõ giả thiết song song trước khi viết tỉ lệ thức.
Câu hỏi thường gặp
Định lí Ta-lét đảo dùng để làm gì?
Dùng để chứng minh hai đường thẳng song song: nếu các đoạn thẳng tương ứng trên hai cạnh của tam giác tỉ lệ thì đường thẳng nối hai điểm chia song song với cạnh thứ ba.
Hệ quả của định lí Ta-lét viết như thế nào?
Nếu MN // BC (M thuộc AB, N thuộc AC) thì AM/AB = AN/AC = MN/BC. Hệ quả vẫn đúng khi M, N nằm trên phần kéo dài của hai cạnh.
Khi nào được viết MN/BC = AM/AB?
Chỉ khi đã biết hoặc đã chứng minh được MN // BC. Nếu chưa có song song, phải dùng định lí Ta-lét đảo để chứng minh trước.
Hình thang có áp dụng được hệ quả Ta-lét không?
Có. Với hình thang ABCD (AB // CD), hai đường chéo cắt nhau tại O thì OA/OC = OB/OD = AB/CD, suy ra từ hệ quả trong các tam giác OAB và OCD.