Tailieumoi.vn xin giới thiệu Công thức hình học không gian Oxyz và 50 bài tập vận dụng được sưu tầm và biên soạn theo chương trình học của 3 bộ sách mới. Bài viết gồm 50 bài tập với đầy đủ các mức độ và có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn luyện kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài tập Toán 2. Ngoài ra, bài viết còn có phần tóm tắt nội dung chính lý thuyết Hình hoc không gian Oxyz. Mời các bạn đón xem:

Công thức hình học không gian Oxyz

A. Hệ thống kiến thức hình Oxyz

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

    Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi i→, j→, k→ là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.

    Chú ý: 

2. Tọa độ của vectơ

    a) Định nghĩa: u→ = (x; y; z) ⇔ k→ = xi→ + yj→ + zk→

    b) Tính chất: Cho a→ = (a₁; a₂; a₃), b→ = (b₁; b₂; b₃), k ∈ R

    • a→ ± b→ = (a₁ ± b₁; a₂ ± b₂; a₃ ± b₃; )

    • ka→ = (ka₁; ka₂; ka₃)

    • 0→ = (0; 0; 0), i→ = (1; 0; 0), j→ = (0; 1; 0), k→ = (0; 0; 1)

    • a→ cùng phương b→ (b→ ≠ 0→) ⇔ a→ = kb→ (k ∈ R)

    • a→.b→ = a₁.b₁ + a₂.b₂ + a₃.b₃

    • a→ ⊥ b→ ⇔ a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 0

3. Tọa độ của điểm

    a) Định nghĩa: M(x; y; z) ⇔ OM→ = x.i→ + y.j→ + z.k→ (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

    Chú ý: • M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0

    • M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0 .

    b) Tính chất: Cho A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B)

    • AB→ = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)

    • Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng AB:

    • Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

    • Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:

4. Tích có hướng của hai vectơ

    a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a→ = (a₁; a₂; a₃), b→ = (b₁; b₂; b₃). Tích có hướng của hai vectơ a→ và b→ kí hiệu là [a→, b→], được xác định bởi

    Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

    b) Tính chất:

    • [a→, b→] ⊥ a→; [a→, b→] ⊥ b→

    • [a→, b→] = -[b→, a→]

    • [i→, j→] = k→; [j→, k→] = i→; [k→, i→] = j→

    • |[a→, b→]| = |a→|.|b→|.sin(a→, b→) (Chương trình nâng cao)

    • a→, b→ cùng phương ⇔ [a→, b→] = 0→ (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)

    c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)

    • Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a→, b→ và c→ đồng phẳng ⇔ [a→, b→].c→ = 0

    • Diện tích hình bình hành ABCD: S_ABCD = |[AB→], AD→|

    • Diện tích tam giác ABC: S_ABC = 1/2 |[AB→], AC→|

    • Thể tích khối hộp ABCDA'B'C'D' : V_{ABCD.A'B'C'D'} = |[AB→, AD→].AA'→|

    • Thể tích tứ diện ABCD: V_ABCD = 1/6 |[AB→, AC→].AD→|

    Chú ý:

    – Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.

    – Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.

5. Phương trình mặt cầu

    a) Định nghĩa:

    Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.

    Kí hiệu: S(I; R) ⇔ S(I; R) = {M|IM = R}

    b) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng :

    Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.

    c) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng :

    * Lưu ý: Trong trường hợp Δ cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:

        + Xác định: d(I; Δ) = IH

        + Lúc đó:

    ĐƯỜNG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

    * Đường tròn (C) trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của (S) và mặt phẳng .

    (S): x² + y² + z² - 2ax -2by - 2cz + d = 0

    (α): Ax + By + Cz + D = 0

    * Xác định tâm I’ và bán kính R’ của (C).

        + Tâm I' = d ∩ (α) .

    Trong đó d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp(α)

        + Bán kính 

    d) Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R.

        + Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của (S) ⇔ d(I; Δ) = R

        + Mặt phẳng (α) là tiếp diện của (S) ⇔ d(I;(α)) = R

    * Lưu ý: Tìm tiếp điểm M_o(x_o; y_o; z_o) .

    Sử dụng tính chất :

B. Bài tập ứng dụng công thức hình học không gian Oxyz

Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu

    Phương pháp:

    * Cách 1: Bước 1: Xác định tâm I(a; b; c) .

    Bước 2: Xác định bán kính R của (S).

    Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R.

    (S): (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

    * Cách 2: Gọi phương trình (S): x² + y² + z² -2ax - 2by - 2cz + d = 0

    Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được a, b, c, d. (a² + b² + c² - d > 0)

Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:

    a) (S) có tâm I(2; 2; -3) và bán kính R = 3 .

    b) (S) có tâm I(1; 2; 0) và (S) qua P(2; -2; 1).

    c) (S) có đường kính AB với A(1; 3; 1), B(-2; 0; 1).

Lời giải:

    a) Mặt cầu tâm I(2; 2; -3) và bán kính R = 3, có phương trình:

    (S): (x - 2)² + (y - 2)² + (z + 3)² = 9

    b) Ta có: IP→ = (1; -4; 1) ⇒ IP = 3√2.

    Mặt cầu tâm I(1; 2; 0) và bán kính R = IP = 3√2 , có phương trình:

    (S): (x - 1)² + (y - 2)² + z² = 18

    c) Ta có: AB→ = (-3; -3; 0) ⇒ AB = 3√2.

    Gọi I là trung điểm AB ⇒ 

    Mặt cầu tâm  và bán kính , có phương trình:

Bài 2:Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau:

    a) (S) qua A(3; 1; 0), B(5; 5; 0) và tâm I thuộc trục Õ.

    b) (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng (α): 16x - 15y - 12z + 75 = 0.

    c) (S) có tâm I(-1; 2; 0) và có một tiếp tuyến là đường thẳng

Lời giải:

    a) Gọi I(a; 0; 0) ∈ Ox. Ta có : IA→ = (3-a; 1; 0), IB→ = (5-a; 5; 0).

    Do (S) đi qua A, B ⇔ IA = IB  ⇔ 4a = 40 ⇔ a = 10

    ⇒ I(10; 0; 0) và IA = 5√2.

    Mặt cầu tâm I(10; 0; 0) và bán kính R = 5√2, có phương trình (S) : (x - 10)² + y² + z² = 50

    b) Do (S) tiếp xúc với (α) ⇔ d(O,(α)) = R ⇔ R = 75/25 = 3

    Mặt cầu tâm O(0; 0; 0) và bán kính R = 3, có phương trình (S) : x² + y² + z² = 9

    c) Chọn A(-1; 1; 0) ∈ Δ ⇒ IA→ = (0; -1; 0).

    Đường thẳng Δ có một vectơ chỉ phương là u_Δ→ = (-1; 1; -3) . Ta có: [IA→, u_Δ→] = (3; 0; -1) .

    Do (S) tiếp xúc với Δ ⇔ d(I, Δ) = R .

    Mặt cầu tâm I(-1; 2; 0) và bán kính R = √10/11 , có phương trình (S) : 

Dạng 2 : Sự tương giao và tiếp xúc

    Phương pháp: * Các điều kiện tiếp xúc:

        + Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của (S) ⇔ d(I; Δ) = R

        + Mặt phẳng (α) là tiếp diện của (S) ⇔ d(I; (α)) = R

    * Lưu ý các dạng toán liên quan như tìm tiếp điểm, tương giao.

Bài 1: Cho đường thẳng  và và mặt cầu (S): x² + y² + z² - 2x + 4z + 1 = 0 . Số điểm chung của (Δ) và (S) là :

    A. 0.         B.1.         C.2.         D.3.

Lời giải:

    Đường thẳng (Δ) đi qua M(0; 1; 2) và có một vectơ chỉ phương là u→ = (2; 1; -1)

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; -2) và bán kính R = 2

    Ta có MI→ = (1; -1; -4) và [u→, MI→] = (-5; 7; -3) ⇒ 

    Vì d(I,Δ) > R nên (Δ) không cắt mặt cầu (S)

Bài 2: Cho điểm I(1; -2; 3). Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:

    A. (x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = √10

    B. (x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 10

    C. (x + 1)² + (y 2 2)² + (z + 3)² = 10

    D. (x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 9

Lời giải:

    Gọi M là hình chiếu của I(1; -2; 3) lên Oy, ta có : M(0; -2; 0).

    IM→ (-1; 0; -3) ⇒ R = d(I,Oy) = IM = √10 là bán kính mặt cầu cần tìm.

