Tìm giá trị của x để biểu thức đạt giá trị nguyên 2024 đầy đủ, chi tiết

Quý Lê Xuân Ngày: 10-09-2024 Lớp 9

Tải xuống 6 4.6 K 35

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập bộ bài tập Tìm giá trị của x để biểu thức đạt giá trị nguyên, tài liệu bao gồm 6 trang, tuyển chọn bài tập Tìm giá trị của x để biểu thức đạt giá trị nguyên đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải chi tiết và bài tập, giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN X ĐỂ BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN

A. Phương pháp giải

a) Tìm x nguyên để biểu thức $A = \frac{f (x)}{g (x)}$ nguyên.

Bước 1. Tách A thành dạng $A = h (x) + \frac{m}{g (x)}$

trong đó h(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên, m là nguyên.

Bước 2: A nguyên $\Leftrightarrow \frac{m}{g (x)}$ nguyên $\Leftrightarrow g (x) \in Ö (m)$ .

Bước 3. Với mỗi giá trị của g(x), tìm x tương ứng và kết luận.

b) Tìm x để biểu thức A nguyên (Sử dụng phương pháp kẹp).

Bước 1: Áp dụng các bất đẳng thức để tìm hai số m, M sao cho m < A < M.

Bước 2: Tìm các giá trị nguyên trong khoảng từ m đến M.

Với mỗi trường hợp, tìm giá trị của x và kết luận.

Lưu ý: Đối chiếu điều kiện xác định của biểu thức.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho các biểu thức $M = (\frac{x - 3 \sqrt{x}}{x - 9} - 1) : (\frac{9 - x}{x + \sqrt{x} - 6} - \frac{\sqrt{x} - 3}{2 - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 3})$ :

và $N = \frac{4 \sqrt{x} - 8}{\sqrt{x} + 3}$ với $x \geq 0; x \neq 4; x \neq 9$

1. Rút gọn biểu thức

2. Tim x để $| M | > M$

3. Dặt $Q = M . N$ , tìm các giá trị của x để biểu thức Q có giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Rút gọn biều thức

$M = (\frac{x - 3 \sqrt{x}}{x - 9} - 1) : (\frac{9 - x}{x + \sqrt{x} - 6} - \frac{\sqrt{x} - 3}{2 - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 3})$

$M = \frac{- 3 (\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)} : \frac{9 - x + (\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3) - {(\sqrt{x} - 2)}^{2}}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 3)}$

$M = \frac{- 3}{\sqrt{x} + 3} \cdot \frac{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 3)}{- {(\sqrt{x} - 2)}^{2}}$

$M = \frac{3}{\sqrt{x} - 2}$

Ví dụ 2: Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức Dạng bài tập Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên cực hay | Chuyên đề Toán 9 cũng đạt giá trị nguyên?

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định: x ≥ 0; x ≠ 1 .

Ta có:

Dạng bài tập Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên cực hay | Chuyên đề Toán 9

⇔ √x - 1 ∈ Ư(2) = {-2; -1; 1; 2}

Ta có bảng sau:

Dạng bài tập Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên cực hay | Chuyên đề Toán 9

Vậy với x ∈ {0; 4; 9} thì biểu thức A đạt giá trị nguyên.

Ví dụ 3: Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên

a, $\frac{2}{{x - 1}}$ b, $\frac{{x - 2}}{{x - 1}}$ c, $\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$

Lời giải:

Bài toán thuộc vào dạng 1: tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên. Cách làm cụ thể cho từng bài như sau:

a, $\frac{2}{{x - 1}}$ có điều kiện x ≠ 1

Để $\frac{2}{{x - 1}}$ nhận giá trị nguyên thì $2 \vdots \left( {x - 1} \right)$ ⇔ x - 1 ∈ Ư(2) = {± 1; ± 2}

Ta có bảng:

x - 1	-2	-1	1	2
x	-1 (thỏa mãn)	0 (thỏa mãn)	2 (thỏa mãn)	3 (thỏa mãn)

Vậy với x ∈ {- 1; 0; 2; 3} thì biểu thức $\frac{2}{{x - 1}}$ nhận giá trị nguyên

b, $\frac{{x - 2}}{{x - 1}}$ có điều kiện x ≠ 1

Ta có: $\frac{{x - 2}}{{x - 1}} = \frac{{x - 1 - 1}}{{x - 1}} = \frac{{x - 1}}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - 1}} = 1 - \frac{1}{{x - 1}}$

Để $\frac{{x - 2}}{{x - 1}}$ nhận giá trị nguyên thì $1 \vdots \left( {x - 1} \right)$ ⇔ x - 1 ∈ Ư(1) = {± 1}

Ta có bảng:

x - 1	-1	1
x	0 (thỏa mãn)	2

Vậy với x ∈ {0; 2} thì biểu thức $\frac{{x - 2}}{{x - 1}}$ nhận giá trị nguyên

c, $\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$ có điều kiện là x ≥ 0

$\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{3\left( {\sqrt x + 1} \right) - 3}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{3}{{\sqrt x + 1}} = 3 - \frac{3}{{\sqrt x + 1}}$

Để $\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$ nhận giá trị nguyên thì $3 \vdots \left( {\sqrt x + 1} \right) \Leftrightarrow \sqrt x + 1 \in U\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}$

Ta có bảng:

$\sqrt x + 1$	-3	-1	1	3
$\sqrt x$	-4 (loại)	-2 (loại)	0	2
x			0 (thỏa mãn)	4 (thỏa mãn)

Vậy với x ∈ {0; 4} thì biểu thức $\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$ nhận giá trị nguyên

C. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức Dạng bài tập Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên cực hay | Chuyên đề Toán 9 nguyên.

