Nhằm mục đích giúp học sinh nắm vững được cấu trúc và các dạng toán hay có trong đề thi vào lớp 6 môn Toán, Tailieumoi.vn biên soạn tài liệu Các bài toán công việc chung – công việc riêng có lời giải đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện giúp học sinh ôn luyện và đạt điểm cao trong kì thi tuyển sinh vào lớp 6 môn Toán.

I. CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1. Biết thời gian làm riêng một công việc, yêu cầu tìm thời gian làm công việc chung đó.

1. Phương pháp

Bước 1. Quy ước một đại lượng (như công việc cần hoàn thành, quãng đường cần đi, thể tích của bể nước,…) là đơn vị.

Bước 2. Tính số phần công việc làm riêng trong một giờ.

Bước 3. Tính số phần công việc làm chung trong một giờ.

Bước 4. Tính thời gian làm chung để hoàn thành công việc đó.

2. Ví dụ 

Ví dụ 1. Hai người thợ nhận làm chung một công việc. Người thợ thứ nhất làm một mình thì hoàn thành công việc trong 4 giờ. Người thợ thứ hai làm một mình thì hoàn thành công việc trong 6 giờ. Hỏi cả hai người cùng làm thì hoàn thành công việc đó mất bao lâu?

Bài giải

Trong 1 giờ người thợ thứ nhất làm một mình được: 

 (công việc)

Trong 1 giờ người thợ thứ hai làm một mình được: 

 (công việc)

Trong 1 giờ cả hai người cùng làm được:

 (công việc)

Thời gian để hai người cùng làm chung hoàn thành xong công việc đó là:

 (giờ) = 2 giờ 24 phút

         Đáp số: 2 giờ 24 phút

Ví dụ 2. Người thứ nhất đi từ A đến B hết 7 giờ. Người thứ hai đi từ B về A thì hết 5 giờ. Hỏi nếu cùng một lúc, người thứ nhất đi từ A và người thứ hai đi từ B thì sau bao lâu họ gặp nhau?

Bài giải

Ta quy ước quãng đường AB là đơn vị.

Trong 1 giờ người thứ nhất đi được:

(quãng đường AB)

Trong 1 giờ người thứ hai đi được:

(quãng đường AB)

Trong 1 giờ cả hai người cùng đi người thứ nhất đi từ A đến B và người thứ hai đi từ B về A thì đi được:

(quãng đường AB)

Thời gian cả hai người cùng đi đến lúc họ gặp nhau là:

(giờ) = 2 giờ 55 phút

       Đáp số: 2 giờ 55 phút

Ví dụ 3. Một cái hồ có 3 vòi nước: hai vòi cùng cháy nước vào và một vòi tháo nước ra. Biết rằng vòi thứ nhất chảy một mình mất 8 giờ thì đấy hồ, vòi thứ hai chảy một mình mất 6 giờ thì đầy hồ, vòi thứ ba tháo ra một mình mất 4 giờ thì hồ cạn. Hồ đang cạn, nếu mở cả 3 vòi cùng một lúc thì mất bao hồ đầy?

Bài giải:

Ta quy ước thể tích của hồ nước là đơn vị.

Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy vào được: 

(hồ nước)

Trong 1 giờ vòi thứ hai chảy vào được: 

(hồ nước)

Trong 1 giờ vòi thứ ba tháo ra hết: 

(hồ nước)

Trong 1 giờ cả 3 vòi cùng chảy thì lượng nước trong hồ tăng lên:

(hồ nước)

Thời gian cả 3 vòi cùng chảy đầy hồ là: 

(giờ)

             Đáp số: 24 giờ

Dạng 2. Biết thời gian cùng chung hoàn thành xong công việc và thời gian làm riêng (đã biết). Hoàn thành xong công việc đó, yêu cầu tính thời gian là riêng (chưa biết) xong công việc đó.