    Phương trình mặt cầu là : (x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 10

Bài tập tự luyện

1. Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:

a. (S) có tâm I (2; 2; -3) và bán kính R = 3

b. (S) có tâm I (1; 2; 0) và (S) qua P (2; -2; 1)

c. (S) có đường kính AB với A (1; 3; 1), B (-2; 0; 1).

2. Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:

a. (S) qua A (3; 1; 0), B (5; 5; 0), tâm I thuộc trục Ox

b. (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng (a): 16x - 15y - 12z + 75 = 0

c. (S) có tâm I(-1; 2; 0) và có tiếp tuyến là đường thẳng.

3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D' có A trùng với gốc tọa độ O, các đỉnh B (m; 0; 0), D (0; m; 0), A' (0; 0; n) với m, n > 0 và m + n = 4. Gọi M là trung điểm của cạnh CC' . Khi đó thể tích tứ diện BDA'M đạt giá trị lớn nhất bằng:

A. 245/108

B. 9/4

C. 64/27

D. 75/32

4. Trong không gian cho tam giác ABC đều cạnh bằng 2 cố định, M là điểm thỏa mãn điều kiện MA2 + MB2 + MC 2 = 12. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Tập hợp các điểm M là một mặt cầu có bán kính R = 

B. Tập hợp các điểm M là một mặt cầu có bán kính R = 2/3

C. Tập hợp các điểm M là một mặt cầu có bán kính R = 

D. Tập hợp các điểm M là một mặt cầu có bán kính R = 2/ 9

5. Trong không gian Oxyz,  phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm

 (0; -1; 2), B(-2; 0; 3) và C (1; 2; 0) là:

A. 7x - 5y - 3z + 1 = 0

B. 7x - 5y - 3z + 11 = 0

C. 5x + 3y + 7z - 17 = 0

D. 5x + 3y + 7z - 11 = 0

6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D' có điểm A trùng với gốc tọa độ, B (a; 0; 0), D (0; a; 0), A' (0; 0; b) với a > 0, b > 0. Gọi M là trung điểm của cạnh CC'. Giả sử a + b = 4, giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện A'BDM bằng:

A. 64/27

B. 128/27

C. 128/9

D. 27/4

7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (0; 0; 0), B(0; 1; 1), C (1; 0 ; 1). Xét điểm D thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ diện ABCD là một tứ diện đều. Kí hiệu D(x0; y0; z0) là tọa độ của điểm D. Tổng x0 + y0 bằng:

A. 0

B. 1

C. 2

D.3

8. Viết phương trình mặt phẳng qua A(1; 1; 1) vuông góc với hai mặt phẳng (a): x + y - z -2 = 0, (b): x - y + z = 0

A. y + z - 2 = 0

B. x + y + z -3 = 0

C. x - 2y + z = 0

D. x + z - 2 = 0

9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (1; -2; 3) và vuông góc với hai mặt phẳng (P): 2x - y - z -1 = 0; (Q): x - y + z - 3 = 0

A. 2x + 3y + z -1 = 0

B. x + 3y + 2z -1 = 0

C. 2x + 3y + z +1 = 0

10. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (0; 8; 0), B (-4; 6; 2) và C (0; 12; 4). Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (Oyz).

11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x + 1/2 = y/-1 = z -1/1 và điểm A (0; -1; 3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và chứa đường thằng d.

A. (P): x + 3y + z = 0

B. (P): x + 4y + 2z - 2 = 0

C. (P): 2x + 3y - z + 6 = 0

D. (P): x + 3y + z - 6 = 0

12. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình là 2x - 2y - 3z = 0. Viết phương trình của mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm H (1; 0; 0) và K (0; -2; 0) biết (Q) vuông góc (P).

A. (Q): 6x + 3y + 4z + 6 = 0

B. (Q): 2x - y + 2z - 2 = 0

C. (Q): 2x - y + 2z + 2 = 0

D. (Q): 2x + y + 2z - 2 = 0

13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P): ax + by +cz - 27 = 0 qua hai điểm A (3; 2; 1), B(-3; 5; 2) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 3x + y + z + 4 = 0. Tính tổng S = a + b + c

14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x - 3/2 = y-1/3 = z+1/-1 và điểm A (1; 3; -1). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d đi qua A.

A. 2x - y + z - 4 = 0

B. x + y + 5z + 1 = 0

C. x + y - 4 = 0

D. x - y - z + 1 = 0

15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình lần lượt là (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 6z - 11 = 0 và (P): 2x + 2y - z + 17 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo một giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 6pi.