Biết $\sin a+\cos a=\sqrt{2}$. Hỏi giá trị của ${\sin }^{4}a+{\cos }^{4}a$ bằng bao nhiêu?

Đáp án B

Ta có:

$$\begin{gathered} \sin a+\cos a=\sqrt{2}\Rightarrow 2={\left(\sin a+\cos a\right)}^2 \\ \iff 2={\sin }^{2}a+2\sin a.\cos a+{\cos }^{2}a \\ \iff 2=1+2\sin a.\cos a \\ \iff 1=2\sin a.\cos a \\ \iff \sin a.\cos a=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Do đó: 

$$\begin{gathered} {\sin }^{4}a+{\cos }^{4}a={\left({\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a\right)}^2-2{\sin }^{2}a.{\cos }^{2}a \\ =1-2.{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Giá trị lượng giác của góc lượng giác

 

- Trên đường tròn, lấy điểm M(x;y) như hình vẽ. Khi đó:

$x=$cos$\alpha$, $y=$sin$\alpha$.

tan$\alpha$$=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{y}{x}\left(x\ne 0\right)$

$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{x}{y}\left(y\ne 0\right)$

- Các giá trị sin$\alpha$, cos$\alpha$, tan$\alpha$, cot$\alpha$ được gọi là các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\alpha$.

*Chú ý:

a, Trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.

Trục As có gốc ở điểm A(1;0) và song song với trục sin là trục tang.

Trục Bt có gốc ở điểm B(0;1) và song song với trục coossin gọi là trục côtang.

 

b, $\sin \alpha$và $\cos \alpha$ xác định với mọi $\alpha \in \mathbb{R}$.

$\tan \alpha$xác định với các góc  $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

$\cot \alpha$ xác định với các góc  $\alpha \ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

c, Với mọi góc lượng giác $\alpha$ và số nguyên k, ta có:

$\begin{array}{l}\sin \left(\alpha +k2\pi \right)=\sin \alpha \\ \cos \left(\alpha +k2\pi \right)=\cos \alpha \\ \tan \left(\alpha +k\pi \right)=\tan \alpha \\ \cot \left(\alpha +k\pi \right)=\cot \alpha \end{array}$

d, Bảng các giá trị lượng giác đặc biệt

 

Xem thêm một số kiến thức liên quan:

Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc lượng giác (Chân trời sáng tạo) hay, chi tiết | Toán lớp 11

Bài tập tự luyện Giá trị lượng giác của một góc chọn lọc