Bài 1. Cho hai số a = 132, b = 36.

a) Phân tích a và b ra thừa số nguyên tố.

b) Tìm ƯCLN(a, b) và ƯC(a, b).

Lời giải

a) 132 = 2².3.11;            36 = 2².3².

b) ƯCLN(132, 36) = 2².3 = 12.

ƯC(132, 36) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.

Bài 2. Các phân số sau đã tối giản chưa? Nếu chưa hãy rút gọn phân số đến phân số tối giản.

Lời giải

Tất cả các phân số đã cho đều chưa tối giản.

a) Vì 15050 nên ƯCLN(150, 50) = 50.

Để rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu cho 50, ta được:

= 3

b) Ta có: 90 = 2.3².5, 27 = 3³.

ƯCLN(90,27) =3² = 9.

Để rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu cho 9, ta được:

c) Ta có: 34 = 2.17, 255 = 3.5.17.

ƯCLN(34, 255) = 17.

Để rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu cho 17, ta được:

d) Ta có: 88 = 2³.11, 121 = 11²

ƯCLN(88, 121) = 11.

Để rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu cho 11, ta được:

.

Bài 3: Tìm các ước chung lớn hơn 20 của 144 và 192.

Hướng dẫn giải

UCLN(144, 192) = 48.

Ước của 48 = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 48}

Các ước của 48 lớn hơn 20 là 24 và 48.

Vậy các ước chung lớn hơn 20 của 144 và 192 là 24 và 48.

Bài 4. Một bác thợ mộc muốn làm kệ để đồ từ hai tấm gỗ dài 18 dm và 30 dm. Bác muốn cắt hai tấm gỗ này thành các thanh gỗ có cùng độ dài mà không để thừa mẩu gỗ nào. Em hãy giúp bác thợ mộc tìm độ dài lớn nhất có thể của mỗi thanh gỗ được cắt.

Hướng dẫn giải

Độ dài lớn nhất các thanh gỗ được cắt chính là ƯCLN của 18 và 30.

Ta có: 18 = 2 . 3²; 30 = 2 . 3. 5.

Các thừa số nguyên tố chung là 2 và 3.

Số mũ lớn nhất của 2 là 1 và của 3 là 1.

Do đó ƯCLN(18; 30) = 2. 3 = 6.

Vậy độ dài lớn nhất có thể của các thanh gỗ được cắt là 6 dm.

Bài 5. Tìm hai số tự nhiên a, b, biết rằng: a + b = 162 và ƯCLN(a, b) = 18.

Lời giải

Giả sử a ≤ b.

Ta có: a + b = 162, ƯCLN(a, b) = 18.

Khi đó a ⋮ 18, b ⋮ 18.

Đặt a = 18m; b = 18n với ƯCLN(m, n) = 1, m ≤ n.

Từ a + b = 162 nên 18(m + n) = 162 suy ra m + n = 9.

Ta có ba cặp số (m; n) thỏa mãn m + n = 9 và ƯCLN(m, n) = 1, m ≤ n là:

(1; 8); (2; 7); (4; 5) (loại cặp số (3; 6) vì ƯCLN(3; 6) = 3 ≠ 1).

Ta có bảng sau:

Vậy các bộ hai số tự nhiên cần tìm là: (18; 144); (36; 126); (72; 90).

Bài 6. Tìm ƯCLN(126, 150). Từ đó hãy tìm tất cả các ước chung của 126 và 150.

Lời giải: 

+ Ta có: 

Do đó: 126 = 2 . 3 . 3 . 7 = 2 . 3² . 7

150 = 2 . 3 . 5 . 5 = 2 . 3 . 5²

Các thừa số nguyên tố chung của 126 và 150 là 2 và 3

Số 2 có số mũ nhỏ nhất là 1; số 3 có số mũ nhỏ nhất là 1.

Do đó: ƯCLN(126, 150) = 2¹ . 3¹ = 2 . 3 = 6 

Lại có 6 có các ước là 1; 2; 3; 6.

Ước chung của 126 và 150 là ước của ƯCLN(126, 150) là 1; 2; 3; 6

Hay ƯC(126, 150) =  

Vậy ƯCLN(126, 150) = 6; ƯC(126, 150) = . 

Bài 7. Rút gọn phân số   về phân số tối giản.

Lời giải: 

Các phân số được gọi là tối giản khi phân số đó có tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau. Vậy để rút gọn các phân số (chưa phải là phân số tối giản) thì ta đi tìm ƯCLN của tử số và mẫu số, rồi lấy cả tử và mẫu chia cho ƯCLN của cả hai thì ta được phân số tối giản. 

Rút gọn phân số   

Ta có: 

Do đó: 60 = 2² . 3 . 5 và 72 = 2³ . 3²

Các thừa số nguyên tố chung là 2 và 3, số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, số mũ nhỏ nhất của 3 là 1

Suy ra ƯCLN(60, 72) = 2² . 3¹ = 4 . 3 = 12 

Vậy  

Bài 8. Một căn phòng hình chữ nhật có chiều dài là 680 cm và chiều rộng là 480 cm. Người ta muốn lát kín căn phòng đó bằng gạch hình vuông mà không có viên gạch nào bị cắt xén. Hỏi viên gạch đó có độ dài lớn nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải: 

Gọi độ dài của viên gạch hình vuông là x  .