Hướng dẫn giải:

Đkxđ: x ≠ -1.

Ta có:

Dạng bài tập Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên cực hay | Chuyên đề Toán 9

⇔ x + 1 ∈ Ư(2) = {-2; -1; 1; 2}

⇔ x ∈ {-3; -2; 0; 1}.

Vậy với x ∈ {-3; -2; 0; 1} thì biểu thức A nguyên.

Bài 2: Tìm x để biểu thức Dạng bài tập Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên cực hay | Chuyên đề Toán 9 đạt giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải:

Đkxđ: x ≥ 0.

Ta có: Dạng bài tập Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên cực hay | Chuyên đề Toán 9

Ta có: Dạng bài tập Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên cực hay | Chuyên đề Toán 9 với mọi x

⇒ Dạng bài tập Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên cực hay | Chuyên đề Toán 9

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

Dạng bài tập Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên cực hay | Chuyên đề Toán 9

P đạt giá trị nguyên ⇔ P = 1

Dạng bài tập Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên cực hay | Chuyên đề Toán 9

Vậy với Dạng bài tập Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên cực hay | Chuyên đề Toán 9 thì biểu thức P đạt giá trị nguyên.

Bài 3: Tìm giá trị của x để các biểu thức dưới đây nhận giá trị nguyên

a, $\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}}$ b, $\frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}$

Lời giải:

Bài toán thuộc vào dạng 2: tìm các giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên. Cách làm cụ thể cho từng bài như sau:

a, $\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}}$ có điều kiện là x ≥ 0

Có $x \ge 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\sqrt x \ge 0\\ x + 3 \ge 3 > 0 \end{array} \right.$ . Suy ra ta có $\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}} \ge 0\forall x \ge 0$ (1)

Lại có $\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}} = \frac{2}{{\sqrt x + \dfrac{3}{{\sqrt x }}}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho $x \ge 0$ có $\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} \ge 2.\sqrt {\sqrt x .\frac{3}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 3$

$\Rightarrow \frac{2}{{\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }}}} \le \frac{2}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $0 \le \frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}} \le \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ mà biểu thức nhận giá trị nguyên nên $\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}} = 0$

Giải phương trình tính được x = 0

Vậy với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị nguyên

b, $\frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}$ có điều kiện là x ≥ 0

Có $x \ge 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\sqrt x \ge 0\\ x + \sqrt x + 1 \ge 0 \end{array} \right.\forall x \ge 0$ (1)

Lại có $\frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} = \frac{2}{{\sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x }}}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho $x \ge 0$ có

$\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} \ge 2 \Rightarrow \sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} + 1 \ge 3 \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x }}}} \le \frac{2}{3}$ (2)

Từ (1) va (2) ta có $0 \le \frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} \le \frac{2}{3}$ mà biểu thức nhận giá trị nguyên nên $\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}} = 0$ . Giải phương trình được x = 0

Vậy với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị nguyên

Bài 4: Cho biểu thức $A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x - 24}}{{x - 9}};B = \frac{7}{{\sqrt x - 8}}$ với x ≥ 0 và x ≠ 9

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm các số nguyên x để M = A. B đạt giá trị nguyên.

Lời giải:

a) Rút gọn biểu thức ta được kết quả: $A = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}$

b) Ta có:

$M = A.B = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}.\frac{7}{{\sqrt x + 8}} = \frac{7}{{\sqrt x + 3}} \Rightarrow 0 < M \leqslant \frac{7}{3}$

Vậy các giá trị nguyên của M có thể đạt được là 1 và 2

Với M = 1 ta có:

$\frac{7}{{\sqrt x + 3}} = 1 \Rightarrow \sqrt x + 3 = 7 \Rightarrow x = 16\left( {tm} \right)$

Với M = 2 ta có:

$\frac{7}{{\sqrt x + 3}} = 2 \Rightarrow \sqrt x + 3 = \frac{7}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{4}\left( {tm} \right)$

Vậy biểu thức M = A. B nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi x = 16 hoặc x = 1/4.

Bài 5: Cho biểu thức: $A = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{x\sqrt x + x + \sqrt x }} + \frac{{1 + 2x - 2\sqrt x }}{{{x^2} - \sqrt x }}$ (điều kiện $x > 0,x \ne 1$ )

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị là số nguyên.

