Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 2a, 4a, 4a với $0<a\in R.$ Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đã cho bằng

Chọn C

Giả sử hình hộp chữ nhật là ABCD.A'B'C'D'. Dễ thấy điểm O là trung điểm của AC’ là tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình hộp chữ nhật.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật là R = OA

$$\begin{gathered} R=\frac{1}{2}A{C}^{\text{'}}=\frac{1}{2}\sqrt{{\left(A^{\text{'}}A\right)}^2+{\left(A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)}^2} \\ \begin{array}{l}=\frac{1}{2}\sqrt{{\left(A^{\text{'}}A\right)}^2+{\left(A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)}^2+{\left(D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)}^2}\\ =\frac{1}{2}\sqrt{{\left(2a\right)}^2+{\left(4a\right)}^2+{\left(4a\right)}^2}=3a.\end{array} \end{gathered}$$

Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện cơ bản

    a) Hình hộp chữ nhật, hình lập phương.

    - Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương).

    ⇒ Tâm là I, là trung điểm của AC'.

    - Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương).

    ⇒ Bán kính: R = AC'/2 .

    b) Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn.

    Xét hình lăng trụ đứng A₁A₂A₃...A_n.A'₁A'₂A'₃...A'_n , trong đó có 2 đáy A₁A₂A₃...A_n và A'₁A'₂A'₃...A'_n nội tiếp đường tròn (O) và (O'). Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:

    - Tâm: I với I là trung điểm của OO'.

    - Bán kính: R = IA₁ = IA₂ = ... = IA'_n .

    c) Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông.

    - Hình chóp S.ABC có .

        + Tâm: I là trung điểm của SC.

        + Bán kính: R = SC/2 = IA = IB = IC. .

    - Hình chóp S.ABCD có

        + Tâm: I là trung điểm của SC.

        + Bán kính: R = SC/2 = IA = IB = IC = ID.

    d) Hình chóp đều.

    Cho hình chóp đều S.ABC ...

    - Gọi O là tâm của đáy ⇒ SO là trục của đáy.

    - Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên, chẳng hạn như mp(SAO), ta vẽ đường trung trực của cạnh SA là Δ cắt SA tại M và cắt SO tại I ⇒ I là tâm của mặt cầu.

    - Bán kính:

    Ta có:  Bán kính là:

    e) Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.

    Cho hình chóp S.ABC... có cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC...) và đáy ABC... nội tiếp được trong đường tròn tâm O. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC... được xác định như sau:

    - Từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với mp(ABC...) tại O.

    - Trong mp(d, SA), ta dựng đường trung trực Δ của cạnh SA, cắt SA tại M, cắt d tại I.

    ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính R = IA = IB = IC = IS = ...

    - Tìm bán kính:

    Ta có: MIOB là hình chữ nhật.

    Xét ΔMAI vuông tại M có:

    f) Hình chóp khác

    - Dựng trục Δ của đáy.

    - Dựng mặt phẳng trung trực (α) của một cạnh bên bất kì.

    - (α) ∩ Δ = I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

    - Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.

    g) Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp.

    Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán.

Xem thêm một số kiến thức liên quan:

Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm phương trình mặt cầu

Lý thuyết Toán 12 Chương 5 (Chân trời sáng tạo): Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu