Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 10.

Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

A. Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

1. Giá trị lượng giác của một góc

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị.

Cho trước một góc α, 0° ≤ α ≤ 180°. Khi đó, có duy nhất điểm M(x₀; y₀) trên nửa đường tròn đơn vị để $\widehat{\mathrm{xOM}}=\mathrm{\alpha }$.

- Định nghĩa tỉ số lượng giác của một góc từ 0^o đến 180^o

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho  $\widehat{\mathrm{xOM}}=\mathrm{\alpha }$. Khi đó:

+ sin của góc α là tung độ y₀ của điểm M, được kí hiệu là sin α;

+ côsin của góc α là hoành độ x₀ của điểm M, được kí hiệu là cos α;

+ Khi α ≠ 90° (hay x₀ ≠ 0), tang của α là $\frac{{\mathrm{y}}_0}{{\mathrm{x}}_0}$, được kí hiệu là tan α;

+ Khi α ≠ 0° và α ≠ 180° (hay y₀ ≠ 0), côtang của α là $\frac{{\mathrm{x}}_0}{{\mathrm{y}}_0}$, được kí hiệu là cot α.

- Từ định nghĩa trên ta có:

$\mathrm{tan\alpha }=\frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}(\mathrm{\alpha }\ne 90°);$$\mathrm{cot\alpha }=\frac{\mathrm{cos\alpha }}{\mathrm{sin\alpha }}(\mathrm{\alpha }\ne 0°\mathrm{và}\mathrm{\alpha }\ne 180°);$$\mathrm{tan\alpha }=\frac{1}{\mathrm{cot\alpha }}\text{ (}\mathrm{\alpha }\notin \text{{}0°;90°;180°\text{}})$

- Bảng giá trị lượng giác (GTLG) của một số góc đặc biệt:

Chú ý: Kí hiệu || chỉ giá trị lượng giác tương ứng không xác định.

Ví dụ: Tìm các giá trị lượng giác của góc 120°.

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{\mathrm{xOM}}={120}^{\mathrm{o}}$. Gọi N, K tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Do $\widehat{\mathrm{xOM}}={120}^{\mathrm{o}}$ và $\widehat{\mathrm{xOK}}={90}^{\mathrm{o}}$nên $\widehat{\mathrm{KOM}}={30}^{\mathrm{o}}$và $\widehat{\mathrm{MON}}={60}^{\mathrm{o}}$.

Từ bảng GTLG của một số góc đặc biệt:

Ta có: cos 60^o = $\frac{1}{2}$ và cos 30^o = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Các tam giác MOK và MON là các tam giác vuông với cạnh huyền bằng 1

Suy ra ON = cos$\widehat{\mathrm{MON}}$.OM = cos60^o.1 = $\frac{1}{2}$ và OK = cos$\widehat{\mathrm{MOK}}$.OM = cos30^o.1 = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Mặt khác, do điểm M nằm bên trái trục tung nên $\mathrm{M}\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Theo định nghĩa giá trị lượng giác ta có:

sin 120^o = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

cos 120^o =  $-\frac{1}{2}$

tan 120^o = $\frac{\sin {120}^{\mathrm{o}}}{\cos {120}^{\mathrm{o}}}=-\sqrt{3}$

cot 120^o = $\frac{\cos {120}^{\mathrm{o}}}{\sin {120}^{\mathrm{o}}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Vậy sin 120^o = $\frac{\sqrt{3}}{2}$; cos 120^o =  $-\frac{1}{2}$; tan 120^o = $-\sqrt{3}$; cot 120^o = $-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

- Ta có thể dùng máy tính bỏ túi để tính giá trị gần đúng của các giá trị lượng giác của một góc.

Ví dụ:

- Ta cũng có thể tìm được góc khi biết một giá trị lượng giác của góc đó.

Ví dụ:

Chú ý:

+ Khi tìm x biết sin x, máy tính chỉ đưa ra giá trị x ≤ 90°.

+ Muốn tìm x khi biết cos x, tan x, ta cũng làm tương tự như trên, chỉ thay phím  tương ứng bởi phím .

2. Mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

Đối với hai góc bù nhau, α và 180° – α, ta có:

sin (180° – α) = sin α;

cos (180° – α) = – cos α;

tan (180° – α) = – tan α  (α ≠ 90°);

cot (180° – α) = – cot α  (0° < α < 180°).

Chú ý:

- Hai góc bù nhau có sin bằng nhau; có côsin, tang, côtang đối nhau.

Ví dụ: Tính các giá trị lượng giác của góc 135°.

Hướng dẫn giải

Ta có 135° + 45° = 180°, vì vậy góc 135° và góc 45° là hai góc bù nhau:

Suy ra:

sin135° = sin45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

cos135° = – cos45° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

tan135° = – tan45° = –1

cot135° = – cot45° = –1

Vậy sin135° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$; cos135° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$; tan135° = –1 ; cot135° = –1.

- Hai góc phụ nhau có sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Ví dụ:

Ta có  30° + 60° = 90° nên góc 30° và góc 60° là hai góc phụ nhau.

Khi đó:  

sin30° = cos60° = $\frac{1}{2}$

tan30° = cot60° = $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

B. Bài tập tự luyện

B1. Bài tập tự luận

Bài 1. Cho góc α, biết sin α = $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Tính giá trị của biểu thức A = 4sin² α + 3cos² α.

Hướng dẫn giải

Ta có:

A = 4sin² α + 3cos² α = (3sin² α + 3cos² α) + sin² α = 3  (sin² α + cos² α) + sin² α

Vì cos² α  + sin ² α  = 1 và sin α = $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Thay vào A ta có:  A = 3. 1 + ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$ = $\frac{7}{2}$;

Vậy A = $\frac{7}{2}$.