1. Phương pháp

Bước 1. Quy ước đại lượng không đổi là đơn vị.

Bước 2. Tính số phần công việc làm chung trong 1 giờ (bằng cách lấy đơn vị chia cho thời gian làm chung công việc đó).

Bước 3. Tính số  phần công việc làm riêng (đã biết thời gian làm riêng )  trong 1giờ (bằng cách lấy đơn vị chia cho thời gian làm riêng công việc đó).

Bước 4. Tính số phần công việc làm riêng trong 1 giờ (bằng cách lấy số phần công việc làm – công việc đó- trong 1giờ trừ đi số phâng công việc làm riêng – công việc đó- trong 1 giờ)

Bước 5. Tính thời gian làm riêng hoàn thành công việc (bằng cách lấy đơn vị chia cho số phần công việc làm riêng trong 1 giờ).

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Hai người cúng là chung một công việc thì sau 5 giờ sẽ xong. Nếu một mình người thợ cả làm thì phải làm 8 giờ mới xong. hỏi người thợ thứ hai làm một mình sau bao lâu sẽ xong công việc đó?

Bài giải:

Ta quy ước công việc cần xong là đơn vị.

Trong 1 giờ cả hai người thợ cùng làm được:

(công việc)

Trong 1 giờ người thợ cả làm được:

(công việc)

Trong 1 giờ người thợ thứ hai làm được:

(công việc)

Thời gian người thợ thứ hai làm một mình xong công việc đó là:

(giờ) = 13 giờ 20 phút

Đáp số: 13 giờ 20 phút

Ví dụ 2. Cả ba vòi nước cùng chảy vào một cái bể sau 3 giờ thì đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy một mình thì phải mất 8 giờ mới đầy bể. Nếu vòi thứ hai chảy một mình thì phải mất 12 giờ mới đầy bể. Hỏi vòi thứ ba chảy một mình thì phải mất bao lâu mới đầy bể?

Bài giải

Ta quy ước thể tích của bể là đơn vị. 

Trong 1 giờ cả ba vòi cùng chảy được:

(bể nước)

Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được:

(bể nước)

Trong 1 giờ vòi thứ hai chảy được:

(bể nước)

Trong 1 giờ cả vòi thứ nhất và vòi thứ hai cùng chảy được:

(bể nước)

Trong 1 giờ vòi thứ ba chảy được:

(bể nước)

Thời gian thời vòi thứ ba chảy một mình đầy bể là:

(giờ)

         Đáp số: 8 giờ

Dạng 3. Cho thời gian làm riêng công việc và tổng thời gian hai người làm liên tiếp để xong công việc, yêu cầu tính thời gian mỗ người làm (kiểu nay thường phối hợp nhiều phương pháp giải).

1. Phương pháp

Bước 1. Quy ước đại lượng không đổi là đơn vị.

Bước 2. Tính số phần công việc người thứ nhất làm trong 1 giờ

Bước 3. Tính số phần công việc người thứ hai làm trong 1 giờ

Bước 4. Giả sử thời gian hoàn thành công việc khi làm riêng của người thứ hai bằng thời gian cả hai người hoàn thành công việc. 

Bước 5. Tính số phần công việc mỗi giờ người thứ nhất làm nhiều hơn người thứ hai (hoặc ngược lại)

Bước 6. Tính thời gian người thứ nhất làm; Tính thời gian người thứ hai làm.

2. Ví dụ

Có một công việc, nếu Sơn làm một mình thì hết 10 giờ; nếu Dương làm một mình thì hết 15 giờ. Lúc đầu, Sơn làm rồi nghỉ sau đó Dương làm tiếp cho đến khi xong việc. Hai bạn làm hết 11 giờ. Hỏi mỗi bạn làm trong mấy giờ?

Bài giải

Ta quy ước công việc cần xong là đơn vị.

