Tìm x, biết rằng:

a)$\frac{1}{5.8}+\frac{1}{8.11}+\frac{1}{11.14}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1}{x(x+3)}=\frac{101}{1540}$​

b)$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1}{x(x+1):2}=1\frac{1991}{1993}$

a) Ta có   $\frac{1}{5.8}+\frac{1}{8.11}+\frac{1}{11.14}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1}{x(x+3)}=\frac{101}{1540}$​

=)$\frac{3}{5.8}+\frac{3}{8.11}+\frac{3}{11.14}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{3}{x(x+3)}=\frac{303}{1540}$​

=)$\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{14}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+3}=\frac{303}{1540}$​

Suy ra $\frac{1}{5}-\frac{1}{x+3}$​= $\frac{303}{1540}$=)$\frac{1}{x+3}=\frac{1}{305}$​=)   $x+3=305$=) $x=302$

b)

Phương pháp giải:

Khi gặp tổng dãy số có dạng $\frac{1}{x(x+k)}$, hãy thử tách phân số theo công thức trên để rút gọn nhanh.

Nếu có dấu hiệu của dãy số dạng $\frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}}$, sử dụng công thức số tam giác và phương pháp tách tương tự.

Dạng tổng các phân số kiểu:

$$\frac{1}{x(x+k)} = \frac{1}{k} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+k} \right)$$

Giải thích:

• Ta tách phân số theo công thức: $$\frac{1}{x(x+k)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+k}$$​

• Áp dụng phương pháp này sẽ giúp rút gọn các phân số theo dạng "kẹp", vì các số hạng sẽ triệt tiêu dần theo quy luật.

Tổng có dạng: $$1 + \frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}}$$

Số hạng thứ $n$ là: $$\frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2}{n(n+1)} = 2 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$$