Nhằm mục đích giúp học sinh nắm vững được cấu trúc và các dạng toán hay có trong đề thi vào lớp 6 môn Toán, Tailieumoi.vn biên soạn tài liệu Cách giải bài toán về Hình hộp chữ nhật – Hình lập phương cực hay đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện giúp học sinh ôn luyện và đạt điểm cao trong kì thi tuyển sinh vào lớp 6 môn Toán.

I. DIỆN TÍCH XUNG QUANH – DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN – THỂ TÍCH CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT

1. Phương pháp 

Áp dụng các công thức: 

- Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật:

Sxq = (a + b) × 2 × h

Phát biểu: Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật bằng chu vi đáy nhân với chiều cao.

- Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật:

Stp = Sxq + 2 × a × b = (a + b) × 2 × h + 2 × a × b

Phát biểu: Diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật bằng tổng diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật và diện tích hai đáy.

- Thể tích của hình hộp chữ nhật:

V = a × b × h

Phát biểu: Thể tích hình hộp chữ nhật bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.

- Giải thích kí hiệu: 

Sxq: Diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật

Stp: Diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật

a, b: Chiều dài và chiều rộng của hình hộp chữ nhật

h: Chiều cao của hình hộp chữ nhật

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Một bể nước hình hộp chữ nhật có chiều dài là 7 m, chiều rộng bằng 1/2 chiều dài và chiều cao là 1,5 m. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của bể nước đó.

Bài giải

Chiều rộng của bể nước là:

7 : 2 = 3,5 (m)

Diện tích xung quanh của bể nước là:

(7 + 3,5) × 2 × 1,5 = 31,5 (m²)

Diện tích toàn phần của bể nước là:

31,5 + 2 × 7 × 3,5 = 80,5 (m²)

Đáp số: 31,5m²; 80,5m²

Ví dụ 2. Một phòng học hình hộp chữ nhật dài 7,8m, rộng 6,2m, cao 4,3 m cần được sơn tường và trần nhà. Tính diện tích cần quét sơn của căn phòng biết tổng diện tích các cửa bằng 8,1 m².

Bài giải

Diện tích xung quanh phòng học là:

2 × 4,3 × (7,8 + 6,2) = 120,4 (m²)

Diện tích trần nhà của phòng là:

7,8 × 6,2 = 48,36 (m²)

Diện tích cần quét sơn của phòng học đó là:

(120,4 + 48,36) - 8,1 = 160,66 (m²)

Đáp số: 160,66 m²

Ví dụ 3. Một bể nước làm bằng tôn dạng hình hộp chữ nhật có chiều cao là 1,2m, chiều rộng kém chiều dài 0,6 m và có diện tích xung quanh là . Khi bể không có nước, người ta mở vòi cho nước chảy vào bể, mỗi giờ được 561 lít nước. Hỏi sau mấy giờ thì lượng nước trong bể bằng 75% thể tích của bể?

Bài giải

Chu vi đáy của bể nước là:

6, 72 : 1,2 = 5,6 (m)

Nửa chu vi đáy của bể nước là:

5,6 : 2 = 2,8 (m)

Chiều dài của bể nước là:

(2,8 + 0,6) : 2= 1,7 (m)

Chiều rộng của bể nước là:

1,7 - 0,6 = 1,1 (m)

Thể tích của bể nước là:

1,7 × 1,1 × 1,2 = 2,244 ()

75% thể tích của bể nước là:

2,244 × 75: 100= 1,683 ()

561 lít = 561dm³ = 0,561.

Thời gian để vòi chảy được lượng nước bằng 75% thể tích của bể nước là:

1,683 : 0,561 = 3 (giờ)

Đáp số:3 giờ

II. DIỆN TÍCH XUNG QUANH – DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN – THỂ TÍCH CỦA HÌNH LẬP PHƯƠNG

1. Phương pháp 

a) Định nghĩa

- Diện tích xung quanh của hình lập phương là tổng diện tích bốn mặt của hình lập phương.

- Diện tích toàn phần của hình lập phương là tổng diện tích sáu mặt của hình lập phương.

b) Quy tắc: Giả sử hình lập phương có cạnh là a.

- Muốn tính diện tích xung quanh của hình lập phương ta lấy diện tích một mặt nhân với 4.

Sxq = a × a × 4

- Muốn tính diện tích toàn phần của hình lập phương ta lấy diện tích một mặt nhân với 6.

