Bài tập về Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên có đáp án

Quý Lê Xuân Ngày: 23-08-2024 Lớp 12

Tải xuống 9 7.6 K 41

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên Toán lớp 12, tài liệu bao gồm 9 trang có phương pháp giải chi tiết và bài tập có đáp án (có lời giải), giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi THPT môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Tài liệu Bài tập Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên có đáp án gồm các nội dung chính sau:

A. Phương phương giải

- Gồm phương pháp giải Bài tập Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên.

B. Bài tập minh họa

- Gồm 13 bài tập có đáp án và lời giải chi tiết giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các dạng Bài tập Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

Bài tập Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên có đáp án (ảnh 1)

KHOẢNG CÁCH TỪ CHÂN ĐƯỜNG CAO ĐẾN MẶT PHẲNG BÊN.

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Xét bài toán: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vuông góc lên mặt đáy là H. Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt bên $(S A B)$ .

Dựng $H E ⊥ A B, (E \in A B)$ ta có:

$\{\begin{cases} A B ⊥ S H \\ A B ⊥ H E \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ (S H E)$ .

Dựng $H F ⊥ S E, (F \in S E)$ . Từ $H F ⊥ A B$

Do đó $H F ⊥ (S A B) \Rightarrow d (H; (S A B)) = H F$ .

Cách tính: Xét tam giác SHE vuông tại H có đường cao HF ta có: $\frac{1}{H F^{2}} = \frac{1}{H E^{2}} + \frac{1}{S H^{2}}$

Hay $H F = \frac{H E . S H}{\sqrt{H E^{2} + S H^{2}}}$ .

B. BÀI TẬP MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B có $A B = a, B C = a \sqrt{3}$ . Biết $S A = 2 a$ và $S A ⊥ (A B C)$ .

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(S B C)$ .

b) Gọi M là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(S B M)$ .

Lời giải

a) Ta có : $A B ⊥ B C$ , mặt khác $B C ⊥ S A \Rightarrow B C ⊥ (S A B)$ .

Dựng $A H ⊥ S B \Rightarrow$ $\{\begin{cases} A H ⊥ S B \\ A H ⊥ B C \end{cases} \Rightarrow A H ⊥ (S B C)$ .

Khi đó $d (A; (S B C)) = A H = \frac{S A . A B}{\sqrt{S A^{2} + A B^{2}}} = \frac{2 a}{\sqrt{5}}$ .

b) Dựng $A E ⊥ B M, A F ⊥ S E$ ta có:

$\{\begin{cases} A E ⊥ B M \\ A E ⊥ B M \end{cases} \Rightarrow B M ⊥ (S A E) \Rightarrow B M ⊥ AF$ .

Khi đó: $\{\begin{cases} A F ⊥ S E \\ A F ⊥ B M \end{cases} \Rightarrow A F ⊥ (S B M)$ .

Ta có: $A B = a, A C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = 2 a$ . Do BM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $B M = \frac{1}{2} A C = A M = A B = a \Rightarrow Δ A B M$ đều cạnh $\Rightarrow A E = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Khi đó $d (A; (S B M)) = \frac{A E . S A}{\sqrt{A E^{2} + S A^{2}}} = \frac{2 a \sqrt{57}}{19}$ .

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh $2 a$ , $S A ⊥ (A B C)$ . Đường thẳng SB tạo với đáy một góc $60 °$ .

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(S B C)$ .

b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(S C M)$ , với M là trung điểm của cạnh AB.

Lời giải

a) Do $S A ⊥ (A B C) \Rightarrow \hat{(S B; (A B C))} = \hat{S B A} = 60 °$ .

Do đó $S A = A B \tan 60 ° = 2 a \sqrt{3}$ .

Dựng $A E ⊥ B C, Δ A B C$ đều nên $\frac{A B \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}$ .

Dựng $A F ⊥ S E$ , mặt khác $\{\begin{cases} B C ⊥ S A \\ B C ⊥ A E \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ AF$ .

$\Rightarrow A F ⊥ (S B C) \Rightarrow d (A; (S B C)) = A F = \frac{S A . A E}{\sqrt{S A^{2} + A E^{2}}} = \frac{2 a \sqrt{21}}{7}$

b) Do M là trung điểm của AB nên $C M ⊥ A B$ .

Mặt khác $C M ⊥ S A \Rightarrow C M ⊥ (S A M)$ . Dựng $A H ⊥ S M \Rightarrow A H ⊥ (S M C)$ .

Khi đó $d (A; (S M C)) = \frac{S A . A M}{\sqrt{S A^{2} + A M^{2}}} = \frac{2 a}{\sqrt{5}}$ .

Ví dụ 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Biết $O A = a, O B = b, O C = c$ . Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng $(A B C)$ .

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho biết $S B = 3 a, A B = 4 a, B C = 2 a$ . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng $(S A C)$ .

A. $\frac{12 a \sqrt{61}}{61}$ B. $\frac{4 a}{5}$ C. $\frac{12 a \sqrt{29}}{29}$ D. $\frac{3 a \sqrt{14}}{14}$

Lời giải

Ta có: BS, BA, BC đôi một vuông góc với nhau nên ta có:

$\frac{1}{d^{2} (B; (S A C))} = \frac{1}{S B^{2}} + \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} = \frac{1}{9 a^{2}} + \frac{1}{16 a^{2}} + \frac{1}{4 a^{2}} = \frac{61}{144 a^{2}}$

Do đó $d (B; (S A C)) = \frac{12 a \sqrt{61}}{61}$ .

Chọn A.

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và AB = a, $B C = a \sqrt{3}$ . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của cạnh AC. Biết SH = a, tính khoảng cách từ H đến các mặt phẳng (SAB) và (SAC).

Lời giải

Bài tập về Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên có đáp án (ảnh 2)