Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Bài giảng chuyên đề mệnh đề và tập hợp giúp học sinh tự học, tài liệu bao gồm 49 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Bài giảng chuyên đề mệnh đề và tập hợp giúp học sinh tự học

Bài 1. Mệnh đế

A - Tóm tắt lý thuyết

1. Mệnh đề:

Mệnh đề là một khẳng định hoặc là đúng hoặc là sai và không thể vừa đúng vừa sai.

Ví dụ: " 2+ 3= 5 ” là MĐ đúng.

"2 là số hữu tỉ " là MĐ đúng. "Mệt quá!" không phải là MĐ.

2. Mệnh đề chứa biến

Ví dụ: Cho khẳng định " \(2 + n = 5\) ”. Khi thay mỗi giá trị cụ thể của n vào khẳng định trên thì ta được một mệnh đề. Khẳng định có đặc điểm như thế được gọi là mệnh đề chứa biến.

3. Phủ định của một mệnh đề

Phủ định của mệnh đ̇ề P ký hiệu là P là một mệnh đề thoả mãn tính chất nếu P đúng thì P saí, còn nếu P sai thì P đúng.

Ví dụ: P : "3 là số nguyên tố" thì \(\bar P\) : "3 không là số nguyên tố".

4. Mệnh đề kéo theo

Mệnh đề "Nếu P thì Q " gọi là mệnh đề kéo theo, ký hiệu \(P \Rightarrow Q\).

Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) chi sai khi P đúng đồng thời Q sai.

Ví dụ: Mệnh đề "1> 2 " là mệnh đề sai.

Mệnh đề " \(\sqrt 3  < 2 \Rightarrow 3 < 4\) " là mệnh đề đúng.

Trong mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) thì

- P : gọi là giả thiết (hay P là điều kiện đủ để có Q ).

- Q : gọi là kết luân (hay Q là điều kiện cần để có P ).

5. Mệnh đề đảo - Hai mệnh đề tương đương

Mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là mệnh đề \(Q \Rightarrow P\).

Chú ý: Mệnh đề đảo của một đề đúng chưa hẳn là một mệnh đề đúng.

Nếu hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương nhau. Ký hiệu \(P \Leftrightarrow Q\).

Cách phát biểu khác:

 + P khi và chi khi Q.

+ P là điều kiện cần và đủ để có Q.

+ Q là diều kiện cần và đủ để có P.

6. Ký hiệu \(\forall ,\exists :(\forall :\) đọc là với mọi; \(\exists :\) đọc là tồn tại)

Ví dụ: \(P:{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R},{x^2} \ge 0{\rm{ }}\) : đúng \(Q:{\rm{ }}\exists n \in \mathbb{Z},{n^2} - 3n + 1 = 0{\rm{ }}:\) sai

7. Phủ định của mệnh đề với mọi, tồn tại:

Mệnh đề \(P:\forall x \in X,T(x)\) có mệnh đề phủ định là \(\exists x \in X,\overline {T(x)} \)

Mệnh đề \(P:\exists x \in X,T(x)\) có mệnh đề phủ định là \(\forall x \in X,\overline {T(x)} \)

Lưu ý

- Phủ định của " \(a < b\) " là " \(a \ge b\) "

- Phủ định của " \(a = b\) " là " \(a \ne b\) "

- Phủ định của " \(a > b\) " là " \(a \le b\) "

- Phủ dịnh của " a chia hết cho b " là " a không chia hết cho b"

Ví dụ: \(P:\exists n \in \mathbb{Z},n < 0\) phủ định của P là \(\bar P:\forall n \in \mathbb{Z},n \ge 0\)

8. Áp dụng mệnh đề vào suy lụ̣̂n toán học

- Trong toán học, định lí là một mệnh đề đúng. Nhiều định lí được phát biểu dưới dạng: " \(\forall x \in X,P(x) \Rightarrow Q(x)\) " trong đó P(x); Q(x) là các mệnh đề chứa biến, X là tập hợp nào đó.

- Cho định lí: " \(\forall x \in X,P(x) \Rightarrow Q(x){\rm{ }}(I),P(x)\) là giả thiết, Q(x) là kết luận.

- P(x) là điều kiện đủ để có Q(x); Q(x) là điều kiện cần để có P(x).

- Mệnh đề " \(\forall x \in X,{\rm{Q}}(x) \Rightarrow P(x)\) "” (2), là mệnh đề đảo của định lí (1). Nếu mệnh đề (2) đúng thì nó đuợc gọi là định lí đảo của định lí (1). Khi đó định lí (1) gọi là định lí thuận. Định lí thuận và đảo có thể viết gộp thành định lí: " \(\forall x \in X,P(x) \Leftrightarrow Q(x)\) ", đọc là P(x) là điều kiện cần và đủ để có Q(x).

