Hình học 12: Khối đa diện và thể tích khối đa diện

Quang Trung Ngày: 08-03-2024 Lớp 12

Tải xuống 65 542 4

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Hình học 12: Khối đa diện và thể tích khối đa diện, tài liệu bao gồm 65 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tóm tắt tài liệu

Phần 1: Tự luận

Phần 2: Trắc nghiệm

Chuyên đề

Hình học không gian

I. Quan hệ song song

1. Hai đường thẳng song song

a) Định nghĩa: Hai đường thẳng được gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung.

$a / / b \Leftrightarrow \{\begin{cases} a, b \subset (α) \\ a \cap b = ○ \end{cases}$

b) Tính chất

Định lí. (về giao tuyến ba mặt phẳng_

Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

$\{\begin{cases} (α) = (β) \neq (γ) \\ (α) \cap (β) = a \\ (α) \cap (γ) = b \\ (β) \cap (γ) = c \end{cases} \Rightarrow [\begin{array}{l} a, b, c d o n g q u i \\ a / / b / / c \end{array}$

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

$\left\{ \begin{array}{l}(\alpha ) \ne (\beta )\\(\alpha ) \cap (\beta ) = d\,\,(neu\,\,co)\\a \subset (\alpha ),b \subset (\beta )\\a//b\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}d//a//b\\d \equiv a(d \equiv b)\end{array} \right.$

Định lí. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

$\{\begin{cases} a \equiv b \\ a / / c, b / / c \end{cases} \Rightarrow a / / b$

2. Đường thẳng song song với mặt phẳng

a) Định nghĩa: Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung: $d / / (α) \Leftrightarrow d \cap (α) = ○$

b) Các tính chất

Định lí 1. Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng $(\alpha )$ và d song song với đường thẳng d’ và cắt ($\alpha $) thì d song song với ($\alpha $)

$\begin{array}{l} d \subset (α) \\ d / / d' \\ d' \subset (α) \end{array}\} \Rightarrow d / / (α)$

Định lí 2. Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng ($\alpha $). Nếu mặt phẳng $(\beta )$ chứa d và cắt $(\alpha )$ theo giao tuyến d’ thì d’ song song với d:

$\left. \begin{array}{l}d//(\alpha )\\(\beta ) \supset d\\(\beta ) \cap (\alpha )\end{array} \right\} \Rightarrow d//d'$

Hệ quả 1. Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.

Hệ quả 2. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

$\left. \begin{array}{l}(\alpha )//d\\(\beta )//d\\(\alpha ) \cap (\beta ) = d'\end{array} \right\} \Rightarrow d'//d$

Định lí 3. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

3. Hai mặt phẳng song song

a) Định nghĩa: Hia mặt phẳng gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.

$(α) / / (β) \Leftrightarrow (α) \cap (β) = ○$

b) Các tính chất

Định lí. Nếu mặt phẳng $(\alpha )$ chứa hai đường thẳng cắt nhau a,b và a,b cùng song với mặt phẳng ($\beta $) thì ($\alpha )$ song song với $(\beta )$

$\left. \begin{array}{l}a \subset (\alpha ),b \subset (\alpha )\\a \cap b = M\\a//(\beta ),b//(\beta )\end{array} \right\} \Rightarrow (\alpha )//(\beta )$

Hệ quả. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

$\begin{array}{l} (α) \equiv (β) \\ (α) / / (γ) \\ (β) / / (γ) \end{array}\} \Rightarrow (α) / / (β)$

Định lí. Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

$\left. \begin{array}{l}(\alpha )//(\beta )\\(\gamma ) \cap (\alpha ) = a\\(\gamma ) \cap (\beta ) = b\end{array} \right\} \Rightarrow a//b$

4. Chứng minh quan hệ song song
a) Chứng minh hai đường thẳng song song
Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:

Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng ( như tính chất đường trung bình, định lí Talet đảo,…)

Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba.

Áp dụng các định lí về giao tuyến song song.

b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Để chứng minh $d//(\alpha )$, ta chứng minh d không nằm trong $(\alpha )$và song song với một đường thẳng d’ nào đó nằm trong $(\alpha )$.

c) Chứng minh hai mặt phẳng song song

Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia.

II. Quan hệ vuông góc

1. Hai đường thẳng vuông góc

a) Định nghĩa: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90⁰.

$a \bot \Leftrightarrow (\widehat {a,b}) = {90^0}$

b) Tính chất

Giả sử $\overrightarrow u $là VTCP của b. Khi đó$a \bot b \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v = 0$

$\left\{ \begin{array}{l}b//c\\a \bot c\end{array} \right. \Rightarrow a \bot b$

2. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc

a) Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$ nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng $(\alpha )$ $d \bot (\alpha ) \Leftrightarrow d \bot a,\forall a \subset (\alpha )$

b) Tính chất

Điều kiện để đường thẳng vuông góc mặt phẳng: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

$\left\{ \begin{array}{l}a,b \subset (\alpha ),a \cap b = O\\d \bot a,d \bot b\end{array} \right. \Rightarrow d \bot (\alpha )$

$\left\{ \begin{array}{l}a//b\\(\alpha ) \bot a\end{array} \right. \Rightarrow (\alpha ) \bot b$

$\{\begin{cases} a \neq b \\ a ⊥ (α), b ⊥ (α) \end{cases} \Rightarrow a / / b$

$\left\{ \begin{array}{l}(\alpha ) \bot (\beta )\\a \bot (\alpha )\end{array} \right. \Rightarrow a \bot (\beta )$

$\{\begin{cases} (α) \equiv (β) \\ (α) ⊥ a, (β) ⊥ a \end{cases} \Rightarrow (α) ⊥ (β)$

$\left\{ \begin{array}{l}a//\left( \alpha \right)\\b \bot (\alpha )\end{array} \right. \Rightarrow b \bot a$

$\left\{ \begin{array}{l}a \not\subset (\alpha )\\a \bot b,\left( \alpha \right) \bot b\end{array} \right. \Rightarrow a//\left( \alpha \right)$

Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó.

