Với lời giải Toán 8 trang 135 Tập 2 chi tiết trong Bài tập ôn tập cuối năm sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 8 Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 1 trang 135 Toán 8 Tập 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) (2x + y)² + (5x – y)² + 2(2x + y)(5x – y);

b) (2x – y³)(2x + y³) – (2x – y²)(4x² + 2xy² + y²).

Lời giải:

a) (2x + y)² + (5x – y)² + 2(2x + y)(5x – y)

= 4x² + 4xy + y² + 25x² – 10xy + y² + 2(10x² – 2xy + 5xy – y²)

= 4x² + 4xy + y² + 25x² – 10xy + y² + 20x² – 4xy + 10xy – 2y²

= 49x².

b) (2x – y³)(2x + y³) – (2x – y²)(4x² + 2xy² + y²)

= [(2x)² – (y³)²] – [(2x)³ – y³]

= 4x² – y⁶ – 8x³ + y⁶

= – 8x³ + 4x².

Bài 2 trang 135 Toán 8 Tập 2: Cho đa thức P = x² – y² + 6x + 9.

a) Phân tích đa thức P thành nhân tử.

b) Sử dụng kết quả của câu a để tìm thương của phép chia đa thức P cho x + y + 3.

Lời giải:

a) P = x² – y² + 6x + 9

= (x² + 6x + 9) – y²

= (x + 3)² – y²

= (x + 3 – y)(x + 3 + y).

b) P : (x + y + 3) = (x + 3 – y)(x + 3 + y) : (x + 3 + y) = x + 3 – y.

Bài 3 trang 135 Toán 8 Tập 2: Cho đa thức f(x) = x² – 15x + 56.

a) Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử.

b) Tìm x sao cho f(x) = 0.

Lời giải:

a) f(x) = x² – 15x + 56 = x² – 7x – 8x + 56

          = (x² – 7x) – (8x – 56)

          = x(x – 7) – 8(x – 7)

          = (x – 8)(x – 7).

b) f(x) = 0 hay (x – 8)(x – 7) = 0, điều này xảy ra khi x – 8 = 0 hoặc x – 7 = 0.

Từ đó suy ra hai giá trị của x để f(x) = 0 là x = 7 và x = 8.

Bài 4 trang 135 Toán 8 Tập 2: Cho phân thức $P=\frac{2x^3+6x^2}{2x^3-18x}$

a) Viết điều kiện xác định và rút gọn phân thức P.

b) Có thể tính giá trị của P tại x = –3 được không? Vì sao?

c) Tính giá trị của phân thức P tại x = 4.

d) Với giá trị nguyên nào của x thì P nhận giá trị nguyên?

Lời giải:

a) Điều kiện xác định của phân thức là: 

2x³ – 18x ≠ 0 hay 2x(x² – 9) ≠ 0 hay 2x(x – 3)(x + 3) ≠ 0 (*).

Ta có

$P=\frac{2x^3+6x^2}{2x^3-18x}=\frac{2x^2(x+3)}{2x\left(x^2-9\right)}$$=\frac{2x^2(x+3)}{2x(x-3)(x+3)}=\frac{x}{x-3}$.

b) Vì x = – 3 không thỏa mãn điều kiện xác định (*) ở câu a nên giá trị của phân thức P tại x = – 3 không xác định. Vậy không thể tính giá trị của P tại x = –3.

c) Thay x = 4 (thỏa mãn điều kiện (*)) vào P ta được: $P=\frac{4}{4-3}=4$.

d) Ta có $P=\frac{x}{x-3}=\frac{x-3+3}{x-3}=1+\frac{3}{x-3}$.

P nguyên khi và chỉ khi $\frac{3}{x-3}$ nguyên, khi đó (x – 3) ∊ Ư(3) = {1; –1; 3; –3}.

Kết hợp điều kiện xác định suy ra x ∊ {2; 4; 6}.

Bài 5 trang 135 Toán 8 Tập 2: Cho biểu thức $P=\left(\frac{x+y}{1-xy}+\frac{x-y}{1+xy}\right):\left(1+\frac{x^2+y^2+2x^2{y}^2}{1-x^2{y}^2}\right)$, trong đó x và y là hai biến thỏa mãn điều kiện x²y² – 1 ≠ 0.

a) Tính mỗi tổng $A=\frac{x+y}{1-xy}+\frac{x-y}{1+xy}$ và $B=1+\frac{x^2+y^2+2x^2{y}^2}{1-x^2{y}^2}$.

b) Từ kết quả câu a, hãy thu gọn P và giải thích tại sao giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của biến y.

c) Chứng minh đẳng thức $P=1-\frac{{\left(1-x\right)}^2}{1+x^2}$.

d) Sử dụng câu c, hãy tìm các giá trị của x và y sao cho P = 1.

