Tailieumoi.vn xin giới thiệu bộ đề thi học kì 1 môn Toán lớp 11 sách Cánh diều năm 2023 – 2024. Tài liệu gồm 4 đề thi có ma trận chuẩn bám sát chương trình học và đáp án chi tiết, được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên THPT dày dặn kinh nghiệm sẽ giúp các em ôn tập kiến thức và rèn luyện kĩ năng nhằm đạt điểm cao trong bài thi học kì 1 Toán 11. Mời các bạn cùng đón xem:

Chỉ từ 150k mua trọn bộ Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều bản word có lời giải chi tiết (chỉ từ 20k cho 1 đề thi lẻ bất kì):

B1: Gửi phí vào tài khoản 0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)

B2: Nhắn tin tới zalo Vietjack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận tài liệu.

Xem thử tài liệu tại đây: Link tài liệu

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều có đáp án năm 2023

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 1

B. Đề kiểm tra cuối học kì 1

Sở Giáo dục và Đào tạo ...

Đề thi Học kì 1 - Cánh diều

Năm học 2023 - 2024

Môn: Toán lớp 11

Thời gian làm bài: phút

(Đề số 1)

I. Trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1. Góc lượng giác có số đo \( - 3\,\,060^\circ \) thì có số đo theo rađian là

A. 17.   

B. \(8,5\pi .\)    

C. \( - 8,5\pi .\)  

D. \( - 17\pi .\)

Câu 2. Cho \(\alpha \) thỏa mãn \(\cos \alpha  = \frac{{12}}{{13}}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi .\) Giá trị của \(\sin \alpha \) bằng

A. \(\frac{1}{{13}}.\)   

B. \(\frac{5}{{13}}.\) 

C. \( - \frac{5}{{13}}.\)

D. \( - \frac{1}{{13}}.\)

Câu 3. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A. \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\sin b - \sin a\cos b.\)   

B. \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b\cos a.\)

C. \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b.\)   

D. \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\sin b + \cos a\cos b.\)

Câu 4. Rút gọn biểu thức \(P = {\left[ {\tan \frac{{17\pi }}{4} + \tan \left( {\frac{{7\pi }}{2} - x} \right)} \right]^2} + {\left[ {\cot \frac{{13\pi }}{4} + \cot \left( {7\pi  - x} \right)} \right]^2}\) ta được kết quả là

A. \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}.\)  

B. \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\)

C. \(\frac{2}{{{{\sin }^2}x}}.\)   

D. \(\frac{2}{{{{\cos }^2}x}}.\)

Câu 5. Tập giá trị của hàm số \(y = 2\cos 2x + 1\) là

A. \(\left[ { - 3;1} \right].\)     

B. \(\left[ {1;3} \right].\)

C. \(\left[ { - 3; - 1} \right].\)    

D. \(\left[ { - 1;3} \right].\)

Câu 6. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A. \(y = \sqrt 3 \cos 3x.\)  

B. \(y = \cos x.\)   

C. \(y = \tan x.\)    

D. \(y = {x^2}.\)

Câu 7. Công thức nghiệm của phương trình \(\sin x = \sin \alpha \) là

A. \[\left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].  

B. \[\left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k\pi \\x = \pi  - \alpha  + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

C. \[x =  \pm \alpha  + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

D. \[x = \alpha  + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

Câu 8. Nghiệm của phương trình \(\tan \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1\) là

A. \(x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}.\)   

B. \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}.\)

C. \(x =  - \frac{\pi }{{12}} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}.\)

D. \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}.\)

Câu 9. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào vô nghiệm?

A. \(\tan x = \pi .\)    

B. \(\cot 2x =  - 2.\)    

C. \(\sin 2x = \frac{{2023}}{{2024}}.\)  

D. \(\cos x = \frac{3}{2}.\)

Câu 10. Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{ - n + 1}}{n}.\) Năm số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) lần lượt là

A. \( - \frac{1}{2};\,\, - \frac{2}{3};\, - \frac{3}{4};\,\, - \frac{4}{5};\,\, - \frac{5}{6}.\)

B. \(\frac{1}{2};\,\,\frac{2}{3};\,\,\frac{3}{4};\,\,\frac{4}{5};\,\,\frac{5}{6}.\)  

C. \(0;\,\, - \frac{1}{2};\,\, - \frac{2}{3};\, - \frac{3}{4};\,\, - \frac{4}{5}.\)  

D. \( - \frac{2}{3};\,\, - \frac{3}{4}; - \,\,\frac{4}{5};\,\, - \frac{5}{6};\,\, - \frac{6}{7}.\)

Câu 11. Trong các dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau, dãy số nào là dãy số tăng?

A. \[{u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}.\]    

B. \[{u_n} = \frac{1}{n}.\]  

C. \[{u_n} = \frac{{n + 5}}{{3n + 1}}.\]   

D. \[{u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}.\]

Câu 12. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?

A. \(1;\,\, - 4;\,\, - 9;\,\, - 14;\,\, - 19.\)         

B. \(1;\,\,4;\,\,6;\,\,7;\,\,10.\)

C. \(1;\,\,0;\,\,0;\,\,0;\,\,0.\)     

D. \(3;\,\,9;\,\,27;\,\,81;\,\,243.\)

Câu 13. Cho hình vẽ dưới đây. Các số hạng được viết trong các ô vuông từ trái sang phải tạo thành cấp số cộng. Giá trị của \(x\) trong hình vẽ đã cho là

 

A. \( - 4.\)               B. 7.  

C. 4.                         D. \( - 7.\)

Câu 14. Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = 3{u_n}\end{array} \right.,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Tìm số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{u_n}} \right).\)

A. \({u_n} = {3^{n - 1}}.\)     

B. \({u_n} = {3^{n + 1}}.\) 

C. \({u_n} = {3^n}.\)  

D. \({u_n} = {n^{n - 1}}.\)

Câu 15. Cho ba số \(1;\,\,2;\,\, - 2a\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Giá trị của \(a\) bằng bao nhiêu?

A. \( - 4.\)           

B. \(2.\)           

C. \(4.\)    

D. \( - 2.\)

Câu 16. Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {4 + {u_n}} \right) = 1.\) Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}\) bằng

A. \( - 3.\)       

B. 1.    

C. \(4.\)  

D. \( - 4.\)

Câu 17. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{n + 1}}{{3n}}\) bằng

A. 1.       

B. \( + \infty .\)  

C. \( - \infty .\)      

D. \(\frac{1}{3}.\)

Câu 18. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = 4\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } g\left( x \right) =  - 1.\) Giá trị \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\] bằng

A. 5.         

B. 3.    

C. \( - \frac{1}{4}.\)  

D. 0.

Câu 19. Kết quả của giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - 15}}{{x - 2}}\] là

A. \(0\).    

B. \(1\).  

C. \( + \infty .\)  

D. \( - \infty .\)

Câu 20. Hàm số nào sau đây liên tục trên \(\mathbb{R}\)?

A. \(y = \sqrt x .\)   

B. \(y = \cot x.\)   

C. \(y = \tan x.\)    

D. \(y = \frac{1}{{{x^2} + 1}}.\)

Câu 21. Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{\left| {x - 2} \right|}}.\] Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên

A. \(\left( { - \infty ; + \infty } \right).\)     

B. \(\left[ {2; + \infty } \right).\)                       

C. \(\left( { - \infty ;2} \right].\)      

D. \(\left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\)

Câu 22. Giá trị của \(a\) để hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3x - 1\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ne 1\\a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ne 1\end{array} \right.\] liên tục tại \(x = 1\) là

A. \(1.\)          

B. \( - 1.\)      

C. \(0.\)     

D. \(2.\)

Câu 23. Yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?

A. Ba điểm phân biệt.         

B. Hai đường thẳng cắt nhau.       

C. Bốn điểm phân biệt.      

D. Một điểm và một đường thẳng.

Câu 24. Cho hình chóp \(S.ABCD,\) gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(BD\) và \(AC.\) Phát biểu nào dưới đây đúng?

A. Đường thẳng \(SO\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right).\)         

B. Đường thẳng \(SO\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right).\)                       

C. Đường thẳng \(SO\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBD} \right).\)                       

D. Đường thẳng \(SO\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right).\)

Câu 25. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Trong không gian, qua một điểm và một đường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.                  

B. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

C. Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy.

D. Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song.

