Đáp án: B

Nhận xét. Học sinh rất hay nhầm phép đối xứng tâm O biến tam giác OFD thành tam giác OEC.

Đáp án: D

Chú ý: OM = $\sqrt{2}$. Chiều quay góc âm cùng chiều với chiều quay của kim đồng hồ.

Đáp án: A

Phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{u}$(0;-1) biến đường thẳng y = x thành đường thẳng y = x - 1;

Phép đối xứng trục Oy biến đường thẳng y = x - 1 thành đường thẳng y = -x - 1 hay x + y + 1 = 0

Đáp án: D

Nhận xét. Bài 4,5 có thể chỉ cần dùng hình vẽ trên mặt phẳng tọa độ là tìm được đáp án đúng.

Đáp án: C

ĐEI(1) =(8);$\overrightarrow{TDI}$(8) = (3). Đáp số C

A. Phép đối xứng tâm I và phép đối xứng trục IB thì (1) không biến thành hình nào từ (2) đến (8).

B. Phép đối xứng tâm I và phép quay tâm I góc quay 90⁰ (1) không biến thành hình nào từ (2) đến (8)

D.phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{AI}$ và phép đối xứng tâm I thì hình (1) thành hình (2)

Đáp án: B

Vẽ trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Đáp án B.

Đáp án: C

Phương án A. Phép đối xứng tâm I biến tam giác DIH thành tam giác BIF.

Phương án B. phép quay tâm I góc quay 90⁰ biến tam giác DIH thành tam giác CIG.

Phương án D. Phép quay tâm A góc quay 90⁰ biến tam giác DIH thành tam giác BI’H’(không có trong hình vẽ này).

Chú ý: Để tránh nhầm lẫn thì phải tìm ảnh của từng điểm một qua các phép biến hình.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1 Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(-3; 2), B(-4; 5) và C(-1; 3).

a. Chứng minh rằng các điểm A’(2; 3), B’(5; 4) và C’(3; 1) theo thứ tự là ảnh của A, B và C qua phép quay tâm O góc –90^o.

b. Gọi tam giác A₁B₁C₁ là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc –90^o và phép đối xứng qua trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác A₁B₁C₁.

Lời giải:

a. + Ta có:

+ Chứng minh hoàn toàn tương tự ta được

b. ΔA₁B₁C₁ là ảnh của ΔABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc –90º và phép đối xứng qua trục Ox.

⇒ ΔA₁B₁C₁ là ảnh của ΔA’B’C’ qua phép đối xứng trục Ox.

⇒ A₁ = Đ_Ox(A’) ⇒ A₁(2; -3)

B₁ = Đ_Ox(B’) ⇒ B₁(5; -4)

C₁ = Đ_Ox(C’) ⇒ C₁(3; -1).

Bài 2 Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, E, H, K, O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, KF, HC, KO. Chứng minh hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau.

Lời giải:

Gọi L là trung điểm của OF.

+ Vì EO là đường trung trực của các đoạn thẳng AB; KF; JL

⇒ B = Đ_EO (A); F = Đ_EO (K) ; L = Đ_EO (J); E = Đ_EO (E)

⇒ Hình thang BFLE là ảnh của hình thang AKJE qua phép đối xứng trục EO.

⇒ Hai hình thang BFLE và AKJE bằng nhau (1)

⇒ Hình thang FCIO là ảnh của hình thang BFLE qua phép tịnh tiến theo 

⇒ Hai hình thang FCIO và BFLE bằng nhau (2)

Từ (1) và (2) ⇒ hai hình thang FCIO và AKJE bằng nhau.

Bài 3 Chứng minh rằng: Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng tâm của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm của tam giác A’B’C’.

Lời giải:

Gọi f là phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’.

Gọi D là trung điểm của BC, D’ = f(D).

Gọi G là trọng tâm ΔABC, G’ = f(G).

+ B, D, C thẳng hàng ⇒ B’; D’; C’ thẳng hàng.

+ A; G; D thẳng hàng ⇒ A’; G’; D’ thẳng hàng.

+ B’D’ = BD = $\frac{BC}{2}$ = $\frac{B\text{'}C\text{'}}{2}$ ⇒ D’ là trung điểm B’C’.

+ A’G’ = AG = 2.$\frac{AD}{3}$ = 2.$\frac{A\text{'}D\text{'}}{3}$ ⇒ G’ là trọng tâm ΔA’B’C’.

Vậy phép dời hình f biến trọng tâm G của ΔABC thành trọng tâm G’ của ΔA’B’C’ (đpcm).

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(-3;2), B(-4;5) và C(-1;3)

a) Chứng minh rằng các điểm A'(2;3), B'(5;4) và C'(3;1) theo thứ tự là ảnh của A, B và C qua phép quay tâm O góc – 90⁰.

b) Gọi tam giác A₁B₁C₁ là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc – 90⁰ và phép đối xứng qua trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác A₁B₁C₁.

Bài 2 Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, E, H, K, O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, KF, HC, KO. Chứng minh hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau.

Bài 3 Chứng minh rằng: Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì nó cũng biến trọng tâm của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm của tam giác A'B'C'.

Bài 4 Trong mặt phẳng Oxy, thực hiện liên tiếp ghép đối xứng trục Oy và ghép quay tâm O góc quay  biến điểm M(1;1) thành điểm M’’. tọa độ M’’ là?

Bài 5 Trong mặt phẳng Oxy, thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc quay -45 độ và phép đối xứng tâm O thì điểm M(1;1) biến thành điểm M’’ có tọa độ là?

Bài 6 Trong mặt phẳng Oxy, thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vecto  và phép đối xứng trục Oy biến đường thẳng y = x thành đường thẳng.

Bài 7 Trong mặt phẳng Oxy, thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm O và phép quay tâm O góc quay  biến đường thẳng y = x + 1 thành đường thẳng

Bài 8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x-y-3=0. Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp đối xứng tâm I(1;2) và phép tịnh tiến theo vecto  biến đường thẳng d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng sau

Bài 9 Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vecto  và phép đối xứng tâm I là phép nào trong các phép sau?

B. Lý thuyết Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau.

I. Khái niệm về phép dời hình.

- Định nghĩa: Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Nếu phép dời hình F biến các điểm M, N lần lượt thành các điểm M’; N’ thì

MN = M’N’.

- Nhận xét:

1) Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là những phép dời hình.

2) Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình.

- Ví dụ 1. Vì phép tịnh tiến và phép đối xứng tâm là phép dời hình nên thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$ và phép đối xứng tâm O ta được một phép dời hình.

II. Tính chất

Phép dời hình:

1) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm.

2) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

3) Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.

4) Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

- Chú ý:

a) Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A’B’C’.

b) Phép dời hình biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh.

- Ví dụ 2. Cho đường tròn (C) có phương trình (x + 4)² + (y – 3)² = 49. Thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục qua đường thẳng d và phép quay tâm O góc quay 90⁰ ta được đường tròn (C’).

Bán kính đường tròn (C’) là: R’ = R = 7.

III. Khái niệm hai hình bằng nhau.

- Định nghĩa. Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

- Ví dụ 3.

a)  Qua phép tịnh tiến theo vectơ  biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’. Sau đó, ta thực hiện tiếp phép đối xứng trục qua đường thẳng d biến tam giác A’B’C’ thành tam giác A”B”C”. Khi đó: ∆ABC = ∆A”B”C”.

b) Hình ảnh dưới đây cho ta hai hình bằng nhau: