Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Trắc nghiệm nâng cao nguyên hàm, tích phân và ứng dụng - Đặng Việt Đông, tài liệu bao gồm 122 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tóm tắt: Tài liệu gồm 4 phần:

1. Nguyên hàm nâng cao

2. Tích phân nâng cao

3. Ứng dụng tích phân nâng cao

4. Ứng dụng thực tế

NGUYÊN HÀM NÂNG CAO

A- LÝ THUYẾT CHUNG

1. Định nghĩa

Cho hàm số y=f(x) xác định trên tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn của R ). Nếu Ta có hàm số F(x) xác định trên K sao cho \({F^\prime }(x) = f(x)\) thì F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.

Định lí 1. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hẳng số C, hàm số G(x)=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.

Định lí 2 . Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng G(x)=F(x)+C với C là hằng số.

Định lí 3. Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

2. Tính chất:

\(\int {{f^\prime }} (x)dx = f(x) + C\)với C là hằng số.

\(\int k f(x)dx = k\int f (x)dx\) với K là hằng số khác 0.

\(\int {\left[ {f(x) \pm g(x)} \right]d{\rm{x}} = \int {f(x)d{\rm{x}} \pm \int {g(x)d{\rm{x}}} } } \)

Bảng nguyên hàm

Chú ý: công thức tính vi phân của f(x) là \(d[f(x)] = {f^\prime }(x)dx\)

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{e^x} + 3}}\) và \(F(0) =  - \frac{1}{3}\ln 4\). Tập nghiệm S của phương trình \(3F(x) + \ln \left( {{x^3} + 3} \right) = 2\) là:

A. \(S = \{ 2\} \).

B. \(S = \{  - 2;2\} \).

C. \(S = \{ 1;2\} \).

D. \(S = \{  - 2;1\} \).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

 \(\begin{array}{l}F(x) = \int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{e^x} + 3}}}  = \frac{1}{3}\int {\left( {1 - \frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 3}}} \right)} {\rm{d}}x\\ = \frac{1}{3}\left( {x - \ln \left( {{e^x} + 3} \right)} \right) + C\end{array}\).

Do \(F(0) =  - \frac{1}{3}\ln 4\) nên C=0.

Vậy \(F(x) = \frac{1}{3}\left( {x - \ln \left( {{e^x} + 3} \right)} \right)\).

Do đó: \(3F(x) + \ln \left( {{e^x} + 3} \right) = 2 \Leftrightarrow x = 2\)

Chọn A.

Câu 2: Cho \(F(x) = {x^2}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x){e^{2x}}\). Tìm nguyên hàm của hàm số \({f^\prime }(x){e^{2x}}\).

A. \(\int {{f^\prime }} (x){e^{2x}}dx =  - {x^2} + 2x + C\)

B. \(\int {{f^\prime }} (x){e^{2x}}dx =  - {x^2} + x + C\)

C. \(\int {{f^\prime }} (x){e^{2x}}dx = 2{x^2} - 2x + C\)

D. \(\int {{f^\prime }} (x){e^{2x}}dx =  - 2{x^2} + 2x + C\)

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết

 \(\begin{array}{l} \Rightarrow {F^\prime }(x) = f(x) \cdot {e^{2x}}\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2}} \right)^\prime } = f(x) \cdot {e^{2x}} \Leftrightarrow 2x = f(x) \cdot {{\rm{e}}^{2x}}\end{array}\) (1)

Đặt \(A = \int {{f^\prime }} (x) \cdot {e^{2x}}dx\).

Đặt \(u = {e^{2x}} \Rightarrow du = 2{e^{2x}}dx,{\rm{dv}} = {{\rm{f}}^\prime }({\rm{x}}){\rm{dx}}\)

chọn v=f(x)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = {e^{2x}} \cdot f(x) - 2\int f (x) \cdot {e^{2x}}dx = 2x - 2F(x) + C\\ =  - 2{x^2} + 2x + C\end{array}\)

Chọn D.

Câu 3: Cho \(F(x) = (x - 1){e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x){e^{2x}}\). Tìm nguyên hàm của hàm số \({f^\prime }(x){e^{2x}}\).

A. \(\int {{f^\prime }} (x){e^{2x}}\;{\rm{d}}x = (4 - 2x){e^x} + C\)

B. \(\int {{f^\prime }} (x){e^{2x}}\;{\rm{d}}x = \frac{{2 - x}}{2}{e^x} + C\)

C. \(\int {{f^\prime }} (x){e^{2x}}\;{\rm{d}}x = (2 - x){e^x} + C\)

D. \(\int {{f^\prime }} (x){e^{2x}}\;{\rm{d}}x = (x - 2){e^x} + C\)

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {F^\prime }(x) = f(x) \cdot {e^{2x}}\\ \Leftrightarrow {\left[ {(x - 1) \cdot {e^x}} \right]^\prime } = f(x) \cdot {e^{2x}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x \cdot {e^x} = f(x) \cdot {e^{2x}} \Leftrightarrow f(x) = \frac{{x \cdot {e^x}}}{{{e^{2x}}}} = \frac{x}{{{e^x}}}\\ \Rightarrow {f^\prime }(x) = {\left( {\frac{x}{{{e^x}}}} \right)^\prime } =  \ldots  = \frac{{1 - x}}{{{e^x}}}\end{array}\)

Đặt \(A = \int {{f^\prime }} (x) \cdot {e^{2x}}dx = \int {\frac{{1 - x}}{{{e^x}}}}  \cdot {e^{2x}}dx = \int {(1 - x)} {e^x}dx\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 1 \Rightarrow du =  - d{\rm{x}}\\dv = {e^x}d{\rm{x}} \Rightarrow {\rm{v = }}{{\rm{e}}^x}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = (1 - x){e^x} + \int {{e^x}} dx\\ = (1 - x){e^x} + {e^x} + C = {e^x}(2 - x) + C\end{array}\)

Chọn C.

Câu 4: Cho \(F(x) =  - \frac{1}{{3{x^3}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f(x)}}{x}\). Tìm nguyên hàm của hàm số \({f^\prime }(x)\ln x.\)

A. \(\int {{f^\prime }} (x)\ln xdx = \frac{{\ln x}}{{{x^3}}} + \frac{1}{{5{x^5}}} + C\)

B. \(\int {{f^\prime }} (x)\ln xdx = \frac{{\ln x}}{{{x^3}}} - \frac{1}{{5{x^5}}} + C\)

C. \(\int {{f^\prime }} (x)\ln xdx = \frac{{\ln x}}{{{x^3}}} + \frac{1}{{3{x^3}}} + C\)

D. \(\int {{f^\prime }} (x)\ln xdx =  - \frac{{\ln x}}{{{x^3}}} + \frac{1}{{3{x^3}}} + C\)

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết

 \[\begin{array}{l} \Rightarrow {F^\prime }(x) = \frac{{f(x)}}{x} \Leftrightarrow {\left( { - \frac{1}{{3{x^3}}}} \right)^\prime } = \frac{{f(x)}}{x}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{x^4}}} = \frac{{f(x)}}{x} \Leftrightarrow f(x) = \frac{1}{{{x^3}}}\end{array}\]

\( \Rightarrow {f^\prime }(x) =  - 3 \cdot \frac{1}{{{x^4}}}\)

Đặt \(A = \int {{f^\prime }} (x) \cdot \ln x \cdot dx = \int {\frac{{ - 3\ln x}}{{{x^4}}}} dx =  - 3\int {\frac{{\ln x}}{{{x^4}}}} dx\)

Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln {\rm{x}} \Rightarrow du = \frac{1}{x}d{\rm{x}}\\dv = \frac{1}{{{x^4}}}d{\rm{x}} \Rightarrow {\rm{v =  - }}\frac{1}{{3{{\rm{x}}^3}}}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A =  - 3\left( { - \frac{1}{{3{x^3}}}\ln x + \frac{1}{3}\int {\frac{1}{{{x^4}}}} dx} \right)\\ = \frac{{\ln x}}{{{x^3}}} + \frac{1}{{3{x^3}}} + C\end{array}\)

Chọn C.

Câu 5: Cho \(F(x) = \frac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f(x)}}{x}\). Tìm nguyên hàm của hàm số \({f^\prime }(x)\ln x\)

A. \(\int {{f^\prime }} (x)\ln xdx =  - \left( {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2{x^2}}}} \right) + C\)

B. \(\int {{f^\prime }} (x)\ln xdx = \frac{{\ln x}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + C\)

C. \(\int {{f^\prime }} (x)\ln xdx =  - \left( {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + C\)

D. \(\int {{f^\prime }} (x)\ln xdx = \frac{{\ln x}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2{x^2}}} + C\)

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết \( \Rightarrow {F^\prime }(x) = \frac{{f(x)}}{x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{{2{x^2}}}} \right)^\prime } = \frac{{f(x)}}{x}\)

\( \Leftrightarrow  - \frac{1}{{{x^3}}} = \frac{{f(x)}}{x} \Leftrightarrow f(x) =  - \frac{1}{{{x^2}}}\)

\( \Rightarrow {f^\prime }(x) = {\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^\prime } = \frac{2}{{{x^3}}}\)

Đặt \(A = \int {{f^\prime }} (x) \cdot \ln x \cdot dx = \int {\frac{2}{{{x^3}}}}  \cdot \ln x \cdot dx = 2\int {\frac{{\ln x}}{{{x^3}}}} dx\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln {\rm{x}} \Rightarrow du = \frac{1}{x}d{\rm{x}}\\dv = \frac{1}{{{x^3}}}d{\rm{x}} \Rightarrow {\rm{v =  - }}\frac{1}{{{{\rm{x}}^2}}}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = 2\left( { - \frac{{\ln x}}{{2{x^2}}} + \int {\frac{1}{{2{x^3}}}} dx} \right) = 2\left( { - \frac{{\ln x}}{{2{x^2}}} - \frac{1}{{4{x^2}}}} \right) + C\\ =  - \left( {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2{x^2}}}} \right) + C\end{array}\)

Chọn A.

Câu 6: Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\) trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\) ?

A. \(F(x) = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) + C\).

B. \(F(x) = \ln \left( {1 + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) + C\).

C. \(F(x) = \sqrt {1 + {x^2}}  + C\).

D. \(F(x) = \frac{{2x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + C\)

Hướng dẫn giải:

Ta có bài toán gốc sau:

Bài toán gốc: chứng minh \(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + a} }}}  = \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + a} } \right| + c(a \in \mathbb{R})\)

Đặt \(t = x + \sqrt {{x^2} + a}  \Rightarrow dt = \left( {1 + \frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + a} }}} \right)dx\)

\( \Leftrightarrow dt = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + a} }}{{\sqrt {{x^2} + a} }}dx \Leftrightarrow dt = \frac{{tdx}}{{\sqrt {{x^2} + a} }}\)

 \( \Leftrightarrow \frac{{dt}}{t} = \frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + a} }}\)

Vậy khi đó \(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + a} }}}  = \int {\frac{{dt}}{t}}  = \ln |t| + c = \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + a} } \right| + c\) ( điều phải chứng minh).

Khi đó áp dụng công thức vừa chứng minh ta có

\(F(x) = \int {\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} dx = \ln \left| {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right| + c = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) + c.\)

Chọn A.

Câu 7: Cho F(x) là một nguyên hàm của \(f(x) = \frac{{\tan x}}{{\cos x\sqrt {1 + a{{\cos }^2}x} }}\), biết F(0)=0;\(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1\). Tính \(F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) - F\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) ?

A. \(\sqrt 5  - \sqrt 3 \).

B. \(\sqrt 5  - 1\).

C. \(\sqrt 3  + \sqrt 5 \).

D. \(\sqrt 5  - \sqrt 2 \)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}\int_0^{\frac{\pi }{4}} f (x)dx = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\tan x}}{{\cos x\sqrt {1 + a{{\cos }^2}x} }}} dx\\ = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x\sqrt {{{\tan }^2}x + 1 + a} }}} dx\\ = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{2\sqrt {{{\tan }^2}x + 1 + a} }}} d\sqrt {{{\tan }^2}x + 1 + a} \end{array}\)

\( \Rightarrow \sqrt {{{\tan }^2}\frac{\pi }{4} + 1 + a}  - \sqrt {{{\tan }^2}0 + 1 + a}  = \sqrt 3  - \sqrt 2 .\)

\( \Rightarrow \sqrt {a + 2}  = \sqrt {a + 1}  + \sqrt 3  - \sqrt 2 \)

\( \Rightarrow a + 2 = a + 1 + 2\sqrt {a + 1} (\sqrt 3  - \sqrt 2 ) + 5 - 2\sqrt 6 \)

 \( \Rightarrow \frac{{3 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 3  - \sqrt 2 }} = \sqrt {a + 1}  \Rightarrow a = 1\)

Do đó

 \(\begin{array}{l}F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) - F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\tan x}}{{\cos x\sqrt {1 + {{\cos }^2}x} }}} dx\\ = \sqrt {{{\tan }^2}\frac{\pi }{3} + 2}  - \sqrt {{{\tan }^2}\frac{\pi }{4} + 2} \\ = \sqrt 5  - \sqrt 3 \end{array}\).

Chọn A.