Câu 26. Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là các điểm thuộc các cạnh \(AB,\,\,AC\) sao cho \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\); \(I,\,\,J\) lần lượt là trung điểm của \(BD\) và \(CD.\)

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(IJ\) cắt \(BC.\)       

B. \(IJ\) song song \(MN.\)

C. \(IJ\) và \(MN\) là hai đường thẳng chéo nhau.

D. \(IJ\) và \(MN\) là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.

Câu 27. Cho đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right).\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Đường thẳng \(d\) không có điểm chung với mặt phẳng \(\left( P \right).\)          

B. Đường thẳng \(d\) có đúng một điểm chung với mặt phẳng \(\left( P \right).\)

C. Đường thẳng \(d\) có đúng hai điểm chung với mặt phẳng \(\left( P \right).\)           

D. Đường thẳng \(d\) có vô số điểm chung với mặt phẳng \(\left( P \right).\)

Câu 28. Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,CD.\) Đường thẳng \(BD\) song song với mặt phẳng nào dưới đây?

A. \(\left( {AMN} \right).\)  

B. \(\left( {ABC} \right).\)  

C. \(\left( {ABD} \right).\)

 D. \(\left( {CMN} \right).\)

Câu 29. Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \({G_1}\) và \({G_2}\) lần lượt là trọng tâm của hai tam giác \(ABD\) và \[ACD.\] Đường thẳng \({G_1}{G_2}\) song song với mặt phẳng nào dưới đây?

A. \(\left( {ABC} \right).\)     

B. \(\left( {ABD} \right).\)  

C. \(\left( {ACD} \right).\)    

D. \(\left( {A{G_1}{G_2}} \right).\)

Câu 30. Cho mặt phẳng \(\left( R \right)\) cắt hai mặt phẳng song song \(\left( P \right)\) và \[\left( Q \right)\] theo hai giao tuyến \(a\) và \(b.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(a\) và \(b\) có một điểm chung duy nhất.   

B. \(a\) và \(b\) song song.

C. \(a\) và \(b\) trùng nhau.

D. \(a\) và \(b\) song song hoặc trùng nhau.

Câu 31. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O.\) Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) theo thứ tự lần lượt là trung điểm của \(SA,\,\,SB,\,\,SD.\) Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\left( {MNP} \right){\rm{//}}\left( {ABCD} \right).\)   

B. \(\left( {MNP} \right){\rm{//}}\left( {SCD} \right).\)              

C. \(\left( {MNP} \right){\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)  

D. \(\left( {MNP} \right){\rm{//}}\left( {SAB} \right).\)

Câu 32. Số đường chéo trong một hình hộp là:

A. 2.      

B. 4.       

C. 24.         

D. 28.

Câu 33. Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AC\) cắt \(BD\) tại \(O\) và \(A'C'\) cắt \(B'D'\) tại \(O'.\) Khi đó \(\left( {AB'D'} \right)\) song song với mặt phẳng nào dưới đây?

A. \(\left( {A'OC'} \right).\)    

B. \(\left( {BDA'} \right).\) 

C. \(\left( {BDC'} \right).\)  

D. \(\left( {BCD} \right).\)

Câu 34. Cho các đường thẳng không song song với phương chiếu. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song.

B. Phép chiếu song song có thể biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng cắt nhau.

C. Phép chiếu song song có thể biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng chéo nhau.

D. Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song

song hoặc trùng nhau.

Câu 35. Phép chiếu song song biến \(\Delta ABC\) thành \(\Delta A'B'C'\) theo thứ tự đó. Vậy phép chiếu song song nói trên, sẽ biến trung điểm \(M\) của cạnh \(BC\) thành

A. Trung điểm \(M'\) của cạnh \(B'C'.\)

B. Trung điểm \(M'\) của cạnh \(A'C'.\)

C. Trung điểm \(M'\) của cạnh \(A'B'.\)

D. Trung điểm \(M'\) của cạnh \(BC.\)

II. Tự luận (3 điểm)

Bài 1. (1 điểm) Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{3n - 1}}{{2n + 3}}\);      b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 4}  - 2}}{x}.\]

Bài 2. (1 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Trên cạnh \(SC\) và \(AB\) lần lượt lấy hai điểm \(I\) và \(J\) sao cho \(CI = \frac{2}{3}SC\) và \(BJ = \frac{2}{3}AB.\)

a) Tìm giao điểm của đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {ABI} \right).\)

b) Chứng minh rằng \(IJ{\rm{//}}\left( {SAD} \right).\)

Bài 3. (1 điểm) Một người chơi nhảy bungee trên một cây cầu với một sợi dây dài 100 m. Sau mỗi lần rơi xuống, người chơi được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng \(80\% \) so với lần rơi trước và lại rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên. Tính tổng quãng đường đi lên của người đó sau 10 lần được kéo lên.

–––––HẾT–––––

C. Đáp án và hướng dẫn giải đề kiểm tra cuối học kì 1

I. Bảng đáp án trắc nghiệm

 

II. Hướng dẫn giải tự luận

Bài 1. (1 điểm)

a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{3n - 1}}{{2n + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{n\left( {3 - \frac{1}{n}} \right)}}{{n\left( {2 + \frac{3}{n}} \right)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{3 - \frac{1}{n}}}{{2 + \frac{3}{n}}} = \frac{3}{2}\).  

b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 4}  - 2}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 4}  - 2} \right).\left( {\sqrt {{x^2} + 4}  + 2} \right)}}{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 4}  + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + 4 - 4}}{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 4}  + 2} \right)}}\]

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 4}  + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 4}  + 2}} = \frac{0}{{\sqrt {0 + 4}  + 2}} = 0.\)

Bài 2. (1 điểm)

a) Ta có: \(I \in SC\) mà \(SC \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow I \in \left( {SCD} \right).\)

Mà \(I \in \left( {ABI} \right).\)

\( \Rightarrow I \in \left( {ABI} \right) \cap \left( {SCD} \right).\)

Hơn nữa: \(AB{\rm{//}}CD;\) \(AB \subset \left( {ABI} \right)\) và \(CD \subset \left( {SCD} \right).\)

\( \Rightarrow d = \left( {ABI} \right) \cap \left( {SCD} \right)\) sao cho \(d\) đi qua \(I\) và song song với \(AB,\,CD.\)

Trong \(\left( {SCD} \right)\) gọi \(K = d \cap SD.\)

Khi đó \(K \in d\) mà \[d \subset \left( {ABI} \right).\]

\( \Rightarrow K = SD \cap \left( {ABI} \right).\)

b) Ta có: \(CI = \frac{2}{3}SC \Rightarrow SI = \frac{1}{3}SC \Rightarrow \frac{{SI}}{{SC}} = \frac{1}{3};\)

               \(BJ = \frac{2}{3}AB \Rightarrow AJ = \frac{1}{3}AB \Rightarrow \frac{{AJ}}{{AB}} = \frac{1}{3}.\)

\( \Rightarrow \frac{{SI}}{{SC}} = \frac{{AJ}}{{AB}} = \frac{1}{3}.\)

Lại có: \(KI{\rm{//}}CD\) (do \(d{\rm{//}}CD\)) nên theo hệ quả định lí Thalés có:

\(\frac{{KI}}{{CD}} = \frac{{SI}}{{SC}} \Rightarrow \frac{{KI}}{{CD}} = \frac{{AJ}}{{AB}}.\)

Mặt khác \(CD = AB\) (do \(ABCD\) là hình bình hành).

\( \Rightarrow KI = AJ.\)

Mà \(KI{\rm{//}}AJ\) (do \(d{\rm{//AB}}\))                   

Suy ra \(AKIJ\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow IJ{\rm{//}}AK.\)

Hơn nữa: \(AK \subset \left( {SAD} \right)\) và \(IJ \not\subset \left( {SAD} \right).\)

Từ đó ta có \(IJ{\rm{//}}\left( {SAD} \right).\)

Bài 3. (1 điểm)

Gọi \({u_n}\)_­ là quãng đường đi lên của người đó sau \(n\) lần kéo lên \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)

Sau lần kéo lên đầu tiên quãng đường đi lên của người đó là:

\({u_1} = 100.80\%  = 100.0,8 = 80\) (m).

Sau lần kéo lên thứ hai quãng đường đi lên của người đó là:

\({u_2} = 80.80\%  = 80.0,8\) (m).

Sau lần kéo lên thứ ba quãng đường đi lên của người đó là:

\({u_3} = 80.0,8.80\%  = 80.0,8.0,8 = 80.0,{8^2}\) (m).

Khi đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 80\) và công bội \(q = 0,8.\)

Ta có công thức tổng quát \({u_n} = 80.{\left( {0,8} \right)^{n - 1}}\) (m).

Tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên là:

\({S_{10}} = \frac{{80\left( {1 - 0,{8^{10}}} \right)}}{{1 - 0,8}} \approx 357,05\,\,\left( {\rm{m}} \right).\)

–––––HẾT–––––

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 2

Sở Giáo dục và Đào tạo ...