Bài 2. Cho $\mathrm{A}=\frac{3\mathrm{sin\alpha }-\mathrm{cos\alpha }}{\mathrm{sin\alpha }+\mathrm{cos\alpha }}$ và tan α = $\sqrt{2}$. Chứng minh $\mathrm{A}=7-4\sqrt{2}.$ 

Hướng dẫn giải

Ta có: $\mathrm{tan\alpha }=\frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}=\sqrt{2}\Rightarrow \mathrm{sin\alpha }=\sqrt{2}\mathrm{cos\alpha }$

Suy ra $\mathrm{A}=\frac{3\mathrm{sin\alpha }-\mathrm{cos\alpha }}{\mathrm{sin\alpha }+\mathrm{cos\alpha }}$

$=\frac{3\sqrt{2}\mathrm{cos\alpha }-\mathrm{cos\alpha }}{\sqrt{2}\mathrm{cos\alpha }+\mathrm{cos\alpha }}$ 

$=\frac{(3\sqrt{2}-1)\mathrm{cos\alpha }}{(\sqrt{2}+1)\mathrm{cos\alpha }}$

$=\frac{3\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\left(3\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}=7-4\sqrt{2}$

Vậy A= 7 –  4$\sqrt{2}$.

Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) 3sin150° + tan135° + cot45°

b) cot135° – tan60°. cos²30°

Hướng dẫn giải

a) 3sin 150° + tan 135° + cot 45°

= 3.sin(180° – 30°) + tan(180° – 45°) + cot 45°

= 3.sin30° –  tan45° + cot45°

= 3 . $\frac{1}{2}$ + (-1) + 1 = $\frac{3}{2}$^.

b) cot 135° – tan 60°. cos² 30°  

= cot(180° – 45°) – tan60°.cos²30°

= – cot45° – tan60°.cos²30°

= (– 1) – $\sqrt{3}$.${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$= $-\frac{4+3\sqrt{3}}{4}$.

B2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 4. Biết tanα = 2, giá trị của biểu thức $\mathrm{M}=\frac{3\mathrm{sin\alpha }-2\mathrm{cos\alpha }}{5\mathrm{cos\alpha }+7\mathrm{sin\alpha }}$

bằng:

A. $-\frac{4}{9}$;

B. $\frac{4}{19}$;

C. $-\frac{4}{19}$;

D. $\frac{4}{9}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Cách 1: Vì cos α ≠ 0 nên chia cả tử và mẫu của M cho cosα ta có:

$\mathrm{M}=\frac{3\frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}-2}{5+7\frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}}=\frac{3.\mathrm{tan\alpha }-2}{5+7.\mathrm{tan\alpha }}=\frac{3.2-2}{5+7.2}=\frac{4}{19}$.

Cách 2: Ta có: $\mathrm{tan\alpha }=2\iff \frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}=2\left(\mathrm{cos\alpha }\ne 0\right)\iff \mathrm{sin\alpha }=2\mathrm{cos\alpha }$, thay sinα = 2cosα vào M ta được $\mathrm{M}=\frac{3.2\mathrm{cos\alpha }-2\mathrm{cos\alpha }}{5\mathrm{cos\alpha }+7.2\mathrm{cos\alpha }}=\frac{4\mathrm{cos\alpha }}{19\mathrm{cos\alpha }}=\frac{4}{19}$.

Bài 5. Cho $\mathrm{cos\alpha }=-\frac{4}{5}$ và góc α thỏa mãn 90° < α < 180°. Khi

đó.

A. $\mathrm{cot\alpha }=\frac{4}{3}$;

B. $\mathrm{sin\alpha }=\frac{3}{5}$;

C. $\mathrm{tan\alpha }=\frac{4}{5}$.

D. $\mathrm{sin\alpha }=-\frac{3}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: sin²α + cos²α = 1

⇔ sin²α = 1 – cos²α  = 1 – ${\left(-\frac{4}{5}\right)}^2$= 1 – $\frac{16}{25}$= $\frac{9}{25}.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}\mathrm{sin\alpha }=\frac{3}{5}\\ \mathrm{sin\alpha }=-\frac{3}{5}\end{array}\right.$

Vì 90° < α < 180° nên sinα > 0. Do đó $\mathrm{sin\alpha }=\frac{3}{5}$ 

⇒ tanα = $\frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}=-\frac{3}{4}$, cotα = $\frac{\mathrm{cos\alpha }}{\mathrm{sin\alpha }}=-\frac{4}{3}$.

Vậy đáp án đúng là B.

Bài 6. Nếu 3cosx + 2 sinx = 2 và sinx < 0  thì giá trị đúng của

sinx là:

A. $-\frac{5}{13}$;

B. $-\frac{7}{13}$;

C. $-\frac{9}{13}$;

D. $-\frac{12}{13}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: 3cosx + 2 sinx = 2

$\iff$(3cosx + 2 sinx)² = 4

$\iff$9cos²x + 12cosx.sinx + 4sin²x = 4(sin²x + cos²x)

$\iff$5cos²x + 12cosx.sinx = 0

$\iff$cosx(5cosx + 12sinx) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}\text{cos}\mathrm{x}=0\\ 5\text{cos}\mathrm{x}+12\mathrm{sinx}=0\end{array}\right.$

Với cosx = 0$\Rightarrow$sinx = 1 loại vì sinx < 0.

Với 5cosx + 12sinx = 0, ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}5\text{cos}\mathrm{x}+12\mathrm{sinx}=0\\ 3\mathrm{cosx}+2\mathrm{sinx}=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sinx}=-\frac{5}{13}\\ \text{cos}\mathrm{x}=\frac{12}{13}\end{array}\right.$.

Vậy $\mathrm{sinx}=-\frac{5}{13}$.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: