Nhằm mục đích giúp học sinh nắm vững được cấu trúc và các dạng toán hay có trong đề thi vào lớp 6 môn Toán, Tailieumoi.vn biên soạn tài liệu Các bài toán về dấu hiệu chia hết có lời giải đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện giúp học sinh ôn luyện và đạt điểm cao trong kì thi tuyển sinh vào lớp 6 môn Toán.

I. Các dạng toán

Dạng 1. Dùng dấu hiệu chia hết để viết số tự nhiên

1. Phương php

Bước 1. Gọi số cần tìm có dạng 

Bước 2. Sử dụng dấu hiệu chia hết 2, 3, 5, 9 để lựa chọn các giá trị thích hợp cho từng chữ số.

2. Ví dụ  1

Cho 5 chữ số: 0, 1, 2, 4, 5. Từ  5 chữ số đã cho có thể viết được:

1. Bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 5 ?
2. Có thể viết bao nhiêu chữ số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5 mà chữ số hàng trăm bằng 4 ?
3. Có thể viết được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5 ?

Bài giải

a) Số cần tìm có dạng  :

- Có 4 cách chọn a (1, 2, 3, 4)

- Có 5 cách chọn b (0, 1, 2, 4, 5)

- Có 5 cách chọn c (0, 1, 2, 4, 5)

- Có 2 cách chọn d (0, 5 )

Ta có : 4 5 5 2 = 200 cách chọn 

Kết luận: Có 200 số có 4 chữ số chia hết cho 5.

b) Số cần tìm có dạng  hoặc .

+ Nhóm 1: 

- Có 3 cách chọn a ( 1, 2, 5 )

- Có 2 cách chọn b ( 3 cách trừ 1 cách đã chọn a)

Ta có : 3 2 = 6 cách chọn 

+ Nhóm 2: 

- Có 2 cách chọn a ( 1, 2 )

- Có 2 cách chọn b ( 0 và 1 hoặc 2 )

Ta có : 2 2 = 4  cách chọn 

Kết luận: Có thể viết 10 số  ( 6+ 4 = 10 ) có 4 chữ số  chia hết cho 5 mà chữ số hàng trăm bằng 4.

c) Số phải tìm có dạng  

- Có 3 cách chọn a ( 1, 2, 4 )

- Có 3 cách chọn b ( 0 và 2 chữ số còn lại)

- Có 2 cách chọn c ( 2 chữ số còn lại)

- Có 1 cách chọn d ( chữ số cuối cùng)

Ta có  3 3 2 1 = 18 cách chọn số 

Kết luận: Có thể viết được 18 số lẻ có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5.

Dạng 2: Dùng dấu hiệu chia hết để tìm các chữ số chưa biết của một số tự nhiên

1. Phương pháp

Áp dụng dấu hiệu chia hết

2. Ví dụ 

Ví dụ 1. Thay a và b bởi các chữ số thích hợp để nhận được số tự nhiên A =  là số có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 3 và 4.

Bài giải

- Vì A chia hết cho 4 nên ( 2 chữ số tận cùng) chia hết cho 4. Suy ra b = 0, 4, 8.

- Vì A có 5 chữ số khác nhau nên  b = 0 và 8.

+ Khi b = 0 , A có dạng : .  

Vì A chia hết cho 3 nên  3 + a + 4 + 6 + 0 = a + 13 chia hết cho 3. Suy ra  a = 2, 5, 8

Số phải tìm là: 32460, 35460, 38460.

+ Khi b = 8, A có dạng :

Vì A chia hết cho 3 nên  3 + a + 4 + 6 + 8 = a + 21 chia hết cho 3. Suy ra  a = 0, 3, 6, 9.

Vì A có 5 chữ số khác nhau nên ta chọn  a = 0 và 9

Số phải tìm là 30468, 39468

Kết luận: Các số cần tìm là32460, 35460, 38460, 30468, 39468.

Ví dụ 2. Cho số 47, hãy viết 1 chữ số bên phải và 1 chữ số bên trái để nhận được số lớn nhất có 4 chữ số chia hết cho 2, 3 và 5.

Bài giải

Gọi chữ viết thêm vào bên phải là a, số bên trái là b. Số phải tìm có dạng A=

- Vì A chia hết cho 2 nên b= 0, 2, 4, 6, 8.

- Vì A chia hết cho 5 nên b= 0, 5. 

- Vì A chia hết cho 2 và 5 nên b= 0. Thay b= 0 vào A ta có :

Số phải tìm A là A=

- Vì A chia hết cho 3 nên : 

a+ 4 + 7 + 0 = a + 11 chia hết cho 3

Suy ra a = 1, 4, 7.

Để A là số lớn nhất có 4 chữ số, ta  chọn a = 7.

Số phải tìm là : 7470.

Dạng 3: Các bài toán về phép chia có dư

1. Phương pháp

- Một số chia cho 2 dư 1 thì chữ số hàng đơn vị của nó bằng 1, 3, 5, 7, 9.

- Một số chia cho 5 dư 1 thì chữ số hàng đơn vị của nó bằng 1 hoặc 6; nếu dư 2 thì hàng đơn vị bằng 2 hoặc 7; nếu dư 3 thì hàng đơn vị bằng 3 hoặc 8; nếu dư 4 thì hàng đơn vị bằng 4 hoặc 9.

- Số tự nhiên A và tổng các chữ số của nó khi chia cho 9 có cùng số dư.

- Nếu A chia cho B dư 1 thì A – 1 sẽ chia hết cho B.

- Nếu A chia cho B dư B – 1 thì A + 1 sẽ chia hết cho B.