Đề thi Học kì 1 - Cánh diều

Năm học 2023 - 2024

Môn: Toán lớp 11

Thời gian làm bài: phút

(Đề số 2)

I. Trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1. Trên đường tròn lượng giác, gọi $M\left(x_0;y_0\right)$ là điểm biểu diễn cho góc lượng giác có số đo $\alpha$. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?

A. $\sin \alpha =y_0$.

B. $\sin \alpha =x_0$.

C. $\sin \alpha =-x_0$.

D. $\sin \alpha =-y_0$.

Câu 2. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. $\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha$.

B. $sin\left(\pi +\alpha \right)=\text{sin}\alpha$.

C. $\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\sin \alpha$.

D. $tan\left(\pi +2\alpha \right)=\cot \left(2\alpha \right)$.

Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$.

B. $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$.

C. $\sin 4\alpha =4\sin \alpha \cdot \cos \alpha$.

D. $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cdot \cos \alpha$.

Câu 4. Cho $\sin x=\frac{2}{3}$. Giá trị của biểu thức P = sin 2x.cos x bằng

A. $\frac{20}{27}$.

B. $\frac{\sqrt{5}}{27}$.

C. $-\frac{\sqrt{5}}{27}$.

D. $-\frac{20}{27}$.

Câu 5. Tập xác định của hàm số $y=\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ là

A. $D=ℝ\backslash \left(\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\right)$.

B. $D=ℝ\backslash \left(-\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\right)$.

C. $D=ℝ\backslash \left(\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\right)$.

D. $D=ℝ\backslash \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\right)$.

Câu 6. Hàm số nào sau đây là một hàm số chẵn?

A. $y=\tan x$.

B. $y=\sin x$.

C. $y=\cos x$.

D. $y=\cot x$.

Câu 7. Công thức nghiệm của phương trình $\cos x=\cos \alpha$ là

A. $\left(\begin{array}{c}x=\alpha +k2\pi \\ x=\pi -\alpha +k2\pi \end{array}\right),k\in \mathbb{Z}$.

B. $x=\pm \alpha +k2\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right).$.

C. $\left(\begin{array}{c}x=\alpha +k\pi \\ x=\pi -\alpha +k\pi \end{array}\right),\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

D. $x=\alpha +k\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right).$.

Câu 8. Nghiệm của phương trình $\tan x=\sqrt{3}$ là

A. $x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

B. $x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

C. $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

D. $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Câu 9. Với những giá trị nào của m thì phương trình ${\cos }^{2}x-m=2$ có nghiệm?

A. $m\in \left(-2;1\right)$.

B. $m\in \left(-1;1\right)$.

C. $m\in \left(0;1\right)$.

D. $m\in \left(-2;-1\right)$.

Câu 10. Dãy số nào sau đây là dãy số tăng?

A. -1; 0; 3; 8; 16.

B. 1; 4; 16; 9; 25.

C. 0; 3; 8; 24; 15.

D. 0; 3; 12; 9; 6.

Câu 11. Cho dãy số $\left(u_n\right)$, biết $\left(\begin{array}{c}{u}_1=1\\ u_{n+1}=u_n+n\end{array}\right)$ với $n\ge 1$. Số hạng thứ 3 của dãy số đó là:

A. 4.

B. 6.

C. 3.

D. 5.

Câu 12. Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ với $u_1=5$ và $u_2=1$. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. 4.

B. -4.

C. 6.

D. Không xác định.

Câu 13. Cho tam giác ABC có số đo của ba góc lập thành cấp số cộng và số đo góc nhỏ nhất bằng 30°. Góc có số đo lớn nhất trong ba góc của tam giác này là

A. 120°.

B. 90°.

C. 60°.

D. 100°.

Câu 14. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 2; 4; 8; 16;... Số hạng tổng quát $u_n$ của cấp số nhân đó là

A. $u_n=2^{n-1}$.

B. $u_n=2^{n+1}$.

C. $u_n=2^n$.

D. $u_n=2n$.

Câu 15. Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu $u_1=-2$ và công bội $q=\frac{1}{2}$. Số hạng thứ 10 của cấp số nhân là

A. $-\frac{1}{256}$.

B. $\frac{1}{512}$.

C. $\frac{1}{256}$.

D. $-\frac{1}{512}$.

Câu 16. Cho hai dãy $\left(u_n\right)$ và $\left(v_n\right)$ thỏa mãn $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\frac{1}{2}$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=-2$. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n.v_n\right)$ bằng

A. -1.

B. 1.

C. $-\frac{1}{4}$.

D. $\frac{1}{4}$.

Câu 17. Biết $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{{\left(1-2n\right)}^3}{a{n}^3+2}=4$ với a là tham số. Khi đó $a-a^2$ bằng

A. -4.

B. -6.

C. -2.

D. 0.

Câu 18. Cho hàm số f(x) và g(x) thỏa mãn $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=14$ và $\underset{x\to 0}{\lim }g\left(x\right)=7$. Giá trị $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{g\left(x\right)}{f\left(x\right)}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$.