Stp = a × a × 6

- Muốn tính thể tích hình lập phương ta lấy cạnh nhân cạnh nhân cạnh 

V = a × a × a

Ví dụ 1. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lập phương có cạnh 3cm.

Bài giải

Diện tích một mặt của hình lập phương là:

3 × 3 = 9 (cm²)

Diện tích xung quanh của hình lập phương là:

9 × 4 = 36 (cm²)

Diện tích toàn phần của hình lập phương đó là:

9 × 6 = 54 (cm²)

Đáp số: Diện tích xung quanh: 36cm²

Diện tích toàn phần: 54cm²

Ví dụ 2. Tính thể tích hình lập phương, biết rằng tổng diện tích của diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lập phương là 810cm².

Bài giải

Tổng diện tích xung quanh và diện tích toàn phần gồm 10 mặt hình vuông.

Diện tích một mặt là:

810 : 10 = 81 (cm²)

Vì 81 = 9 × 9 nên cạnh của hình lập phương là: 9cm

Thể tích của hình lập phương là:

9 × 9 × 9 = 729 (cm³)

Đáp số: 729cm³

Ví dụ 3. Một căn phòng hình lập phương có cạnh 5,5m. Hỏi không khí chứa trong phòng nặng bao nhiêu ki-lô-gam, biết 1 lít không khí nặng 1,2 gam?

Bài giải

Đổi: 5,5m = 55dm

Thể tích căn phòng đó là:

55 × 55 × 55 = 166375 (dm³) = 166375 (lít)

Thể tích không khí chứa trong phòng là 166375 lít.

Khối lượng của không khí chứa trong phòng là:

1,2 × 166375 = 199650 (g) = 199,65kg.

Đáp số: 199,65kg

III. BÀI TOÁN VỀ ĐẾM SỐ HÌNH LẬP PHƯƠNG NHỎ ĐƯỢC SƠN CÁC MẶT 

Áp dụng các công thức

a) Số hình lập phương nhỏ được sơn 3 mặt là: 8 hình nằm ở 8 đỉnh.

b) Số hình lập phương nhỏ được sơn 2 mặt là: 

(a – 2) × 4 + (b – 2) × 4 + (c – 2) × 4

c) Số hình lập phương nhỏ được sơn 1 mặt là:

(a – 2) × (b – 2) × 2  +  (b – 2) × (c – 2) × 2 + (c – 2) × (a – 2) x 2

d) Số hình lập phương nhỏ không được sơn mặt nào là: 

(a × b × c) - số HLP nhỏ sơn 3 mặt - số HLP nhỏ sơn 2 mặt - số HLP nhỏ sơn 1 mặt 

(a là số hình lập phương nhỏ nằm dọc theo một chiều dài.

b là số hình lập phương nhỏ nằm dọc theo một chiều rộng.

 c là số hình lập phương nhỏ nằm dọc theo một chiều cao.)

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Xếp 8 hộp hình lập phương 1dm³ thành một hình lập phương lớn rồi sơn xanh tất cả các mặt của hình lập phương lớn. Như vậy, mỗi hình lập phương nhỏ có mấy mặt không được sơn xanh?

Bài giải

Mỗi cạnh của hình lập phương lớn đều bằng 2 dm; do đó diện tích toàn phần là:

2 × 2 × 6 = 24 (dm²)

Tám hình lập phương nhỏ sắp xếp như nhau nên đều sơn diện tích bằng nhau.

Diện tích mỗi hình lập phương nhỏ được sơn là:

24: 8 = 3 (dm²)

Mỗi mặt của hình lập phương nhỏ là 1dm², nên mỗi hình lập phương nhỏ có 3 mặt được sơn và 3 mặt không được sơn.

Ví dụ 2. Người ta xếp các hình lập phương nhỏ cạnh 2cm thành một hình hộp chữ nhật có chiều dài 12 cm, chiều rộng 6 cm, chiều cao 10 cm rồi sơn tất cả các mặt của hình hộp chữ nhật đó. Hỏi có bao nhiêu hình lập phương nhỏ không được sơn mặt nào?

