Cho $a, b, c>0$. Chứng minh $(a+b)(b+c)(c+a)\ge \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$

Áp dụng BĐT AM-GM với 3 số a, b, c ta luôn có:

$a+b\ge 2\sqrt{ab}$ , dấu bằng xảy ra khi a = b.

$b+c\ge 2\sqrt{bc}$ , dấu bằng xảy ra khi b = c.

$a+c\ge 2\sqrt{ac}$ , dấu bằng xảy ra khi a = c.

$\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\ge 2\sqrt{bc}.2\sqrt{ab}.2\sqrt{ac}=8abc$ 

Lại có: 

$(a+b)(b+c)(c+a)+abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)\le (\frac{1}{8}+1)(a+b)(b+c)(c+a)$

$\iff (a+b+c)(ab+bc+ca)\le \frac{9}{8}(a+b)(b+c)(c+a)$

$\iff (a+b)(b+c)(c+a)\ge \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)(đpcm)$

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c$.

Vậy ta có BĐT cần Chứng minh.

Phương pháp giải:

Lý thuyết tổng hợp về BĐT Cô-si

- Khái quát: Bất đẳng thức Cosi, hay còn gọi là bất đẳng thức Cauchy, là một trong những bất đẳng thức cơ bản và phổ biến nhất trong toán học, đặc biệt là trong các bài toán liên quan đến bất đẳng thức và cực trị. Bất đẳng thức này được đặt theo tên của nhà toán học Augustin-Louis Cauchy, một trong những nhà toán học nổi tiếng của thế kỷ 19.

- Định lí: Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng.

$\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\forall a,b\ge 0$

Đẳng thức $\sqrt{ab}=\frac{a+b}{2}$ xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Các công thức

$\forall x,y>0$ , nếu $(x+y)$ không đổi thì ${(x.y)}_{\max }\iff x=y$.

$\forall x,y>0$ , nếu $(x.y)$ không đổi thì ${(x+y)}_{\min }\iff x=y$.