B. 2.

C. 7.

D. 0.

Câu 19. Kết quả của giới hạn $\underset{x\to -1}{\lim }\left(x+1\right)$ là

A. 0.

B. $-\infty$.

C. 1.

D. $+\infty$.

Câu 20. Hàm số y = f(x) có đồ thị như hình dưới đây:

Hàm số gián đoạn tại điểm

A. x = 1.

B. x = 3.

C. x = 0.

D. x = 2.

Câu 21. Cho các hàm số $y=\cos x\left(I\right)$, $y=\sin \sqrt{x}\left(II\right)$ và $y=\tan x\left(III\right)$. Hàm số nào liên tục trên ℝ?

A. $\left(I\right),\left(II\right)$.

B. $\left(I\right)$.

C. $\left(I\right),\left(II\right),\left(III\right)$.

D. $\left(III\right)$.

Câu 22. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

I. f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và $f\left(a\right)\cdot f\left(b\right)<0$ thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm.

II. f(x) không liên tục trên [a; b] và $f\left(a\right)\cdot f\left(b\right)\ge 0$ thì phương trình f(x) = 0 vô nghiệm.

A. Chỉ I đúng.

B. Chỉ II đúng.

C. Cả I và II đúng.

D. Cả I và II sai.

Câu 23. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong các mặt phẳng sau, điểm O không nằm trên mặt phẳng nào?

A. $\left(ABCD\right)$.

B. $\left(SAD\right)$.

C. $\left(SAC\right)$.

D. $\left(SBD\right)$.

Câu 24. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.

B. Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.

C. Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng.

D. Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.

Câu 25. Cho tứ diện ABCD vị trí tương đối của hai đường thẳng AC và BD là

A. Cắt nhau.

B. Song song.

C. Chéo nhau.

D. Trùng nhau.

Câu 26. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và ABD. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. IJ cắt AB.

B. IJ song song AB.

C. IJ và CD là hai đường thẳng chéo nhau.

D. IJ song song CD.

Câu 27. Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) không có điểm chung. Kết luận nào sau đây đúng?

A. a cắt (P).

B. a cắt (P) hoặc a chéo (P).

C. $a\text{//}\left(P\right)$.

D. a chứa trong (P).

Câu 28. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $CD\text{//}\left(SAB\right)$.

B. $AB\text{//}\left(SCD\right)$.

C. $BC\text{//}\left(SAD\right)$.

D. $AC\text{//}\left(SBD\right)$.

Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng song song với mặt phẳng nào sau đây?

A. (ABCD).

B. (SAB).

C. (SCD).

D. (SBD).

Câu 30. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hai mặt phẳng phân biệt không cắt nhau thì song song.

B. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có vô số mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

D. Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SD, AB. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\left(MON\right)\text{//}\left(MOP\right)$.

B. $\left(MON\right)\text{//}\left(SBC\right)$.

C. $\left(NOP\right)\text{//}\left(MNP\right)$.

D. $\left(SBD\right)\text{//}\left(MNP\right)$.

Câu 32. Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là

A. Hình lăng trụ tam giác.

B. Hình hộp chữ nhật.

C. Hình hộp.

D. Hình lập phương.

Câu 33. Cho hình lăng trụ $ABC.A_1{B}_1{C}_1$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $\left(ABC\right)\text{//}\left(A_1{B}_1{C}_1\right)$.

B. $A{A}_1\text{//}\left(BC{C}_1\right)$.

C. $AB\text{//}\left(A_1{B}_1{C}_1\right).$.

D. $A{A}_1{B}_{1}B$ là hình chữ nhật.

Câu 34. Có bao nhiêu hình biểu diễn cho hình tứ diện trong bốn hình dưới đây?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 35. Phép chiếu song song biến ba đường thẳng song song thành

A. Ba đường thẳng đôi một song song với nhau.

B. Một đường thẳng.

C. Hai đường thẳng song song.

D. Cả ba phương án A, B, C.

II. Tự luận (3 điểm)

Bài 1. (1 điểm) Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(1+n-n^2\right)$.

b) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^3-8}{x^2-4}$.

