Trả lời nhanh
Hệ quả của định lí Talet (Thalès): nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho. Cụ thể, tam giác ABC có B’C’ // BC (B’ ∈ AB, C’ ∈ AC) thì AB’/AB = AC’/AC = B’C’/BC. Hệ quả vẫn đúng khi đường thẳng cắt phần kéo dài của hai cạnh.
Ba kết quả cần phân biệt: định lí Talet, định lí đảo và hệ quả
Chủ đề này thuộc Hình học lớp 8 (sách mới gọi là định lí Thalès trong tam giác). Ba kết quả rất dễ nhầm vì đều nói về “song song” và “tỉ lệ”. Bảng dưới đây giúp em nhìn rõ điểm khác nhau:
| Giả thiết | Kết luận | Dùng để | |
|---|---|---|---|
| Định lí Talet | B’C’ // BC | AB’/AB = AC’/AC; AB’/B’B = AC’/C’C; B’B/AB = C’C/AC | Tính độ dài đoạn thẳng trên hai cạnh |
| Định lí Talet đảo | AB’/B’B = AC’/C’C (hoặc AB’/AB = AC’/AC) | B’C’ // BC | Chứng minh hai đường thẳng song song |
| Hệ quả | B’C’ // BC | AB’/AB = AC’/AC = B’C’/BC | Tính độ dài đoạn thẳng song song với cạnh thứ ba |
Điểm mấu chốt: chỉ hệ quả mới cho phép đưa đoạn B’C’ (đoạn nằm trên đường song song) vào tỉ lệ. Định lí Talet “gốc” chỉ nói về các đoạn trên hai cạnh AB và AC.
Định lí Talet trong tam giác
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Với tam giác ABC, B’ ∈ AB, C’ ∈ AC, B’C’ // BC, ta có ba tỉ lệ thức:
- AB’/AB = AC’/AC
- AB’/B’B = AC’/C’C
- B’B/AB = C’C/AC
Cách nhớ: “phần trên chia phần trên, phần dưới chia phần dưới, phần chia cả” – miễn là em lấy đoạn tương ứng ở cùng vị trí trên hai cạnh.
Định lí Talet đảo
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại.
Định lí đảo là công cụ chứng minh song song bằng số đo, rất hữu ích khi đề bài cho độ dài mà không cho góc. Lưu ý: hai đoạn tỉ lệ phải là các đoạn tương ứng trên hai cạnh xuất phát từ cùng một đỉnh.
Hệ quả của định lí Talet và chứng minh
Phát biểu: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
Chứng minh (tam giác ABC, B’C’ // BC):
- Theo định lí Talet với B’C’ // BC: AB’/AB = AC’/AC (1).
- Từ C’ kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC tại D. Áp dụng định lí Talet trong tam giác ABC với C’D // AB: AC’/AC = BD/BC (2).
- Tứ giác B’C’DB có B’C’ // BD và C’D // B’B nên là hình bình hành, suy ra B’C’ = BD.
- Thay vào (2): AC’/AC = B’C’/BC. Kết hợp (1) được AB’/AB = AC’/AC = B’C’/BC.
Chú ý: hệ quả vẫn đúng trong hai trường hợp đường thẳng a song song với BC và cắt phần kéo dài của hai cạnh AB, AC: hoặc nằm phía trên đỉnh A (tạo hình như chữ X với đỉnh chung A), hoặc nằm phía dưới cạnh BC.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1 – tính đoạn song song. Tam giác ABC có BC = 15 cm. Trên AB lấy M sao cho AM = 4 cm, MB = 6 cm; qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại N. Tính MN.
Giải: AB = 4 + 6 = 10 cm. Theo hệ quả định lí Talet: MN/BC = AM/AB = 4/10, nên MN = 15 · 0,4 = 6 cm.
Ví dụ 2 – hình chữ X. Hai đoạn thẳng AD và BE cắt nhau tại O, AB // DE. Biết OA = 3, OD = 5, AB = 4,2. Tính DE.
Giải: Trong tam giác ODE, đường thẳng AB song song với DE và cắt phần kéo dài của OD, OE. Theo hệ quả: AB/DE = OA/OD = 3/5, nên DE = 4,2 · 5/3 = 7.
Ví dụ 3 – dùng định lí đảo. Tam giác ABC có AB = 9, AC = 12. Lấy M ∈ AB, N ∈ AC với AM = 3, AN = 4. Chứng minh MN // BC.
Giải: AM/AB = 3/9 = 1/3 và AN/AC = 4/12 = 1/3. Hai tỉ số bằng nhau nên theo định lí Talet đảo, MN // BC.
Ví dụ 4 – đo chiều cao thực tế. Một cây cọc cao 1,5 m dựng thẳng đứng, bóng dài 2 m; cùng lúc đó bóng của một cột cờ dài 12 m. Tia nắng song song nên tạo thành hai tam giác có cạnh tương ứng tỉ lệ (áp dụng hệ quả khi đặt chung đỉnh ở đầu bóng). Chiều cao cột cờ: 1,5 · 12/2 = 9 m.
Lỗi sai thường gặp
- Dùng tỉ số AB’/B’B = B’C’/BC: sai. Trong hệ quả, đoạn song song chỉ được so với cả cạnh (AB’/AB), không so với phần còn lại B’B.
- Áp dụng định lí Talet đảo cho tỉ lệ có đoạn song song: biết AB’/AB = B’C’/BC chưa đủ kết luận B’C’ // BC. Định lí đảo chỉ dùng tỉ lệ trên hai cạnh.
- Quên điều kiện song song: chưa chứng minh (hoặc đề chưa cho) song song thì không được dùng định lí Talet và hệ quả.
- Đặt sai đỉnh tương ứng trong hình chữ X: hãy viết rõ hai tam giác “nhỏ – lớn” theo đúng thứ tự đỉnh tương ứng trước khi lập tỉ số.
Mối liên hệ với tam giác đồng dạng
Hệ quả của định lí Talet chính là nền tảng của bài tam giác đồng dạng: đường thẳng song song với một cạnh cắt hai cạnh còn lại tạo ra tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho. Nắm chắc hệ quả, em sẽ học các trường hợp đồng dạng nhẹ nhàng hơn, và hiểu vì sao các bài đo chiều cao, đo khoảng cách bằng bóng nắng hay bằng thước ngắm đều dựa trên tỉ lệ.
Bài tập tự luyện
- Tam giác ABC có MN // BC (M ∈ AB, N ∈ AC), AM = 2, AB = 8, BC = 10. Tính MN. Đáp số: 2,5.
- Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O, AB = 6, CD = 9, OA = 4. Tính OC. Đáp số: OA/OC = AB/CD = 2/3, nên OC = 6.
- Tam giác ABC, trên AB lấy D với AD = 5, DB = 10; trên AC lấy E với AE = 4, EC = 8. DE có song song với BC không? Đáp số: AD/DB = AE/EC = 1/2 nên DE // BC; khi đó DE = BC/3.
Câu hỏi thường gặp
Hệ quả của định lí Talet khác định lí Talet ở điểm nào?
Định lí Talet chỉ cho tỉ lệ các đoạn trên hai cạnh; hệ quả cho thêm tỉ lệ với đoạn song song: AB'/AB = AC'/AC = B'C'/BC.
Định lí Talet đảo dùng để làm gì?
Dùng để chứng minh hai đường thẳng song song khi biết các đoạn thẳng tương ứng trên hai cạnh tam giác tỉ lệ với nhau.
Hệ quả Talet có đúng khi đường thẳng cắt phần kéo dài của hai cạnh không?
Có. Hệ quả vẫn đúng khi đường thẳng song song với một cạnh và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại, như trường hợp hình chữ X.
Có được viết AB'/B'B = B'C'/BC không?
Không. Đoạn song song B'C' chỉ được so với cả cạnh, tức AB'/AB = B'C'/BC.