Nhằm mục đích giúp học sinh nắm vững được cấu trúc và các dạng toán hay có trong đề thi vào lớp 6 môn Toán, Tailieumoi.vn biên soạn tài liệu Các bài toán về dãy số viết theo quy luật có lời giải đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện giúp học sinh ôn luyện và đạt điểm cao trong kì thi tuyển sinh vào lớp 6 môn Toán.

I. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Tìm số hạng chưa biết của dãy số

1. Phương pháp

Xác định quy luật của dãy số đó.

2. Ví dụ 

Ví dụ 1. Viết tiếp 3 số:

a) 5, 10, 15, ...

b) 3, 7, 11, ...

Bài giải

a) 5, 10, 15, ...

Vì: 10 – 5 = 5; 15 – 10 = 5

Dãy số trên 2 số hạng liền nhau hơn kém nhau 5 đơn vị. Vậy 3 số tiếp theo là:

15 + 5 = 20

20 + 5 = 25

25 + 5 = 30

Dãy số mới là: 5, 10, 15, 20, 25, 30

b) 3, 7, 11, ...

Vì: 7 – 3 = 4; 11 – 7 = 4

Dãy số trên 2 số hạng liền nhau hơn kém nhau 4 đơn vị. Vậy 3 số tiếp theo là:

11 + 4 = 15

15 + 4 = 19

19 + 4 = 23

Dãy số mới là: 3, 7, 11, 15, 19, 23

Ví dụ 2. Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau:

a) 1, 3, 4, 7, 11, 18, ...

b) 0, 2, 4, 6, 12, 22, ...

c) 0, 3, 7, 12, ...

d) 1, 2, 6, 24, ...

Bài giải

a) Nhận xét: 

4 = 1 + 3

7 = 3 + 4

11 = 4 + 7

18 = 7 + 11

Từ đó rút ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (Kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số hạng đứng trước nó. Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau:

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76,...

b) Tương tự bài a, ta tìm ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của 3 số hạng đứng trước nó.

Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau: 0, 2, 4, 6, 12, 22, 40, 74, 136, ...

c) Ta nhận xét:

Số hạng thứ hai là: 3 = 0 + 1 + 2

Số hạng thứ ba là: 7 = 3 + 1 + 3

Số hạng thứ tư là: 12 = 7 + 1 + 4

Từ đó rút ra quy luật của dãy là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với 1 và cộng với số thứ tự của số hạng ấy.

Viết tiếp ba số hạng ta được dãy số sau: 0, 3, 7, 12, 18, 25, 33, ...

d) Ta nhận xét:

Số hạng thứ hai là 2 = 1 × 2

Số hạng thứ ba là 6 = 2 × 3

số hạng thứ tư là 24 = 6 × 4

Từ đó rút ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tích của số hạng đứng liền trước nó nhân với số thứ tự của số hạng ấy.

Viết tiếp ba số hạng ta được dãy số sau: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ...

Ví dụ 3. số hạng đầu tiên của các dãy số sau biết rằng mỗi dãy số có 10 số hạng.

a) …, 32, 64, 128, 256, 512, 1024

b) …, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110

Bài giải

a) Ta nhận thấy:

Số hạng thứ 10 là: 1024 = 512 × 2

Số hạng thứ 9 là: 512 = 256 × 2

Số hạng thứ 8 là: 256 = 128 × 2

Số hạng thứ 7 là: 128 = 64 × 2

….

Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số này là: Mỗi số hạng của dãy số gấp đôi số hạng đứng liền trước đó.

Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: 1 × 2 = 2.

b) Ta nhận thấy rằng:

Số hạng thứ 10 là: 110 = 11 × 10

Số hạng thứ 9 là: 99 = 11 × 9

Số hạng thứ 8 là: 88 = 11 × 8

Số hạng thứ 7 là: 77 = 11 × 7

…

Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng số thứ tự của số hạng ấy nhân với 11.

Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: 11 × 1 = 11.

Dạng 2. Xác định số a có thuộc dãy số đã cho hay không?

1. Phương pháp

- Xác định quy luật của dãy.

- Kiểm tra số a có thoả mãn quy luật đó hay không?

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Em hãy cho biết:

a) Các số 50 và 133 có thuộc dãy 90, 95, 100,. .. hay không?

b) Số 1996 thuộc dãy 3, 6, 8, 11,. .. hay không?

c) Số nào trong các số 666, 1000, 9999 thuộc dãy 3, 6, 12, 24,. ..?

