Vectơ vuông góc với cả hai vectơ a, b trong Oxyz

Trả lời nhanh

Vectơ vuông góc với cả hai vectơ a và b (không cùng phương) là tích có hướng [a, b], hoặc bất kỳ vectơ nào cùng phương với nó. Với a = (1; 1; 2) và b = (3; 2; 1) theo các số trong đề, ta được [a, b] = (−3; 5; −1), nên (3; −5; 1) cũng thỏa mãn. Nếu đề của em có dấu trừ, cách làm vẫn y hệt.

Lưu ý: đề gốc thường có dấu âm ở một vài tọa độ nhưng khi viết lên đường dẫn thì dấu bị mất. Vì vậy thầy trình bày phương pháp tổng quát, rồi giải hai cách đọc số liệu để em đối chiếu với đề của mình.

Vì sao dùng tích có hướng?

Tích có hướng [a, b] là vectơ vuông góc với cả a lẫn b. Đây là tính chất cốt lõi của nó, nên chỉ cần tính [a, b] là xong, không phải giải hệ.

Cách khác là gọi n = (x; y; z) rồi giải hệ n·a = 0 và n·b = 0. Hệ này có 2 phương trình, 3 ẩn nên có vô số nghiệm. Điều đó cho thấy có vô số vectơ vuông góc với cả hai vectơ, và chúng đều cùng phương với nhau.

Công thức tích có hướng

Với a = (a₁; a₂; a₃) và b = (b₁; b₂; b₃):

[a, b] = (a₂b₃ − a₃b₂; a₃b₁ − a₁b₃; a₁b₂ − a₂b₁)

Mẹo nhớ: viết hai hàng tọa độ, lặp lại cột đầu ở cuối. Tọa độ thứ nhất bỏ cột 1, thứ hai bỏ cột 2, thứ ba bỏ cột 3. Mỗi thành phần luôn có dạng “chéo xuôi trừ chéo ngược”.

Giải với a = (1; 1; 2), b = (3; 2; 1)

Thành phần x: 1·1 − 2·2 = −3
Thành phần y: 2·3 − 1·1 = 5
Thành phần z: 1·2 − 1·3 = −1

Vậy [a, b] = (−3; 5; −1). Các vectơ dạng k(−3; 5; −1) với k ≠ 0 đều vuông góc với a và b, chẳng hạn (3; −5; 1).

Thử lại:

(−3; 5; −1)·a = −3 + 5 − 2 = 0 ✓
(−3; 5; −1)·b = −9 + 10 − 1 = 0 ✓

Nếu đề có dấu âm: a = (1; 1; −2), b = (−3; 2; −1)

Đây là ví dụ thầy chọn để minh họa cách xử lý dấu, có thể khác đề của em ở dấu.

x: 1·(−1) − (−2)·2 = −1 + 4 = 3
y: (−2)·(−3) − 1·(−1) = 6 + 1 = 7
z: 1·2 − 1·(−3) = 2 + 3 = 5

Vậy [a, b] = (3; 7; 5). Thử lại: (3; 7; 5)·a = 3 + 7 − 10 = 0; (3; 7; 5)·b = −9 + 14 − 5 = 0. Cả hai đều bằng 0 nên kết quả đúng.

Cách chọn đáp án khi đề là trắc nghiệm

Tính [a, b], hoặc thử từng phương án bằng hai tích vô hướng.
Đáp án đúng có thể là bội hoặc ước của [a, b]. Ví dụ (6; −10; 2) và (−3; 5; −1) đều đúng vì cùng phương.
Phương án nào chỉ cho một tích vô hướng bằng 0 thì loại, vì phải vuông góc với cả hai vectơ.

Lỗi sai thường gặp

Sai dấu ở thành phần y, vì thứ tự là a₃b₁ − a₁b₃, không phải a₁b₃ − a₃b₁.
Nhầm tích có hướng với tích vô hướng. Tích vô hướng ra một số, tích có hướng ra một vectơ.
Kết luận đáp án duy nhất là [a, b], trong khi mọi bội khác 0 của nó đều đúng.
Quên điều kiện a, b không cùng phương. Nếu cùng phương thì [a, b] = 0, không dùng được.

Bài luyện tập

Tìm một vectơ vuông góc với cả a = (2; 1; 0) và b = (1; −1; 3).
Đáp án: [a, b] = (3; −6; −3), chọn (1; −2; −1). Thử: 2 − 2 + 0 = 0 và 1 + 2 − 3 = 0.
Tìm một vectơ vuông góc với a = (1; 0; 1) và b = (0; 1; 1).
Đáp án: [a, b] = (−1; −1; 1), hoặc (1; 1; −1).
Viết phương trình mặt phẳng qua O và song song với giá của hai vectơ a = (1; 1; 2), b = (3; 2; 1).
Đáp án: vectơ pháp tuyến (−3; 5; −1), nên mặt phẳng là −3x + 5y − z = 0, tức 3x − 5y + z = 0.

Dạng này là nền tảng để viết phương trình mặt phẳng khi biết hai vectơ chỉ phương. Nó cũng dùng để tính diện tích tam giác và thể tích khối hộp trong Oxyz.

Câu hỏi thường gặp

Có bao nhiêu vectơ vuông góc với cả hai vectơ a và b trong Oxyz?

Có vô số. Nếu a và b không cùng phương thì mọi vectơ vuông góc với cả hai đều có dạng k·[a, b] với k là số thực (k = 0 cho vectơ không).

Làm sao thử nhanh một vectơ có vuông góc với a và b không?

Tính hai tích vô hướng n·a và n·b. Cả hai bằng 0 thì n vuông góc với cả a và b.

Tích có hướng [a, b] bằng vectơ không thì sao?

Khi đó a và b cùng phương, nên không xác định được một phương vuông góc duy nhất. Lúc này phải giải hệ n·a = 0 để chọn n tùy ý.

Vectơ (3; −5; 1) và (−3; 5; −1) đều là đáp án đúng à?

Đúng. Hai vectơ này đối nhau nên cùng phương, và cùng vuông góc với a = (1; 1; 2) và b = (3; 2; 1).