Trả lời nhanh
Số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b (b ≠ 0) khi có số tự nhiên k sao cho a = b·k. Lúc đó a là bội của b, còn b là ước của a. Có hai tính chất chính: nếu mọi số hạng đều chia hết cho m thì tổng (hiệu) chia hết cho m; nếu chỉ có đúng một số hạng không chia hết cho m thì tổng không chia hết cho m. Dưới đây là 20 bài có lời giải, xếp từ dễ đến khó.
1. Tóm tắt kiến thức cần nhớ
Quan hệ chia hết, ước và bội
- a ⋮ b (đọc là “a chia hết cho b”) khi có số tự nhiên k mà a = b·k, với b ≠ 0.
- Khi a ⋮ b thì a là bội của b, b là ước của a. Kí hiệu: Ư(a) là tập các ước của a, B(b) là tập các bội của b.
- Muốn tìm ước của a, ta lần lượt chia a cho 1, 2, 3, …, a, phép chia nào hết thì số chia đó là ước.
- Muốn tìm bội của b (b ≠ 0), ta nhân b lần lượt với 0, 1, 2, 3, …
Tính chất chia hết của một tổng
| Tính chất | Phát biểu | Ví dụ |
|---|---|---|
| Tính chất 1 | a ⋮ m và b ⋮ m thì (a + b) ⋮ m và (a − b) ⋮ m (với a ≥ b) | 30 ⋮ 5, 15 ⋮ 5 nên 45 ⋮ 5 |
| Tính chất 2 | a ⋮ m, b không chia hết cho m thì a + b và a − b không chia hết cho m | 30 ⋮ 5, 12 không chia hết cho 5 nên 42 không chia hết cho 5 |
Hai tính chất này vẫn đúng với tổng có nhiều số hạng. Riêng tính chất 2 phải có đúng một số hạng không chia hết cho m, các số hạng còn lại đều chia hết cho m.
2. Dạng 1: Tìm ước và bội (Bài 1 – 4)
Bài 1. Tìm tất cả các ước của 18.
Lời giải: Ta lấy 18 chia lần lượt cho 1, 2, …, 18 thì thấy chỉ các phép chia cho 1, 2, 3, 6, 9, 18 là hết. Vậy Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}.
Mẹo: Hãy tìm ước theo từng cặp có tích bằng 18: 1·18, 2·9, 3·6. Chỉ cần thử tới khi hai số trong cặp gặp nhau là dừng, không bị sót ước nào.
Bài 2. Viết tập hợp các bội của 7 nhỏ hơn 50.
Lời giải: Nhân 7 lần lượt với 0, 1, 2, …, 7 ta được {0; 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49}. Tiếp theo 7·8 = 56 > 50 nên dừng ở đây.
Lưu ý: Số 0 là bội của mọi số khác 0, nhiều bạn hay quên số này.
Bài 3. Tìm số tự nhiên x sao cho x ∈ B(8) và 20 < x ≤ 56.
Lời giải: B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; …}. Ta chọn các số lớn hơn 20 và không vượt quá 56: x ∈ {24; 32; 40; 48; 56}.
Bài 4. Tìm x ∈ Ư(30) sao cho x > 5.
Lời giải: Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}. Vì x > 5 nên x ∈ {6; 10; 15; 30}. Chú ý dấu “>” là lớn hơn hẳn, nên không lấy số 5.
3. Dạng 2: Xét tính chia hết của tổng, hiệu mà không tính (Bài 5 – 11)
Bài 5. Không tính tổng, hãy cho biết 48 + 72 có chia hết cho 6 không.
Lời giải: Ta có 48 = 6·8 nên 48 ⋮ 6, và 72 = 6·12 nên 72 ⋮ 6. Theo tính chất 1, (48 + 72) ⋮ 6.
Bài 6. Hiệu 120 − 35 có chia hết cho 5 không? Có chia hết cho 10 không?
Lời giải:
- 120 ⋮ 5 và 35 ⋮ 5 nên (120 − 35) ⋮ 5 (tính chất 1).
- 120 ⋮ 10, còn 35 không chia hết cho 10, nên (120 − 35) không chia hết cho 10 (tính chất 2).
Kiểm tra lại: 120 − 35 = 85. Số 85 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 10, khớp với kết luận.
Bài 7. Tổng 21 + 35 + 50 có chia hết cho 7 không?
Lời giải: 21 ⋮ 7 và 35 ⋮ 7, chỉ riêng 50 không chia hết cho 7 (vì 50 = 7·7 + 1). Tổng có đúng một số hạng không chia hết cho 7 nên tổng không chia hết cho 7.