Bài 2. (1 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$ và AB.

a) Chứng minh $C{B}^{\text{'}}\text{//}\left(AM{C}^{\text{'}}\right)$.

b) Mặt phẳng (P) đi qua N song song với hai cạnh $A{B}^{\text{'}}$ và $A{C}^{\text{'}}$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và $\left(B{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)$.

Bài 3. (1 điểm)Cho hình vuông (C₁) có cạnh bằng a. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông (C₂) (xem hình vẽ). Từ hình vuông (C₂) lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông $C_1,C_2,C_3,\mathrm{...},C_n,\mathrm{...}$. Gọi $S_i$ là diện tích của hình vuông $C_i\left(i\in \left(1;2;3;\mathrm{...}\right)\right)$. Đặt $T=S_1+S_2+S_3+\mathrm{...}+S_n+\mathrm{...}$. Biết $T=\frac{32}{3}$, tính a.

–––––HẾT–––––

ĐÁP ÁN

I. Bảng đáp án trắc nghiệm

II. Hướng dẫn giải tự luận

Bài 1. (1 điểm) Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(1+n-n^2\right)$.

b) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^3-8}{x^2-4}$.

Hướng dẫn giải

Bài 2. (1 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$ và AB.

a) Chứng minh $C{B}^{\text{'}}\text{//}\left(AM{C}^{\text{'}}\right)$.

b) Mặt phẳng (P) đi qua N song song với hai cạnh $A{B}^{\text{'}}$ và $A{C}^{\text{'}}$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và $\left(B{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)$.

Hướng dẫn giải

a)

b)

Trong mặt phẳng $\left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)$, kẻ đường thẳng qua N song song với $A{B}^{\text{'}}$, cắt $B{B}^{\text{'}}$ tại E.

Trong mặt phẳng $\left(AB{C}^{\text{'}}\right)$, kẻ đường thẳng qua N song song với $A{C}^{\text{'}}$, cắt $B{C}^{\text{'}}$ tại Q.

Khi đó, mặt phẳng (P) chính là mặt phẳng (NQE).

Vì $E\in B{B}^{\text{'}}$ nên $E\in \left(B{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)$; vì $Q\in B{C}^{\text{'}}$ nên $Q\in \left(B{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)$. Do đó, $EQ\subset \left(B{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)$.

Vậy $\left(NQE\right)\cap \left(B{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)=EQ$ hay $\left(P\right)\cap \left(B{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)=EQ$.

Bài 3. (1 điểm)Cho hình vuông (C₁) có cạnh bằng a. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông (C₂) (xem hình vẽ). Từ hình vuông (C₂) lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông $C_1,C_2,C_3,\mathrm{...},C_n,\mathrm{...}$. Gọi $S_i$ là diện tích của hình vuông $C_i\left(i\in \left(1;2;3;\mathrm{...}\right)\right)$. Đặt $T=S_1+S_2+S_3+\mathrm{...}+S_n+\mathrm{...}$. Biết $T=\frac{32}{3}$, tính a.

Hướng dẫn giải

Hình vuông đầu tiên (C₁) có cạnh bằng a và diện tích là S₁ = a².

Lý luận tương tự ta có $S_1,S_2,S_3,\mathrm{...},S_n,\mathrm{...}$ tạo thành một dãy cấp số nhân $u_1=S_1=a^2$ và công bội $q=\frac{5}{8}$.

Vì $\left(q\right)=\frac{5}{8}<1$ nên $S_1,S_2,S_3,\mathrm{...},S_n,\mathrm{...}$ là một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1=S_1=a^2$ và công bội $q=\frac{5}{8}$.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn này là

$T=S_1+S_2+S_3+\mathrm{...}+S_n+\mathrm{...}$$=\frac{S_1}{1-q}=\frac{a^2}{1-\frac{5}{8}}=\frac{8a^2}{3}$.

Mà $T=\frac{32}{3}$ nên $\frac{8a^2}{3}=\frac{32}{3}\iff a^2=4$. Suy ra a = 2 (do độ dài cạnh là số dương).

–––––HẾT–––––