Lời giải:

a) Học sinh thực hiện rút gọn biểu thức, ta có kết quả: $A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}}$

b) Học sinh tham khảo một trong các cách làm dưới đây:

Cách 1: Với $x > 0,x \ne 1$ ta có: $x + \sqrt x + 1 > \sqrt x + 1 > 1$

Vậy 0 < A $= \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} < \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 1}} < 2$

Vì A nguyên nên A = 1 $\Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} = 1$ => x = 1 (Không thỏa mãn)

Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giá trị A là một số nguyên.

Cách 2: Dùng miền giá trị

$A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} \Leftrightarrow Ax + \left( {A - 1} \right)\sqrt x + A - 2 = 0$

Trường hợp 1: Nếu A = 0 $\sqrt x = - 2 \Rightarrow x \in \emptyset$

Trường hợp 2: Nếu A khác 0

$\begin{matrix} \Rightarrow \Delta = {\left( {A - 1} \right)^2} - 4A\left( {A - 2} \right) = - 3{A^2} + 6A + 1 \geqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {A^2} - 2A - \dfrac{1}{3} \leqslant 0 \Leftrightarrow {A^2} - 2A + 1 \leqslant \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow {\left( {A - 1} \right)^2} \leqslant \dfrac{4}{3} \hfill \\ \Rightarrow A \in \left\{ {1;2} \right\} \hfill \\ A \in \mathbb{Z},A > 0 \hfill \\ \end{matrix}$

Với A = 1 => x = 1 (Loại)

Với A = 2 $\Rightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} = 2$ => x = 0 (Loại)

Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giá trị A là một số nguyên.

Bài 6: Giá trị nào của x dưới đây không làm cho biểu thức Dạng bài tập Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên cực hay | Chuyên đề Toán 9 nguyên.

A. 1/4

B. 4

C. 2

D. 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Bài 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức Dạng bài tập Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên cực hay | Chuyên đề Toán 9 nguyên?

A. 3

B. 4

C. 6

D. 8

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Bài 8: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức Dạng bài tập Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên cực hay | Chuyên đề Toán 9 nguyên?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Bài 9: Với tất cả các số nguyên x, giá trị nguyên lớn nhất của biểu thức Dạng bài tập Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên cực hay | Chuyên đề Toán 9 là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Bài 10: Có bao nhiêu giá trị của x để biểu thức Dạng bài tập Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên cực hay | Chuyên đề Toán 9 nguyên?

A. 2

B. Vô số

C. 3

D. 1

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

D. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức dưới đây nhận giá trị nguyên

a, $\frac{2}{{x - 1}}$ b, $\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}}$ c, $\frac{{x + 5}}{x}$

d, $\frac{{{x^2} - 3}}{{x - 2}}$ e, $\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}}$ f, $\frac{7}{{\sqrt x + 3}}$

Bài 2: Tìm các giá trị của x để biểu thức dưới đây nhận giá trị nguyên:

a, $\frac{{7\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 2}}$ b, $\frac{{15\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}$ c, $\frac{{3\sqrt x }}{{x + 5\sqrt x + 9}}$

Bài 3: Cho hai biểu thức $A = \frac{{2\sqrt x }}{{3 + \sqrt x }}$ và $B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 5}}$ với x ≥ 0; x ≠ 25.

1) Rút gọn B.

2) Đặt P = A + B. Tìm x nguyên để P nhận giá trị nguyên.

Bài 4: Cho biểu thức $P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{6\sqrt x - 4}}{{x - 1}}$ với x ≥ 0; x ≠ 1.

1) Rút gọn P.

2) Tìm x để P = -1.

3) Tìm x nguyên để P nhận giá trị nguyên.

Bài 5: Cho biểu thức:

$A = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}};B = \frac{{x - 2}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{2}{{\sqrt x }} + \frac{4}{{x - 2\sqrt x }};\left( {x > 0;x \ne 4} \right)$

a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

b. Rút gọn B

c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để C = A.B nhận giá trị nguyên.

Bài 6: Cho hai biểu thức:

$A = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}};B = \frac{4}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{2x - \sqrt x + 13}}{{x - 9}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}$

(với x ≥ 0; x ≠ 9)

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4.

b) Đặt P = A/B. Chứng minh rằng $P = \frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 3}}$

c) Tính giá trị của x nguyên nhỏ nhất để biểu thức P có giá trị nguyên.

Bài 7: Cho các biểu thức:

$A = \frac{{3\sqrt x - 21}}{{x - 9}};B = \frac{2}{{\sqrt x - 3}}$ (với x ≥ 0; x ≠ 9)

a) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 16

b) Rút gọn biểu thức M = A + B

c) Tìm tất cả các số nguyên x để M có giá trị là số nguyên.

Bài 8: Cho biểu thức $B = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - 3}} - \frac{3}{{\sqrt a + 3}} - \frac{{a - 2}}{{a - 9}}$ với $a \geqslant 0;a \ne 9$

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tìm các số nguyên a để B nhận giá trị nguyên.

Bài 9: Cho biểu thức $A=\left(\frac{3x+\sqrt{16x}-7}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}-\frac{\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}-1}\right):\left(2-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right)$

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm x để A = -6

c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A đạt giá trị nguyên.

Tài liệu có 6 trang. Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống

Từ khóa :

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Tìm kiếm