Bài giải

Số hình lập phương nhỏ nằm dọc theo một chiều dài là:

12 :2 = 6 (hình)

Số hình lập phương nhỏ nằm dọc theo một chiều rộng là:

6 : 2 = 3 (hình)

Số hình lập phương nhỏ nằm dọc theo một chiều cao là:

10 : 2 = 5 (hình)

Số hình lập phương nhỏ được sơn 3 mặt là: 8 hình nằm ở 8 đỉnh của hình lập phương lớn .

Số hình lập phương nhỏ được sơn 2 mặt là:

(6 - 2) × 4 + (3 - 2) × 4 + (5 - 2) × 4 = 32 (hình)

Số hình lập phương nhỏ được sơn 1 mặt là:

(6 - 2) × (3 - 2) × 2 + (3 - 2) × (5 - 2) × 2 + (5 - 2) × (6 - 2) × 2 = 38 (hình)

Số hình lập phương nhỏ không được sơn mặt nào là:

(6 × 3 × 5) – 8 – 32 – 38 = 12 (hình)

Đáp số: 12 hình lập phương nhỏ

IV. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1. Một hình hộp chữ nhật có số đo chiều rộng, chiều dài, chiều cao (tính theo dm) là 3 số tự nhiên liên tiếp tăng dần. Nếu giảm số đo chiều cao đi 2dm thì diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật mới bằng 60% diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật ban đầu. Tính thể tích hhcn ban đầu?

Bài 2. Người ta sử dụng các khối lập phương nhỏ có cạnh = 1cm để xếp thành một khối lập phương lớn. Biết tổng tất cả các khối lập phương nhỏ xếp trên các cạnh và đỉnh của hình lập phương lớn là 104. Tính thể tích khối lập phương lớn được tạo thành.

Bài 3. Xếp các hình lập phương nhỏ có cạnh 2cm thành hlp lớn có thể tích = 216cm³. Sau đó lấy đi một hlp nhỏ ở chính giữa mặt bên hlp lớn. Tính diện tích toàn phần của hình còn lại?

Bài 4. Tính thể tích hhcn có chiều dài = 5dm. Biết nếu chiều dài giảm đi 2dm thì thể tích hình hộp đó giảm đi 12dm³. 

Bài 5. Một cái thùng hình hộp chữ nhật có chiều dài 12dm, chiều rộng 9dm, chiều cao 6dm. Người ta xếp vào đó các khối hlp bằng nhau sao cho đầy khít thùng. Tính số khối lập phương ít nhất có thể xếp được như vậy.

Bài 6. Người ta xếp các hình lập phương cạnh 1cm thành một hình lập phương lớn có diện tích toàn phần là 600 cm². Sau đó người ta sơn tất cả các mặt của khối lập phương đó. Hỏi:

a) Có bao nhiêu hình lập phương nhỏ đã dùng để xếp thành hình lập phương lớn?

b) Có bao nhiêu hình lập phương nhỏ chỉ được sơn đúng một mặt?

Bài 7. Một miếng tôn có chu vi 44dm và chiều dài hơn chiều rộng 2dm. Người ta cắt 4 góc của miếng tôn 4 hình vuông bằng nhau, mỗi miếng có diện tích 100cm² rồi gấp lên thành một hình hộp không có nắp. Tính thể tích của hình hộp này?

Bài 8. Xếp các hình lập phương nhỏ cạnh 1cm thành khổi hộp chữ nhật có chiều dài 1dm, chiều rộng 0,5dm và chiều cao 0,6dm. Sau đó ta sơn toàn bộ các mặt của hình hộp chữ nhật. Hỏi có bao nhiêu hình lập phương nhỏ bị tô ba mặt, hai mặt, một mặt và không mặt nào.

Bài 9. Dùng một số hình lập phương có kích thước bằng nhau để ghép thành một hình lập phương có kích thước lớn hơn. Hỏi cận dùng ít nhất bao nhiêu hình lập phương bé?

Bài 10. Cho hai hình hộp chữ nhật. Chiều rộng của hình thứ nhất bằng một nửa chiều rộng hình thứ hai, chiều dài của hình thứ nhất gấp đôi chiều dài hình thứ hai, chiều cao của hình thứ nhất gấp ba lần chiều chiều của hình thứ hai. Hỏi thể tích của hình thứ nhất gấp mấy lần thể tích của hình thứ hai. 

Bài 11. Cạnh hình lập phương thứ nhất dài gấp hai lần cạnh hình lập phương thứ hai. Hỏi thể tích hình lập phương thứ nhất gấp mấy lấn thể tích hình lập phương thứ hai?