Bài 8 (bài “bẫy”). Tổng 14 + 25 + 11 có chia hết cho 5 không?
Lời giải: Ở đây 25 ⋮ 5, còn 14 và 11 đều không chia hết cho 5. Tổng có tới hai số hạng không chia hết cho 5 nên không dùng được tính chất 2. Ta phải tính: 14 + 25 + 11 = 50, và 50 ⋮ 5. Vậy tổng chia hết cho 5.
Bài học: Có từ hai số hạng trở lên không chia hết cho m thì chưa kết luận được gì. Lúc đó phải tính ra, hoặc gộp các số hạng đó lại (14 + 11 = 25 ⋮ 5).
Bài 9. Cho A = 12 + 18 + x với x ∈ ℕ. Tìm điều kiện của x để: a) A ⋮ 6; b) A không chia hết cho 6.
Lời giải: 12 ⋮ 6 và 18 ⋮ 6.
- a) A ⋮ 6 khi x ⋮ 6 (khi đó cả ba số hạng đều chia hết cho 6).
- b) A không chia hết cho 6 khi x không chia hết cho 6 (tính chất 2).
Bài 10. Cho A = 15 + 40 + x. Trong các số 10; 23; 35; 41, số nào thay vào x thì A ⋮ 5?
Lời giải: 15 ⋮ 5 và 40 ⋮ 5, nên A ⋮ 5 khi và chỉ khi x ⋮ 5. Trong bốn số đã cho, chỉ 10 và 35 chia hết cho 5. Vậy x = 10 hoặc x = 35.
Bài 11. Biểu thức 2·3·4·5 + 35 có chia hết cho 5 không? Có chia hết cho 3 không?
Lời giải: Tích 2·3·4·5 có thừa số 5 nên chia hết cho 5, lại có thừa số 3 nên chia hết cho 3.
- 35 ⋮ 5 nên cả biểu thức ⋮ 5.
- 35 không chia hết cho 3 nên cả biểu thức không chia hết cho 3.
Mẹo: Một tích chia hết cho m nếu có một thừa số chia hết cho m. Dùng mẹo này thì khỏi phải nhân ra.
4. Dạng 3: Chứng minh chia hết (Bài 12 – 14 và 18, 20)
Bài 12. Chứng minh tích hai số tự nhiên liên tiếp n(n + 1) luôn chia hết cho 2.
Lời giải: Hai số tự nhiên liên tiếp thì luôn có một số chẵn. Số chẵn chia hết cho 2, nên tích n(n + 1) có một thừa số chia hết cho 2. Do đó n(n + 1) ⋮ 2.
Bài 13. Chứng minh tổng ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.
Lời giải: Gọi ba số đó là n, n + 1, n + 2. Tổng của chúng là n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1), là bội của 3. Vậy tổng chia hết cho 3.
Bài 14. Tổng bốn số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 không?
Lời giải: Tổng bằng n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6. Ta có 4n ⋮ 4 nhưng 6 không chia hết cho 4, nên theo tính chất 2, tổng không chia hết cho 4. Thử với 1 + 2 + 3 + 4 = 10 cũng thấy đúng như vậy.
5. Dạng 4: Tìm n để biểu thức chia hết (Bài 15 – 17)
Cách làm chung: tách số bị chia thành “một bội của số chia” cộng với “một hằng số”. Khi đó hằng số này phải chia hết cho số chia.
Bài 15. Tìm số tự nhiên n ≠ 0 sao cho (n + 4) ⋮ n.
Lời giải: Vì n ⋮ n nên muốn (n + 4) ⋮ n thì phải có 4 ⋮ n, tức n ∈ Ư(4) = {1; 2; 4}. Vậy n ∈ {1; 2; 4}.
Bài 16. Tìm số tự nhiên n sao cho (n + 5) ⋮ (n + 1).
Lời giải: Ta viết n + 5 = (n + 1) + 4. Vì (n + 1) ⋮ (n + 1) nên cần 4 ⋮ (n + 1), tức n + 1 ∈ {1; 2; 4}, suy ra n ∈ {0; 1; 3}.
Thử lại: n = 0 cho 5 ⋮ 1; n = 1 cho 6 ⋮ 2; n = 3 cho 8 ⋮ 4. Cả ba giá trị đều đúng.
Bài 17. Tìm số tự nhiên n sao cho (2n + 7) ⋮ (n + 1).
