Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 4; 1); B(-1; 1; 3) và mặt phẳng (P): x - 3y + 2z - 5 = 0. Một mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình dạng ax + by + cz - 11 = 0. Khi đó a + b + c bằng

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(-3;-3;2\right)$  và $\overrightarrow{n_P}=\left(1;-3;2\right)$

Mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) nên suy ra véc-tơ pháp tuyến của (Q) vuông góc với véc-tơ pháp tuyến của (P) và véc-tơ $\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{n_Q}=\left[\overrightarrow{n_P};\overrightarrow{AB}\right]$

$=\left(\left|\begin{array}{cc}-3& 2\\ -3& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& -3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& -3\\ -3& -3\end{array}\right|\right)$

= (0; -8; -12) = (0; 2; 3)

Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm B và nhận (0; 2; 3) làm véc-tơ pháp tuyến là

(Q): 2.(y - 1) + 3.(z - 3) = 0

Û 2y + 3z - 11 = 0

Mà ta có: (Q) có phương trình dạng ax + by + cz - 11 = 0 nên suy ra a = 0, b = 2, c = 3

Khi đó a + b + c = 0 + 2 + 3 = 5.

Lý thuyết Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:

    • Vectơ n→ ≠ 0→ là vectơ pháp tuyến (VTPT) nếu giá của n→ vuông góc với mặt phẳng (α)

    • Chú ý:

    - Nếu n→ là một VTPT của mặt phẳng (α) thì kn→ cũng là một VTPT của mặt phẳng (α).

    - Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó.

    - Nếu u→, v→ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (α) thì n→ = [u→, v→] là một VTPT của (α)

*Phương trình tổng quát của mặt phẳng

    - Trong không gian Oxy , mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình:

    Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 ≠ 0

    - Nếu mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một VTPT là n→(A; B; C).

 

    - Phương trình mặt phẳng đi qua điểm Mo(xo; yo; zo) và nhận vectơ n→(A; B; C) khác 0→ là VTPT là: A(x - xo) + B(y - yo) + C(z - zo) = 0 .

Bài tập liên quan:

Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho số phức $w=\frac{1}{\left|z\right|-z}$  có phần thực bằng $\frac{1}{12}$ . Xét các số phức z1, z2 Î S thỏa mãn |z1 - z2| = 6, giá trị nhỏ nhất của P = |z1 - 10|2 - |z2 - 10|2 bằng

A. -192;

B. -120;

C. -256;

D. -60.

Cách giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi z = a + bi

Điều kiện |z| - z ¹ 0 Þ b ¹ 0

$\Rightarrow w=\frac{1}{\left|z\right|-z}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}-a-bi}$

$=\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a+bi}{\left(\sqrt{a^2+b^2}-a-bi\right)\left(\sqrt{a^2+b^2}-a+bi\right)}$

$=\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a+bi}{{\left(\sqrt{a^2+b^2}-a\right)}^2+b^2}$

w có phần thực là $\frac{1}{12}$  nên suy ra

$\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{{\left(\sqrt{a^2+b^2}-a\right)}^2+b^2}=\frac{1}{12}$

$\iff \frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{a^2+b^2-2a\sqrt{a^2+b^2}+a^2+b^2}=\frac{1}{12}$

$\iff \frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2\left(a^2+b^2\right)-2a\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{1}{12}$

$\iff \frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{\sqrt{a^2+b^2}\left(\sqrt{a^2+b^2}-a\right)}=\frac{1}{6}$

$\iff \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{1}{6}\Rightarrow a^2+b^2=36$

Xét các số phức z1, z2 Î S thỏa mãn |z1 - z2| = 6 nên suy ra

Þ (a1 - a2)2 + (b1 - b2)2 = 36

$\iff \left|a_1-a_2\right|=\sqrt{36-{\left(b_1-b_2\right)}^2}$

Ta có:

P = |z1 - 10|2 - |z2 - 10|2

= (a1 - 10)2 + b12 - (a2 - 10)2 - b22

= a12 - a22 - 20(a1 - a2) + b12 - b22

= - 20(a1 - a2)

Þ P ³ - 20|a1 - a2|

$\Rightarrow P\ge -20\sqrt{36-{\left(b_1-b_2\right)}^2}$

Để P đạt GTNN thì $\sqrt{36-{\left(b_1-b_2\right)}^2}$  đạt GTLN nên suy ra b1 = b2

Vậy GTNN của P là $P=-20\sqrt{36}=-120.$

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Bộ 20 đề thi Toán lớp 12 Giữa kì 2 năm 2023 - 2024

Bộ 10 đề thi Toán lớp 12 học kì 2 năm 2023 tải nhiều nhất