B - Phương pháp giải toán

Dạng 1. Xác định mệnh đề. Tính đúng sai của mệnh đề

Phương pháp giải

Căn cứ trên định nghĩa mệnh đề và tính đúng sai của chúng.

Lưu ý rằng:

- \(P,\bar P\) không cùng tính đúng sai.

- \(P \Rightarrow Q\) chi sai khi P đúng, Q sai.

- \(P \Leftrightarrow Q\) đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề P và Q đều đúng hay đều sai.

- \(\forall x \in X,P(x)\) dúng khi \(P\left( {{x_0}} \right)\) dúng vói mọi \({x_0} \in X\).

- \(\exists x \in X,P(x)\) đúng khi có \({x_0} \in X\) sao cho \(P\left( {{x_0}} \right)\) đúng.

Bài tập mẫu

Ví dụ 1. Xét xem các phát biểu sau có phải là mệnh đề không ? Nếu là mệnh đề thì cho biết đó là mệnh đề đúng hay sai ?

a) \(\sqrt 2 \) không là số hữu tỉ

b) Iran là một nước thuộc châu Âu phải không ?

c) Phương trình \({x^2} + 5x + 6 = 0\) vô nghiệm.

d) Chứng minh bằng phản chứng khó thật!

e) \(x + 4\) là một số âm.

f) Nếu n là số chắn thì n chia hết cho 4 .

g) Nếu chia hết cho 4 thì n là số chẵn.

h) n là số chẵn nếu và chỉ nếu \({{\rm{n}}^2}\) chia hết cho 4 .

i) \(\exists n \in \mathbb{N},{n^3} - n\) không là bội của 3 .

j) \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} - x + 1 > 0\).

Dạng 2. Xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định của một mệnh đề

Phương pháp giải

- Mệnh đề phủ định của P là "không phải P ".

- Mệnh đề phủ định của \(\forall x \in X,P(x)\) " là \(\exists x \in X,\overline {P(x)} \) ".

- Mệnh đề phủ định của " \(\exists x \in X,P(x)\) " là " \(\forall x \in X,\overline {P(x)} \) ".

- Mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) là mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\).

Bài tập mẫu

Ví dụ 2. Tìm mệnh đề đảo của mệnh đề sau và cho biết mệnh đề đảo đúng hay sai: "Nếu hai góc đối đỉnh thì chúng bằng nhau"'.

Ví dụ 3. Tìm mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết chúng đúng hay sai:

a) \(P = \forall x \in \mathbb{R},{(x - 1)^2} \ge 0{\rm{ }}\),

b) \(Q = \) "Có một tam giác không có góc nào lớn hơn ${60}^{°}$

Dạng 3. Phương pháp chứng minh phản chứng

Phương pháp giải

- Đề bài yêu cầu chứng minh \(P(x) \Rightarrow Q(x)\). Xác định giả thiết P(x), kết luận Q(x) của định lí.

- Giả sử Q(x) sai ta suy ra vô lí (kết hợp với P(x) khi cần)

Bài tập mẫu

Ví dụ 4. Chứng minh rằng nếu n là số nguyên tố lẻ thì 3n + 2 cũng là số nguyên tố

Ví dụ 5. Chứng minh rằng: "Nếu nhốt n con thỏ vào k cái chuồng (k <n) thì có một chuồng chứa nhiều hơn một con thỏ" (nguyên lí Dirichlet).

Dạng 4. Phát biểu định lí, định lí đảo dạng điều kiện cần, điều kiện đủ

Phương pháp giải

- Môt định lí thường có dạng " \(\forall x \in X,P(x) \Rightarrow Q(x){\rm{ }}\). Xác định P(x), Q(x).

- Lấy \(x \in X\) sao cho P(x) dúng, chứng minh Q(x) đúng.

- P(x)  là điều kiện đủ để có Q(x) hay Q(x) là điều kiện cần để có P(x)

Bài tập mẫu

Ví dụ 6. Sử dụng thuật ngữ "điều kiện cần", "điều kiện đủ" phát biểu các định lí sau:

a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.

b) Nếu \(a + b > 0\) thì ít nhất có một số a hay b dương.

C - Bài tập tự luận

Bài 1. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề có chứa biến:

a) \(2 + 3 = 6\)

b) \(2 + x > 3\)

c) \(x - y = 1\)

d) \(\sqrt 2 \) là số vô tỷ

Bài 2. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu phủ định của nó:

a) \(\sqrt 5  - \sqrt 2  = \frac{1}{{\sqrt 5  + \sqrt 3 }}\)

b) 693 chia hết cho 3

c) \({(\sqrt 3  - \sqrt {12} )^2}\) là số hữu tỷ

d) \(x = 3\) là 1 nghiệm của phương trình \(\frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}} = 0\)

Bài 3. Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề ? Nếu là mệnh đề hay cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.

a) Không được đi lối này!

b) Bây giờ là mấy giờ ?

c) 7 không là số nguyên tố.

d) \(\sqrt 5 \) là số vô tỉ.