Giải thích tại sao?

Bài giải

a) Cả 2 số 50 và 133 đều không thuộc dãy đã cho vì

- Các số hạng của dãy đã cho đều lớn hơn 50;

- Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5 mà 133 không chia hết cho 5.

b) Số 1996 không thuộc dãy đã cho, vì mọi số hạng của dãy khi chia cho đều dư 2 mà 1996: 3 thì dư 1.

c) Cả 3 số 666, 1000, 9999 đều không thuộc dãy 3, 6, 12, 24,. .., vì

- Mỗi số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng liền trước nhân với 2. Cho nên các số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước là số chẵn mà 666: 2 = 333 là số lẻ.

- Các số hạng của dãy đều chia hết cho 3 mà 1000 không chia hết cho 3

- Các số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ hai) đều chẵn mà 9999 là số lẻ.

Ví dụ 2. Cho dãy số: 2, 4, 6, 8,……

a) Dãy số được viết theo quy luật nào?

b) Số 2009 có phải là số hạng của dãy không? Vì sao?

Bài giải

a) Ta nhận thấy:

Số hạng thứ 1: 2 = 2 × 1

Số hạng thứ 2: 4 = 2 × 2

Số hạng thứ 3: 6 = 2 × 3

…

Số hạng thứ n: ? = 2 × n

Quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng 2 nhân với số thứ tự của số hạng ấy.

b) Ta nhận thấy các số hạng của dãy là số chẵn, mà số 2009 là số lẻ, nên số 2009 không phải là số hạng của dãy.

Ví dụ 3. Cho dãy số: 1; 2,2; 3,4; ……; 13; 14,2.

Nếu viết tiếp thì số 34,6 có thuộc dãy số trên không?

Bài giải

Ta nhận xét: 

2,2 – 1 = 1,2

3,4 – 2,2 = 1,2

14,2 – 13 = 1,2

…

Quy luật của dãy số trên là: Từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng đều hơn số hạng liền trước nó là 1,2 đơn vị:

– Mặt khác, các số hạng trong dãy số trừ đi 1 đều chia hết cho 1,2.

Ví dụ: (13 – 1) chia hết cho 1,2; (3,4 – 1) chia hết cho 1,2

Mà: (34,6 – 1) : 1,2 = 28 dư 0.

Vậy nếu viết tiếp thì số 34,6 cũng thuộc dãy số trên.

Dạng 3. Tìm số hạng thứ n của dãy số

1. Phương pháp

Công thức tổng quát:

Số hạng thứ n = số đầu + khoảng cách × (Số số hạng – 1)

2. Ví dụ 

Ví dụ 1. Cho dãy số: 1, 3, 5, 7,… Hỏi số hạng thứ 100 của dãy số là số nào?

Bài giải

Số khoảng cách từ số đầu đến số hạng thứ 100 là:

98 – 1 = 99

Khoảng cách giữa hai số liên tiếp là 2 (3 – 1 = 5 – 3 = 7 – 5 = 2)

Số hạng thứ 100 là

1 + 2 × (100 – 1) = 199

Ví dụ 2. Tìm số hạng thứ 100 của các dãy số được viết theo quy luật:

a) 3, 8, 15, 24, 35,… 

b) 3, 24, 63, 120, 195,… 

Bài giải

a) Dãy (1) có thể viết dưới dạng: 1 × 3, 2 × 4, 3 × 5, 4 × 6, 5 × 7,…

Mỗi số hạng của dãy (1) là tích của hai thừa số, thừa số thứ hai lớn hơn thừa số thứ nhất 2 đơn vị. Các thừa số thứ nhất làm thành một dãy: 1, 2, 3, 4, 5, …; Dãy này có số hạng thứ 100 là 100.

Số hạng thứ 100 của dãy (1) bằng: 100×102 = 10200.

b) Dãy (2) có thể viết dưới dạng: 1×3, 4×6, 7×9, 10×12, 13×15,…

Mỗi số hạng của dãy (2) là tích của hai thừa số, thừa số thứ hai lớn hơn thừa số thứ nhất 2 đơn vị. Các thừa số thứ nhất làm thành một dãy: 1, 4, 7, 10, 13, …; Số hạng thứ 100 của dãy 1, 4, 7, 10, 13,… là: 1 + (100 – 1 ) x 3 = 298.