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Định lí ba đường vuông góc

Cho $a ⊥ (P), b \subset (P), a'$ là hình chiếu của a trên (P). Khi đó $b \bot a \Leftrightarrow b \bot a'$

3. Hai mặt phẳng vuông góc

a) Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc hai mặt phẳng đó là góc vuông.

$\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right) \Leftrightarrow (\widehat {\left( \alpha \right),\left( \beta \right))} = {90^0}$

b) Tính chất

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

$\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right) \supset a\\a \bot \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)$

$\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right),\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = c\\a \subset \left( \alpha \right),a \bot c\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( \beta \right)$

$\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\\A \in \left( \alpha \right)\\a \supset A,a \bot \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \subset \left( \alpha \right)$

$\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = d\\\left( \alpha \right) \bot \left( \gamma \right)\\\left( \alpha \right) \bot \left( \gamma \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( \gamma \right)$

III. Góc – Khoảng cách

1. Góc

a) Góc giữa hai đường thẳng: Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b

$\left\{ \begin{array}{l}a'//a\\b'//b\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {(a;b)} = \widehat {(a';b')}$. Lưu ý: ${0^0} \le \widehat {(a;b)} \le {90^0}$

b) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng:

Nếu $d \bot \left( \alpha \right)$thì $\widehat {(d;\left( \alpha \right))} = {90^0}$

Nếu \ $d ⊥ (P)$ thì $\widehat {(d;\left( \alpha \right))} = \widehat {(d;d')}$ với d’ là hình chiếu của d trên $\left( \alpha \right)$

Lưu ý: ${0^0} \le (\widehat {d,\left( \alpha \right))} \le {90^0}$

c) Góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng. $\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( \alpha \right)\\b \bot \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow (\widehat {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)}) = (\widehat {a,b})$

Hoặc là góc giữa hai đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm

Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau

Khi hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$và $\left( \beta \right)$cắt nhau theo một giao tuyến là $\Delta $, để tính góc giữa chúng, ta chỉ việc xét một mặt phẳng $\left( \gamma \right)$vuông góc với $\Delta $, lần lượt cắt $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ theo các giao tuyến a, b.

Lúc đó góc $\left( {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right) = \left( {a,b} \right)$

Nghĩa là: $\left. \begin{array}{l}\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = \Delta \\\left( \gamma \right) \bot \Delta \\\left( \gamma \right) \cap \left( \alpha \right) = a\\\left( \gamma \right) \cap \left( \beta \right) = b\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right) = \left( {a,b} \right)$

Giả sử $\left( P \right) \cap \left( Q \right) = c$. Từ $I \in c,$dựng: $\left. \begin{array}{l}a \subset \left( \alpha \right),a \bot c\\a \subset \left( \beta \right),b \bot c\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {\widehat {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)}} \right) = \left( {\widehat {a,b}} \right)$

Lưu ý: ${0^0} \le \left( {\widehat {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)}} \right) \le {90^0}$

d) Diện tích hình chiếu của một đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác H trong $\left( \alpha \right)$.S’ là diện tích của hình chiếu H′ của H
trên $\left( \beta \right),\varphi = \left( {\widehat {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)}} \right)$. Khi đó $S' = S.\cos \varphi $

2. Khoảng cách
a) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng).
b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng.
c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng:

Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với đường thẳng thứ nhất.

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

IV. Một số công thức trong hình học phẳng

1. Hệ thức lượng trong tam giác:

a) Cho $\Delta ABC$ vuông tại A, có đường cao AH.

AB² + AC² =BC²

AB²=BC.BH

AC² = BC.CH

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}$

AB=BC.sinC= BC. cos B

AB= AC. tan C= AC. cot B

b) Cho $\Delta ABC$có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là m_a, m_b, m_c bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p. Định lí cosin:

a²= b² +c² – 2bc cos A; b² = c² +a² – 2ca cos B;

c² = a² +b² – 2ac cos C

Định lí sin: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$

Công thức độ dài trung tuyến:

$m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4};m_b^2 = \frac{{{c^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4};m_c^2 = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4}$

2. Các công thức tính diện tích:
a) Tam giác:

$S = \frac{1}{2}a.{h_a} = \frac{1}{2}b.{h_b} = \frac{1}{2}c.{h_c}$

$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca.\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C$

$S = \frac{{abc}}{{4R}}$

S=pr

$S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} $

$\Delta ABC$vuông tại A: $S = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.BC.AH$

$\Delta ABC$đều, cạnh a: $S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4},$đường cao $AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

b) Hình vuông: S=a² ( a: cạnh hình vuông)

c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)
d) Hình bình hành: S = đáy × cao = $AB.AD.\sin \widehat {BAD}$

e) Hình thoi: $S = AB.AD.\sin \widehat {BAD} = \frac{1}{2}.AC.BD$

f) Hình thang: $S = \frac{1}{2}(a + b).h$( a,b: hai đáy, h: chiều cao)