Bài 4. Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề ? Nếu là mệnh đề hãy cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.

a) Số \(\pi \) có lớn hơn 3 hay không ?

b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.

c) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.

d) Phương trình \({x^2} + 2016x - 2017 = 0\) vô nghiệm.

Bài 5. Tìm 2 giá trị thực của x để từ mỗi câu sau ta được 1 mệnh đề đúng và 1 mệnh đề sai:

a) \({x^2} < x\)

b) \(x = 5x\)

c) \({x^2} > 0\)

d) \(x > \frac{1}{x}\)

Bài 6. Cho mệnh đề chứa biến " \(P(x):x > {x^3}\) ", xét tính đúng sai của các mệnh đề sau

a) \(P(1)\).

b) \(P\left( {\frac{1}{3}} \right)\).

c) \(\forall x \in \mathbb{N},P(x)\).

d) \(\exists x \in \mathbb{N},P(x)\).

Bài 7. Dùng các kí hiệu \(\forall ,\exists \) trước các mệnh đề chứa biến để được mệnh đề đúng:

a) \(x + 2 > 3\)

b) \(a + 3 = 3 + a\)

c) 15 là bội số của x

d) \({(x - 2)^2} >  - 1\)

e) \(x + 1 > y\)

f) \((a - b)(a + b) = {a^2} - {b^2}\)

g) \({(a - b)^2} = {a^2} - {b^2}\)

h) \({x^2} > 0\)

i) \({(x + y)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2}\)

j) \({(x - 2)^2} = 1\)

k) \({x^2} - 5x + 6 = 0\)

1) \((x + y)z = xz + yz\)

Bài 8. Lập mệnh đề phủ định và xét tính đúng sai của chúng:

a) \(\exists x \in \mathbb{Q},9{x^2} - 3 = 0\).

b) \(\exists n \in \mathbb{N},{n^2} + 1\) chia hết cho 8

c) \(\forall x \in \mathbb{R},{(x - 1)^2} \ne x - 1\).

d) \(\forall n \in \mathbb{N},{n^2} > n\).

Bài 9. Cho số thực x. Xét các mệnh đề: \(P:{\rm{ }}{x^2} = 1\) " và \(Q:{\rm{ }}x = 1\) "

a) Phát biểu mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và mệnh đề đảo của nó.

b) Xét tính đúng sai của 2 mệnh đề trên.

c) Chỉ ra một giá trị của x mà mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) sai.

Bài 10. Phát biểu mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) bằng hai cách và và xét tính đúng sai của nó

a) \(P\) : "Tứ giác ABCD là hình thoi" và Q : "Tứ giác ABCD là hình bình hàng có đường chéo vuông góc với nhau”

b) P : "Bất phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x}  > 1\) có nghiệm" và .

Bài 11. Lập mệnh đề kéo theo và mệnh đề tương đương của hai mệnh đề sau đây và cho biết tính đúng, sai của chúng. Biết:

- \(P\) : "Điểm M nằm trên phân giác của góc Oxy

- Q : "Điểm M cách đều hai cạnh O , Oy ".

Bài 12. Dùng ký hiệu \(\forall \) hoặc \(\exists \) để viết các mệnh đề sau:

a) Có 1 số nguyên không chia hết cho chính nó.

b) Mọi số thực cộng với 0 đều bằng chính nó.

c) Có một số hữu tỷ nhỏ hơn nghịch đảo của nó.

Bài 13. Sử dụng khái niệm "điều kiện cần" hoặc "điều kiện đủ" phát biểu các mệnh đề sau:

a) Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau.

b) Số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5 .

c) Nếu \(a = b\) thì \({a^2} = {b^2}\).

d) Nếu \(a + b > 0\) thì 1 trong hai số a và b >0.

Bài 14. Phát biểu một "điều kiện đủ":

a) Để tứ giác ABCD là hình bình hành

b) Để tứ giác ABCD là hình chữ nhật

Bài 15. Xác định tính đúng - sai của các mệnh đề sau

a) \(\forall x \in \mathbb{R},x >  - 2 \Rightarrow {x^2} > 4\).

b) \(\forall x \in \mathbb{R},x > 2 \Rightarrow {x^2} > 4\).

c) \(\forall m,n \in \mathbb{N},m\) và n là các số lẻ \( \Leftrightarrow {m^2} + {n^2}\) là số chã̃n.

d) \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 4 \Rightarrow x > 2\).