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Thay a và b bởi các chữ số thích hợp để nhận được số tự nhiên n = là số có 4 chữ số khác nhau khi chia cho 2, 5, 9 đều dư 1:

Bài giải

- Vì n chia cho 5 dư 1 nên b = 1, 6.

+ Nếu b = 1, thay vào n ta có : n= 

- Vì n chia cho 9 dư 1 nên a + 7 + 5 + 1 = a + 13 chia cho 9 dư 1. Suy ra a = 6.

- Vì n chia cho 3 dư 1 nên a + 7 + 5 + 1 = a + 13 chia cho 3 dư 1. Suy ra a = 3 hoặc 6 hoặc 9.

- Vì n chia cho 3 hoặc 9 đều dư 1 nên ta chọn a = 6. 

Thay a = 6 vào n, ta có n = 6751.

+ Nếu b = 6 thay vào n ta có : n =

- Vì n chia cho 9 dư 1 nên a + 5 + 7 + 6 = a + 18 chia cho 9 dư 1. Suy ra a = 1.

- Vì n chia cho 3 dư 1 nên a + 5 + 7 + 6 = a + 18 chia cho 3 dư 1. Suy ra a = 1 hoặc 4 hoặc 7.

- Vì n chia cho 3 hoặc 9 đều dư 1 nên ta chọn a = 1. 

Thay a = 1 vào n, ta có n = 1756.

Kết quả:

a = 6 và b = 1 ta có n = 6751.

a = 1 và b = 6 ta có n = 1756.

Ví dụ 2. Viết thêm vào bên phải số 91 ba chữ số để nhận được một số có năm chữ số khác nhau khi chia cho 2 dư 1 , chia cho 5 dư 3, chia cho 9 không dư.

Bài giải

Gọi số phải tìm là n = ta có:

- Vì n chia cho 5 dư 3 nên c = 3 hoặc 8 (1)

- Vì n chia cho 2 dư 1 nên c = 1, 3, 5, 7, 9 (2).

1. và (2) suy ra: c = 3.

Thay c = 3 vào n: n =

- Vì n chia hết cho 9 nên 9 + 1 + a + b + 3 = a + b + 13 chia hết cho 9. Suy ra a + b = 5 hoặc 14.

+ Nếu a + b = 5  thì:

a = 0; b = 5 hay a = 5 ; b = 0.

a = 1; b = 4 hay a = 4 ; b = 1.

a = 2; b = 3 hay a = 3 ; b = 2.

Do n là các chữ số khác nhau nên chọn a = 0, b = 5 hoặc a = 5, b = 0.

- Nếu a = 0 thay vào n: n = 91053.

- Nếu a = 5 thay vào n: n = 91503.

+ Nếu a + b = 14 thì:

a = 8 ; b = 6 hoặc a = 6, b = 8.

- Nếu a = 8 thay vào n: n = 91863.

- Nếu a = 6 thay vào n: n = 91683.

Ví dụ 3. Cho số tự nhiên A. Viết các chữ số của A theo thứ tự ngược lại ta được số tự nhiên B lớn gấp 3 lần A. Chứng tỏ rằng A chia hết cho 9.

Bài giải

Vì B = 3A nên tổng các chữ số của B chia hết cho 3, tổng các chử số của A cũng chia hết cho 3. 

Vì B và A có các chữ số bằng nhau nên tổng các chữ số của A và B bằng nhau và chia hết cho 3.

Vì A chia hết cho 3 nên A = 3k (k là số tự nhiên).

Suy ra B = 3A = 3x3k = 9 x k

Suy ra B chia hết cho 9.

Vì B chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của B chia hết cho 9.

Suy ra tổng các chữ số của A cũng chia hết cho 9.

Suy ra A chia hết cho 9.

Ví dụ 4. Không làm phép tính hãy cho biết kết quả sau đúng hay sai: 723 + = 1235 ?

Bài giải

723 chia hết cho 3 vì 7 + 2 + 3 = 12 (chia hết cho 3).

 tổng các chữ số  3 a chia hết cho 3.

 Vì 1235 có 1 + 2 + 3 + 5 = 11 không chia hết cho 3 nên bài tính sai.

II. Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho 6 chữ số: 0, 1, 4, 5, 7, 8:

a) Có thể viết được bao nhiêu số có 3 chữ số chia hết cho 5 từ 6 chữ số đã cho.

b) Có bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5 mà chính số hàng trăm bằng 1.

c) Có bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5 mà chính số hàng chục là số lẻ.

d. Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 2 và 5 lớn hơn 2004.

Bài 2. Thay x và y bởi các chữ số thích hợp để nhận được số tự nhiên  là số có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 3 và 5.

Bài 3. Hãy viết thêm vào bên phải số 123 ba chữ số để nhận được số nhỏ nhất có 6 chữ số khác nhau chia hết cho 2, 5 và 9.

Bài 4. Hãy viết thêm vào bên phải số 312 một chữ số và bên trái hai chữ số để nhận được số nhỏ nhất có 6 chữ số chia hết cho 4, 5 và 9.

Bài 5. Thay a và b bởi các chữ số thích hợp để nhận được số tự nhiên n = khi chia cho 3 dư 2, chia chọ dư 4. Tìm số nhỏ nhất và số lớn nhất thoả mản các điều kiện nói trên.

Bài 6. Hãy viết thêm vào bên trái số 714 hai chữ số và bên phải một chữ số để nhận được số nhỏ nhất có 6 chữ số khi chia cho 3, 4, 9 đều dư 1 và chia cho 5 thì không dư.

Bài 7. Cho số tự nhiên A. Viết các chữ số của A theo thứ tự ngược lại thì ta được số tự nhiên B gấp 9 lần A. Chứng minh rằng B chia hết cho 81.