Mỗi giờ Sơn làm được số phần công việc là:

(công việc)

Mỗi giờ Dương làm được số phần công việc là:

(công việc)

Giả sử Dương làm một mình trong cả 11 giờ thì làm được số phần công việc là

 (công việc)

Khi đó số phần công việc còn lại chưa làm xong là:

(công việc)

Sở dĩ có phần công việc chưa làm xong là do ta thấy số giờ Sơn làm bằng số giờ Dương làm.

Mỗi giờ Sơn làm được nhiều hơn Dương là:

(công việc)

Thời gian Sơn làm là:

(giờ)

Thời gian Dương làm là:

11 – 8 = 3 (giờ)

Đáp số: Sơn 8 giờ; Dương 3 giờ

II. BÀI TẬP VẬN DỤNG 

Bài 1. Hai người cùng đắp một nền nhà thì phải mất 4 ngày mới xong. Nếu một mình người thứ nhất đắp thì phải mất 6 ngày mới xong. Hỏi nếu một mình người thứ hai đắp thì phải mất mấy ngày mới xong?

Bài 2. An và Toàn nhận làm chung một công việc. Nếu một mình An làm thì sau 4 giờ sẽ xong, còn nếu một mình Toàn làm thì sau 6 giờ sẽ xong. Hỏi nếu cả hai bạn cùng làm thì xong công việc trong bao lâu?

Bài 3. Ba người thợ cùng làm chung một công việc. Nếu làm một mình thì người thứ nhất phải mất 3 giờ, người thứ hai phải mất 4 giờ, người thứ ba phải mất 6 giờ mới xong. Hỏi cả ba người cùng làm thì sẽ hoàn thành công việc trong bao lâu?

Bài 4. Bác Thành hoàn thành một công việc phải mất 3 giờ, bác Mai hoàn thành công việc đó phải mất 4 giờ. Hỏi hai bác cùng làm thì phải mất bao nhiêu lâu mới xong công việc đó?

Bài 5. A và B cùng hoàn thành một công việc phải mất 3 giờ. B và C cùng hoàn thành công việc đó phải mất 4 giờ. C và A cùng hoàn thành công việc đó phải mất 2 giờ rưỡi. Hỏi cả ba người cùng làm thì mất bao lâu sẽ xong công việc?

Bài 6. Ở một cái bể có hai vòi nước. Vòi thứ nhất chảy vào đầy bể sau 5 giờ, vòi thứ hai chảy vào đầy bể sau 7 giờ. Nếu bể không có nước, mở cả hai vòi cùng một lúc thì sau bao lâu sẽ đầy bể.

Bài 7. Ba vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước. Nếu vòi I và vòi II cùng chảy thì đầy bể trong 6 giò. Nếu vòi II và vòi III cùng chảy thì đầy bể trong 8 giờ. Nếu vòi I và vòi III cùng chảy thì đầy bể trong 12 giờ. Hỏi chỉ một mình vòi III chảy thì đầy bể sau bao lâu?

Bài 8. Ở một cái bể có hai vòi nước, vòi 1 chảy vào và vòi 2 tháo ra. Nếu bể cạn vòi thứ nhất chảy vào đầy bể sau 5 giờ. Nếu bể đầy nước vòi thứ hai sẽ tháo ra cạn bể sau 7 giờ. Hiện tại bể không có nước, mở cả hai vòi nước cùng một lúc thì bao lâu đầy bể?

Bài 9. Một bể có 3 vòi nước: hai vòi chảy vào và một vòi chảy ra. Biết rằng vòi thứ nhất chảy 6 giờ thì đầy bể, vòi thứ hai chảy 4 giờ thì đầy bể, vòi thứ ba tháo ra 8 giờ thì cạn bể. Bể đang cạn, nếu mở cả 3 vòi cùng một lúc thì sau bao lâu bể đầy?