Số hạng thứ 100 của dãy (2) bằng: 298 x 300 = 89400.

Dạng 4. Tính tổng của dãy số có quy luật cách đều

1. Phương pháp

Bước 1: Tính số số hạng có trong dãy: (Số hạng lớn nhất của dãy - số hạng bé nhất của dãy): khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1

Bước 2: Tính tổng của dãy: (Số hạng lớn nhất của dãy + số hạng bé nhất của dãy) × số số hạng có trong dãy : 2

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tính giá trị của A biết: A = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 2014.

Bài giải

Dãy số trên có số số hạng là:

(2014 – 1) : 1 + 1 = 2014 (số hạng)

Giá trị của A là:

(2014 + 1) × 2014 : 2 = 2029105

Đáp số: 2029105

Ví dụ 2. Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy đó là 2013 ?

Bài giải

Số hạng bé nhất trong dãy số đó là:

2013 - (50 – 1) × 2 = 1915

Tổng của 50 số lẻ cần tìm là

(2013 + 1915) × 50 : 2 = 98200

Đáp số: 98200

Dạng 5. Tìm số chữ số của dãy khi biết số số hạng

1. Phương pháp

Chia dãy số thành: 

+ Các số có 1 chữ số Þ số chữ số = số số hạng × 1

+ Các số có 2 chữ số Þ số chữ số = số số hạng × 2

+ Các số có 3 chữ số Þ số chữ số = số số hạng × 3

….

2. Ví dụ 

Ví dụ 1. Cho dãy số: 1, 2, 3,…….150. Hỏi để viết dãy số này người ta phải dùng bao nhiêu chữ số?

Bài giải

Dãy số đã cho có: (9 – 1) : 1 + 1 = 9 số có 1 chữ số.

Có (99 – 10) : 1 + 1 = 90 số có 2 chữ số.

Có (150 – 100) : 1 + 1 = 51 số có 3 chữ số.

Vậy số chữ số cần dùng là: 9 + 90 × 2 + 51 × 3 = 342 chữ số

Ví dụ 2. Một quyển sách có 234 trang. Hỏi để đánh số trang quyển sách đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số.

Bài giải

Để đánh số trang quyển sách đó người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 234 thành dãy số. Dãy số này có

(9 – 1) : 1 + 1 = 9 số có 1 chữ số

Có: (99 – 10) : 1 + 1 = 90 số có 2 chữ số

Có: (234 – 100) : 1 + 1 = 135 số có 3 chữ số

Vậy người ta phải dùng số chữ số là:

9 x 1 + 90 x 2 + 135 x 3 = 594 chữ số

Dạng 6. Tìm số số hạng khi biết số chữ số

1. Phương pháp

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Để đánh số trang 1 quyển sách người ta dùng hết 435 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang?

Bài giải

Để đánh số trang quyển sách đó, người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên bắt đầu từ 1 thành dãy số. Dãy số này có 9 số có 1 chữ số; có 90 số có 2 chữ số

Để viết các số này cần số chữ số là

9 × 1 + 90 × 2 = 189 chữ số

Số chữ số còn lại là:

435 – 189 = 246 chữ số

Số chữ số còn lại này dùng để viết tiếp các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100.

Ta viết được

246 : 3 = 82 số

Số trang quyển sách đó là

99 + 82 = 181 (trang)

Ví dụ 2. 

Để đánh số trang một cuốn sách người ta phải dùng tất cả 600 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang?

Bài giải

99 trang đầu cần dùng 9 × 1 + 90 × 2 = 189 chữ số.

999 trang đầu cần dùng: 9 × 1 + 90 × 2 + 900 × 3 = 2889 chữ số

Vì: 189 < 600 < 2889 nên trang cuối cùng phải có 3 chữ số. Số chữ số để đánh số các trang có 3 chữ số là: 600 – 189 = 411 (chữ số)

Số trang có 3 chữ số là 411: 3 = 137 trang.

Vậy quyển sách có tất cả là: 99 + 137 = 236 trang.

Dạng 7. Tìm chữ số thứ n của dãy

1. Phương pháp

Xét những số c

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho dãy số 1, 2, 3,… Hỏi chữ số thứ 200 là chữ số nào?

Bài giải

Dãy số đã cho có 9 số có 1 chữ số

Có 90 số có 2 chữ số

Để viết các số này cần

9 × 1 + 90 × 2 = 189 chữ số

Số chữ số còn lại là

200 – 189 = 11 chữ số

Số chữ số còn lại này dùng để viết các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100. 