Lời giải:

a) $A=\frac{x+y}{1-xy}+\frac{x-y}{1+xy}$$=\frac{\left(x+y\right)\left(1+xy\right)+\left(x-y\right)\left(1-xy\right)}{\left(1-xy\right)\left(1+xy\right)}$

        $=\frac{x+x^{2}y+y+x{y}^2+x-x^{2}y-y+x{y}^2}{1-x^2{y}^2}$         

        $=\frac{2x+2x{y}^2}{1-x^2{y}^2}$

$B=1+\frac{x^2+y^2+2x^2{y}^2}{1-x^2{y}^2}$$=\frac{1-x^2{y}^2+x^2+y^2+2x^2{y}^2}{1-x^2{y}^2}=\frac{1+x^2+y^2+x^2{y}^2}{1-x^2{y}^2}$

          $=\frac{\left(1+x^2\right)+y^2\left(1+x^2\right)}{1-x^2{y}^2}=\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1-x^2{y}^2}$.

b) P  = A : B $=\frac{2x+2x{y}^2}{1-x^2{y}^2}$:$\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1-x^2{y}^2}$

                    $=\frac{2x\left(1+y^2\right)}{1-x^2{y}^2}.\frac{1-x^2{y}^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}$$=\frac{2x}{1+x^2}$ (*)

Trong biểu thức (*) ta thấy không xuất hiện biến y, chứng tỏ giá trị của biểu thức P nếu xác định thì nó không phụ thuộc vào biến y.

c) Ta có $1-\frac{{\left(1-x\right)}^2}{1+x^2}$$=\frac{1+x^2-1+2x-x^2}{1+x^2}=\frac{2x}{1+x^2}$.

So sánh kết quả này với (*) suy ra $P=1-\frac{{\left(1-x\right)}^2}{1+x^2}$

d) Để P  = 1 thì $1-\frac{{\left(1-x\right)}^2}{1+x^2}=1$, tức là $\frac{{\left(1-x\right)}^2}{1+x^2}=0$, suy ra (1 – x)² = 0, do đó x = 1.

Vì x²y² – 1 ≠ 0 nên với x = 1 thì y² – 1 ≠ 0 hay y ≠ 1; y ≠ –1.

Vậy để P = 1 thì x = 1 và y ≠ 1; y ≠ –1.

Bài 6 trang 135 Toán 8 Tập 2: Bảng giá cước của một hãng taxi như sau:

a) Tính số tiền taxi phải trả khi di chuyển 35 km.

b) Lập công thức tính số tiền taxi y (đồng) phải trả khi di chuyển x kilômét, với 1 < x ≤ 30. Từ đó tính số tiền taxi phải trả khi di chuyển 30 km.

c) Nếu một người phải trả số tiền taxi là 268 400 đồng, hãy tính quãng đường người đó đã di chuyển bằng taxi.

Lời giải:

a) Số tiền phải trả khi di chuyển 1 km đầu là 10 000 đồng.

Số tiền phải trả khi di chuyển 29 km tiếp theo là 29 . 13 600 = 394 400 (đồng).

Số tiền phải trả khi di chuyển 5 km cuối cùng là 5 . 11 000 = 55 000 (đồng).

Vậy số tiền phải trả cho 35 km di chuyển là:

10 000 + 394 400 + 55 000 = 459 400 (đồng).

b) Vì 1 < x ≤ 30 nên số tiền trả y cho quãng đường x kilômét gồm hai phần: Phần thứ nhất là giá mở cửa 10 000 đồng; phần thứ hai là trả cho quãng đường x – 1 kilômét tiếp theo. Vậy công thức tính cần tìm là 

y = 10 000 + (x – 1) . 13 600 hay y = 13 600x – 3 600 (đồng). (*)

Áp dụng, nếu người đó di chuyển 30 km thì số tiền phải trả là:

13 600 . 30 – 3 600 = 404 400 (đồng).

c) Do số tiền đã trả cho taxi là 268 400 đồng, ít hơn 404 400 đồng, nên quãng đường đã di chuyển không quá 30 km. Vậy để tính quãng đường này ta có thể dùng công thức (*).

Ta có:

13 600x – 3 600 = 268 400

x = (268 400 + 3 600) : 13 600

x = 20.

Vậy quãng đường người đó di chuyển bằng taxi là 20 km.

Bài 7 trang 135 Toán 8 Tập 2: Với giá trị nào của m, đường thẳng y = mx + 1 (m ≠ 0):

a) song song với đường thẳng y = 3x.

b) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng – 2?

c) đồng quy với các đường thẳng y = 5x – 2 và y = –x + 4 (tức là ba đường thẳng này cắt nhau tại một điểm)? Với giá trị m tìm được, hãy vẽ ba đường thẳng này trên cùng một hệ trục tọa độ để kiểm nghiệm lại kết quả.

Lời giải:

a) Đường thẳng y = mx + 1 (m ≠ 0) song song với đường thẳng y = 3x khi hai đường thẳng có cùng hệ số góc, tức là ra m = 3.

b) Đường thẳng y = mx + 1 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng –2 tức nó đi qua điểm (–2; 0). Điều đó, xảy ra khi 0 = m . (– 2) + 1, tức là khi m = $\frac{1}{2}$.

c) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng y = –x + 4 và y = 5x – 2 là

5x – 2 = –x + 4

6x = 6

x = 1.

Thay x = 1 vào đường thẳng y = 5x – 2, có y = 5 . 1 – 2 = 3.

Vậy giao điểm của hai đường thẳng y = –x + 4 và y = 5x – 2 là điểm (1; 3).

Ba đường thẳng đã cho đồng quy khi đường thẳng y = mx + 1 đi qua điểm (1; 3).

Thay x = 1, y = 3 vào đường thẳng y = mx + 1 có 3 = m + 1, suy ra m = 2.

Vậy m = 2 thì ba đường thẳng đã cho đồng quy tại điểm (1; 3).

Với m = 2, đồ thị của ba hàm số là ba đường thẳng như hình dưới đây.