Bài 12. Một hình trụ có bán kính đáy 4m, chiều cao 3m. Một hình lập phương có cạnh 5m. Hỏi hình nào có thể tích lớn hơn?

Bài 13. Một bể cá hình chữ nhật có chứa nước. Nếu thả vào bể một khối lập phương kim loại có cạnh 10cm thì nước trong bể dâng lên cao ngang mặt trên của khối hộp. Nếu thả vào bể khối lập phương cùng loại nhưng có cạnh 20cm thì lúc này mức nước trong bể cao 15cm. Tính diện tích đáy bể đó?

Bài 14. Một chiếc thùng hình hộp chữ nhật có chiều cao 50cm, đáy là hình vuông có cạnh bằng 30cm. Nếu đổ đầy nước, chiếc thùng đó đựng được bao nhiêu lít?

Bài 15. Cho hình chữ nhật chiều dài a (cm), chiều rộng b (cm), Nếu ghép hình chữ nhật với hình vuông cạnh a (cm) ta được hình chữ nhật có hu vi là 34cm. Nếu ghép hình chữ nhật với hình vuông cạnh b (cm) ta được hình chữ nhật có chu vi là 26cm. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu?

Bài 16. Có 18 hình lập phương như nhau, mỗi hình có cạnh là 1cm. Xếp tất cả 18 hình này thành một hình hộp chữ nhật. Hỏi có thể xếp được những kiểu hình hộp chữ nhật khác nhau nào? Tính thể tích của mỗi hình chữ nhật ấy?

Bài 17. Bạn Bắc dùng các khối lập phương nhỏ cạnh 1dm xếp thành khối lập phương lớn có thể tích 64 dm³. Sau đó bạn lấy ra 4 khối lập phương nhỏ ở 4 đỉnh phía trên của khối lập phương lớn. Tính diện tích toàn phần của khối còn lại?

Bài 18. Phải xếp bao nhiêu hình lập phương nhỏ có cạnh 1cm để được một hình lập phương lớn có diện tích toàn phần là 294dm²

Bài 19. Một chiếc thùng hình hộp chữ nhật có 3 kích thước dài, rộng, cao tỉ lệ với các số 3,2,1 (dài:rộng:cao = 3:2:1). Nếu xếp vào thùng 48 chiếc hộp hình lập phương cạnh 30cm thì vừa đầy thùng. Tính chiều dài và chiều rộng của thùng?

Bài 20. Một chiếc thùng hình hộp chữ nhật có chiều dài 12dm, chiều rộng 6dm, chiều cao 4dm. Người ta xếp vào đó các hình hộp lập phương bằng nhau sao cho vừa đầy khít thùng. Tính số hộp ít nhất?

Bài 21. Một miếng tôn hình chữ nhật có chu vi 22dm, chiều dài hơn chiều rộng 1dm. Người ta cắt 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc, mỗi hình có diện tích 100 cm² rồi gấp lên thành một hình hộp không có nắp. Tính thể tích của hình hộp này?

Bài 22. Một khối lập phương bằng sắt nặng 5,4 kg. Hỏi một khối lập phương bằng sắt có cạnh bằng 1/3 cạnh của hình lập phương đã cho sẽ nặng bao nhiêu gam?

Bài 23. Xếp các hình lập phương nhỏ cạnh 1cm thành một hình hộp chữ nhật có chiều dài 12 cm, chiều rộng 10 cm, chiều cao 5 cm rồi sơn tất cả các mặt của hình hộp chữ nhật đó. Hỏi có bao nhiêu hình lập phương nhỏ được sơn hai mặt?

Bài 24. Xếp các hình lập phương nhỏ cạnh 1cm thành một hình hộp chữ nhật có chiều dài 2 dm, chiều rộng 1,5 dm, chiều cao 10 cm rồi sơn tất cả các mặt của hình hộp chữ nhật đó. Hỏi có bao nhiêu hình lập phương nhỏ được sơn một mặt?

Bài 25. Xếp các hình lập phương nhỏ cạnh 2cm thành một hình hộp chữ nhật có chiều dài 18 cm, chiều rộng 14 cm, chiều cao 10 cm rồi sơn tất cả các mặt của hình hộp chữ nhật đó. Hỏi có bao nhiêu hình lập phương nhỏ không được sơn mặt nào?