Ta viết được: 11 : 3 = 3 số (dư 2 chữ số)

Nên có 3 số có 3 chữ số được viết liên tiếp đến

99 + 3 = 102

Còn dư 2 chữ số dùng để viết tiếp số 103 nhưng chỉ viết được 10. 

Vậy chữ số thứ 200 của dãy là chữ số 0 của số 103.

Ví dụ 2. Cho dãy số 2, 4, 6, 8, ….. Hỏi chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số nào?

Bài giải

Dãy số đã cho có 4 số có 1 chữ số

Có (98 – 10) : 2 + 1 = 45 số có 2 chữ số

Có (998 – 100) : 2 + 1 = 450 số có 3 chữ số

Để viết các số này cần:

4 x 1 + 45 x 2 + 450 x 3 = 1444 chữ số

Số chữ số còn lại là:

2010 – 1444 = 566 chữ số

Số chữ số còn lại này dùng để viết các số có 4 chữ số bắt đầu từ 1000. Ta viết được:

566 : 4 = 141 số (dư 2 chữ số)

Nên có 141 số có 4 chữ số được viết , số có 4 chữ số thứ 141 là:

(141 – 1) x 2 + 1000 = 1280

Còn dư 2 chữ số dùng để viết tiếp số 1282 nhưng mới chỉ viết được 12. Vậy chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số 2 hàng trăm của số 1282.

II. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1. Cho dãy số: 1, 4, 7, 10,…

a) Nêu quy luật của dãy.

b) Số 31 có phải là số hạng của dãy không?

c) Số 2009 có thuộc dãy này không? Vì sao?

Bài 2. Cho dãy số: 1; 4; 7; 10; ...; 2014

a) Tính tổng của dãy số trên?

b) Tìm số hạng thứ 99 của dãy?

c) Số hạng 1995 có thuộc dãy số trên không? Vì sao?

Bài 3. Tìm trung bình cộng của các số có 3 chữ số.

Bài 4. Tính tổng: 1 + 5 + 9 + 13 + … biết tổng trên có 100 số hạng.

Bài 5. Cho dãy số: 1004, 1010, 1016, …, 2012.

Hỏi số 1004 và 1760 có thuộc dãy số trên hay không?

Bài 6. Cho dãy số: 1, 7, 13, 19,…,

a) Nêu quy luật của dãy số rồi viết tiếp 3 số hạng tiếp theo.

b) Trong 2 số 1999 và 2009 thì số nào thuộc dãy số? Vì sao?

Bài 7. Cho dãy số: 3, 8, 13, 18,……

Có số tự nhiên nào có chữ số tận cùng là 6 mà thuộc dãy số trên không?

Bài 8. Cho dãy số: 1, 3, 6, 10, 15,……, 45, 55,……

a) Số 1997 có phải là số hạng của dãy số này hay không?

b) Số 561 có phải là số hạng của dãy số này hay không?

Bài 9. Cho dãy số: 3, 8, 13, 23, ……,2008

Tìm xem dãy số có bao nhiêu số hạng.

Bài 10. Tìm số số hạng của các dãy số sau:

a) 1, 4, 7, 10, ……,1999.

b) 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; … ; 108,9 ; 110,0.

Bài 11. Xét dãy số: 100, 101, ………, 789.

Hỏi dãy số trên có bao nhiêu số hạng?

Bài 12. Có bao nhiêu số khi chia cho 4 thì dư 1 mà nhỏ hơn 2010?

Bài 13. Người ta trồng cây hai bên đường của một đoạn đường quốc lộ dài 21km. Hỏi phải dùng bao nhiêu cây để đủ trồng trên đoạn đường đó ? Biết rằng cây nọ trồng cách cây kia 5m.

Bài 14. Một bạn học sinh viết liên tiếp các số tự nhiên từ 101 đến 2009 thành 1 số rất lớn. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số

Bài 15. Trường Tiểu học Thành Công có 987 học sinh. Hỏi để ghi số thứ tự học sinh trường đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số

Bài 16. Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang của một cuốn sách có tất cả là:

a) 752 trang.

b) 1251 trang.

Bài 17. Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, … Hãy tìm chữ số thứ 200 của dãy số đó.

Bài 18. Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, … Bạn Minh tìm được chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số 0, hỏi bạn tìm đúng hay sai?