Để lát kín căn phòng mà không có viên gạch nào bị cắt xén thì x phải là ước chung của chiều dài và chiều rộng.

Hay 680 ⋮ x và 480 ⋮ x 

Do đó x ∈ ƯC(680, 480)

Để x lớn nhất thì x = ƯCLN(680, 480)

Ta có: 680 = 2³ . 5 . 17; 480 = 2⁵ . 3 . 5 

Khi đó: x = ƯCLN(680, 480) = 2³ . 5 = 40.

Vậy để lát kín căn phòng đó mà không có viên gạch nào bị cắt xén thì độ dài lớn nhất của viên gạch là 40 cm. 

Câu 9. Cho tập ƯC(24; 28) = {1; 2; 4}. Vậy ƯCLN(24; 28) là: 

A. 1;

B. 2;

C. 4;

D.24.

Lời giải

Tập ƯC(24; 28) = {1; 2; 4}.

Mà 4 là số lớn nhất trong tập này nên ƯCLN(24, 28) = 4.

Đáp án: C

Câu 10. Tìm ƯCLN(72, 63, 1):

A. 63;

B. 72;

C. 9;

D. 1.

Lời giải

Ta có ƯCLN(a, b, 1) = 1 với a, b là các số tự nhiên.

Vậy ƯCLN(72, 63, 1) = 1.

Đáp án: D

Câu 11. Muốn tìm tập hợp ước chung chung của hai hay nhiều số tự nhiên, ta thực hiện:

A. Tìm ƯCLN của các số đó. Khi đó tập hợp ước chung của các số đó chính là tập hợp ước của ƯCLN.

B. Viết tập hợp các ước của các số đó ra. Tìm trong số đó các phần tử chung. Tập các phần tử đó chính là tập hợp ước chung của các số đó.

C. Cả A và B đều sai.

D. Cả A và B đều đúng.

Lời giải

Muốn tìm tập hợp ước chung chung của hai hay nhiều số tự nhiên, ta có hai cách để tìm như sau:

Cách 1. 

- Tìm ƯCLN của các số đó.

- Tìm các ước của ƯCLN đó.

- Kết luận tập hợp ƯC là tập các ước của ƯCLN.

Cách 2. 

- Liệt kê tập hợp ước của các số.

- Tìm các phần tử chung của các tập hợp đó.

- Tập hợp ƯC là tập các phần tử chung đó.

Vậy cả A và B đều đúng. 

Đáp án: D

Câu 12. Nếu 9 là số lớn nhất sao cho a ⋮ 9 và a ⋮ 9 thì 9 là ………… của a và b. Chọn câu trả lời đúng nhất. 

A. ước;

B. ước chung;

C. ước chung lớn nhất;

D. bội.

Lời giải

Nếu 9 là số lớn nhất sao cho a ⋮ 9 và b ⋮ 9 thì 9 là ước chung lớn nhất của a và b. 

Đáp án: C

Câu 13. Nếu a ⋮ 7 và a ⋮ 7 thì 7 là ……………… của a và b.

A. ước

B. ước chung;

C. ước chung lớn nhất;

D. bội.

Lời giải

Nếu a ⋮ 7 và b ⋮ 7 thì 7 là ước chung của a và b.

Đáp án: B

Câu 14. Cho tập Ư(8) = {1; 2; 4; 8} và Ư(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}. Tập hợp ƯC(8; 20) là:

A. ƯC(8; 20) = {1; 2; 4}.

B. ƯC(8;20) = {1; 2}.

C. ƯC(8; 20) = {1;4}.

D. ƯC(8; 20) = {2;4}.

Lời giải

Các phần tử chung của tập Ư(8) và Ư(20) là: 1; 2; 4.

Do đó ƯC(8; 20) = {1;2;4}.

Đáp án: A

Câu 15. 8 là ước chung của

A. 12 và 32

B. 24 và 56

C. 14 và 48

D. 18 và 24

Trả lời:

24:8 = 3;

56:8 = 7

=> 8 là ước chung của 24 và 56.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 16. Tìm ƯCLN(18; 60)

A. 6

B. 30

C. 12

D. 18

Trả lời:

Ta có:

18 = 2.3²; 60 = 2².3.5

Nên ƯCLN(18;60) = 2.3 = 6

Đáp án cần chọn là: A

Câu 17: Chọn khẳng định đúng:

A.Mọi số tự nhiên đều có ước chung với nhau.  

B.Mọi số tự nhiên đều có ước là 0 

C.Số nguyên tố chỉ có đúng 1 ước là chính nó 

D.Hai số nguyên tố khác nhau thì không có ước chung

Câu 18: ƯCLN của a và b là:

A. bằng b nếu a chia hết cho b

B.bằng a nếu a chia hết cho b

C.ước chung nhỏ nhất của a và b

D.hiệu của 2 số a và b