Bài 10. Ở một cái bể có hai vòi A và B chảy vào, vòi C tháo nước ra. Một mình vòi A chảy vào đầy bể sau 6 giờ, một mình vòi B chay vào đầy bể sau 5 giờ. Nếu bể đầy nước mở vòi C thì sau 3 giờ bể cạn. Giả sử bể không có nước, mở 3 vòi cùng một lúc, hỏi sau bao lâu bể đầy nước?

Bài 11. Thành và Tâm cùng làm chung một công việc thì phải mất 7 giờ mới xong. Nhưng sau khi hai người đã làm chung được 5 giờ thì Thành bị ốm phải nghỉ chỉ còn mình Tâm làm nên Tâm phải làm trong 6 giờ nữa mới xong. Hỏi nếu mỗi người chỉ làm một mình thì mất mấy giờ mới xong công việc đó?

Bài 12. Ba người cùng làm chung một công việc thì xong trong 6 giờ. Nếu người thứ nhất làm một mình thì xong trong 12 giờ, người thứ hai làm một mình thì xong trong 15 giờ. Hỏi người thứ ba nếu làm một mình thì xong công việc đó trong bao lâu?

Bài 13. Một người làm một công việc thì xong trong 12 giờ. Sau khi làm được 6 giờ thì có người thứ hai đến cùng làm và cả hai người đã làm xong phần còn lại trong 1 giờ 30 phút. Hỏi nếu người thứ hai làm một mình thì xong công việc trong bao lâu?

Bài 14. Ba người cùng làm chung một công việc thì xong trong 10 giờ, nhưng khi làm thì có một người phải chuyển đi làm việc khác nên 2 người còn lại phải làm trong 15 giờ mới xong. Hỏi nếu một mình người chuyển đi làm thì phải trong bao lâu mới xong việc?

Bài 15. Để làm xong một công việc, tổ một phải làm trong 9 giờ, tổ hai phải làm trong 12 giờ. Khi tổ một làm được 6 giờ thì phải chuyển đi làm việc khác để tổ hai làm tiếp cho đến khi xong. Hỏi tổ hai phải làm xong công việc đó trong bao lâu?

Bài 16. Người thứ nhất một mình có thể hoàn thành một công việc trong 25 ngày, người thứ hai trong 20 ngày, người thứ ba trong 24 ngày. Cả ba người cùng làm trong 2 ngày , sau đó chỉ còn người thứ ba làm tiếp trong 6 ngày rồi người thứ nhất trở lại cùng với một người thứ tư và cả ba người cùng làm thêm 4 ngày nữa thì xong công việc. Hỏi nếu một mình người thứ tư làm thì phải bao nhiêu ngày mới làm xong toàn bộ công việc?

Bài 17. Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước sau 6 giờ sẽ đầy bể. Nếu vòi I chảy một mình thì sau 10 giờ mới đầy bể. Hỏi nếu vòi II chảy riêng một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể?

Bài 18. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không chứa nước thì sau 3 giờ sẽ đầy bể. Nếu cho hai vòi cùng chảy vào bể không chứa nước trong 2 giờ, sau đó tắt vòi thứ nhất thì vòi thứ hai chảy thêm 3 giờ nữa sẽ đầy bể. Hỏi nếu chảy riêng vào bể không chứa nước thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu?

Bài 19. Một con trâu ăn hết một bó cỏ trong 16 phút. Nhưng trâu mới ăn được 4 phút thì có thêm một con bê đến ăn cùng. Cả hai ăn trong 10 phút nữa thì hết cỏ. Hỏi nếu con bê ăn một mình thì sau bao lâu hết bó cỏ?

Bài 20. Ba người cùng làm một công việc sẽ xong trong 2 giờ 40 phút. Nếu làm riêng một mình thì người thứ nhất phải mất 8 giờ mới xong công việc, người thứ hai phải mất 12 giờ mới xong công việc. Hỏi nếu người thứ ba làm một mình thì phải mất bao lâu mới xong công việc?