Lời giải: Ta viết 2n + 7 = 2(n + 1) + 5. Vì 2(n + 1) ⋮ (n + 1) nên cần 5 ⋮ (n + 1), tức n + 1 ∈ {1; 5}, suy ra n ∈ {0; 4}.
Thử lại: n = 0 cho 7 ⋮ 1; n = 4 cho 15 ⋮ 5. Cả hai đều đúng.
6. Dạng 5: Bài toán về chữ số và bài toán thực tế (Bài 18 – 20)
Bài 18. Chứng minh rằng với mọi chữ số a, b (a, b ≠ 0), tổng ab + ba luôn chia hết cho 11.
Lời giải: Ta có ab = 10a + b và ba = 10b + a. Cộng lại được 11a + 11b = 11(a + b), là bội của 11. Ví dụ: 37 + 73 = 110 = 11·10.
Bài 19. Lớp 6A có 36 học sinh, cô giáo muốn chia thành các nhóm có số người bằng nhau, mỗi nhóm từ 3 đến 10 người. Có bao nhiêu cách chia?
Lời giải: Số người mỗi nhóm phải là ước của 36. Ta có Ư(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}. Các ước nằm trong khoảng từ 3 đến 10 là 3; 4; 6; 9, vậy có 4 cách:
| Số người mỗi nhóm | 3 | 4 | 6 | 9 |
|---|---|---|---|---|
| Số nhóm | 12 | 9 | 6 | 4 |
Bài 20 (nâng cao). Chứng minh số có sáu chữ số dạng abcabc luôn chia hết cho 7, 11 và 13.
Lời giải: Ta có abcabc = abc·1000 + abc = abc·1001. Mà 1001 = 7·11·13, nên abcabc = abc·7·11·13. Số này có các thừa số 7, 11, 13 nên chia hết cho cả ba số. Ví dụ: 245245 = 245·1001.
7. Lỗi sai thường gặp
- Dùng tính chất 2 khi có hai số hạng không chia hết. Bài 8 cho thấy 14 + 25 + 11 vẫn chia hết cho 5. Tính chất 2 chỉ áp dụng khi có đúng một số hạng không chia hết.
- Quên số 0 khi liệt kê bội, hoặc quên ước 1 và chính số đó khi liệt kê ước.
- Nhầm chiều “ước” và “bội”. Câu “6 là ước của 18” có nghĩa là 18 ⋮ 6, chứ không phải 6 ⋮ 18.
- Không thử lại ở dạng tìm n, nên dễ sót hoặc thừa giá trị. Cũng cần nhớ số chia phải khác 0 (bài 15 có điều kiện n ≠ 0).
8. Bài tự luyện (có đáp số)
- Không tính, xét xem 56 + 84 − 21 có chia hết cho 7 không. Đáp số: có, vì cả ba số đều chia hết cho 7.
- Tìm số tự nhiên n để (n + 9) ⋮ (n + 2). Đáp số: n + 2 ∈ Ư(7) = {1; 7}, mà n + 2 ≥ 2 nên n = 5.
- Có 48 quyển vở chia đều vào các phần quà, mỗi phần từ 5 đến 15 quyển. Có mấy cách chia? Đáp số: 4 cách (mỗi phần 6, 8, 12 hoặc 16 quyển? Chú ý 16 > 15 nên bị loại; đúng ra là 6, 8, 12 quyển, tức 3 cách).
Ở bài 3, ta có Ư(48) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48}. Trong đó chỉ 6, 8, 12 nằm trong khoảng từ 5 đến 15, nên đáp số đúng là 3 cách. Đây cũng là một ví dụ cho thấy vì sao phải kiểm tra điều kiện đề bài thật kỹ.
Câu hỏi thường gặp
Khi nào nói số a chia hết cho số b?
Khi có số tự nhiên k sao cho a = b·k, với b khác 0. Lúc đó a là bội của b và b là ước của a.
Tổng có hai số hạng không chia hết cho m thì tổng có chia hết cho m không?
Chưa kết luận được. Ví dụ 14 + 11 = 25 thì chia hết cho 5, còn 14 + 12 = 26 thì không. Gặp trường hợp này phải tính ra hoặc gộp các số hạng lại để xét.
Làm sao giải dạng tìm n để (n + a) chia hết cho (n + b)?
Tách n + a = (n + b) + (a − b), khi đó (a − b) phải chia hết cho (n + b). Ta tìm các ước của a − b rồi suy ra n, cuối cùng thử lại.
Số 0 có phải là bội của mọi số không?
Có. Số 0 là bội của mọi số tự nhiên khác 0, vì 0 = b·0. Tuy vậy, số 0 không phải là ước của bất kỳ số nào.