Tailieumoi.vn xin giới thiệu bộ đề thi học kì 1 môn Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều năm 2024 – 2025. Tài liệu gồm 20 đề thi chuẩn bám sát chương trình học và đáp án chi tiết, được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên THCS dày dặn kinh nghiệm sẽ giúp các em ôn tập kiến thức và rèn luyện kĩ năng nhằm đạt điểm cao trong bài thi học kì 1 Toán 10. Mời các bạn cùng đón xem:

Đề thi Học kì 1 Toán lớp 10 có đáp án năm 2024 - Kết nối tri thức

Đề thi Học kì 1 Toán lớp 10 có đáp án năm 2024 - Đề 1

Phòng Giáo dục và Đào tạo ...

Đề thi Học kì 1 - Kết nối tri thức

Năm học 2024 - 2025

Môn: Toán lớp 10

Thời gian làm bài: 90 phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 1)

I. Trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào không phải là mệnh đề?

A. 2 là số nguyên âm;

B. Bạn có thích học môn Toán không?

C. 13 là số nguyên tố;               

D. Số 15 chia hết cho 2.

Câu 2. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập con của tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5}?

A. A₁ = {1; 6};

B. A₂ = {0; 1; 3};  

C. A₃ = {4; 5};      

D. A₃ = {0}.

Câu 3. Cho các tập hợp A = {x ∈ ℝ| – 5 ≤ x < 1} và  B = {x ∈ ℝ| – 3 < x ≤ 3}. Tìm tập hợp A ∪ B.

A.  A ∪ B = [– 5; 1);              

B. A ∪ B = [– 5; 3];               

C. A ∪ B = (– 3; 1);               

D. A ∪ B = (– 3; 3].

Câu 4. Trong các cặp số sau, cặp nào không là nghiệm của hệ bất phương trình 

A. (0; 0);

B. (1; 1);

C. (– 1; 1);

D. (– 1; – 1).

Câu 5. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. sin (180° – α) = – sin α;

B. cos (180° – α) = – cos α;

C. tan (180° – α) = tan α;

D. cot (180° – α) = cot α.

Câu 6. Tam giác ABC có BC = 1, AC = 3,$\hat{C}$= ${60}^o$. Tính độ dài cạnh AB.

A.$\sqrt{13}$ ;                                 

B.$\frac{\sqrt{46}}{2}$ ;                                

C.$\frac{\sqrt{34}}{2}$ ;                                

D. $\sqrt{7}$ .

Câu 7. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O như hình vẽ bên. Vectơ $\overrightarrow{OB}$ cùng phương với vectơ nào sau đây?

A. $\overrightarrow{OC}$ ;                                  

B. $\overrightarrow{BC}$;                                   

C. $\overrightarrow{BE}$;                                   

D. $\overrightarrow{OA}$.

Câu 8. Mệnh đề nào sau đây sai:

Câu 9. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, AD = 3 cm. Tính $\left|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}\right|$.

A. 5 cm;

B. 7 cm;

C. 9 cm;

D. 11 cm.

Câu 10. Cho G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm M bất kỳ. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Câu 11. Cho ba điểm A, B, C như hình vẽ:

Đẳng thức nào sau đây đúng?

Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $\overrightarrow{u}=-2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$.Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$

A.$\overrightarrow{u}=\left(2;-1\right)$;

B.$\overrightarrow{u}=\left(-2;1\right)$ ;

C. $\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)$;

D.$\overrightarrow{u}=\left(-2;-1\right)$.

Câu 13. Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây cùng phương?

Câu 14. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khác vectơ-không. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 15. Miền nghiệm của bất phương trình 2x – y + 6 ≤ 0 được biểu diễn là miền màu xanh trong hình ảnh nào sau đây ?

A.

B.

C.

D.

Câu 16. Cho tam giác ABC cân tại A có $\widehat{A }$=${120}^o$. Khi đó sin B bằng:

A. $\frac{1}{2}$;

B.-$\frac{1}{2}$;

C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$;

D.-$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Câu 17. Cho góc α với 0° < α < 180°. Tính giá trị của cosα, biết $\tan \alpha =-2\sqrt{2}$ .

Câu 18. Cho hình thoi ABCD. Vectơ – không có điểm đầu là A thì nó có điểm cuối là:

A. Điểm A;

B. Điểm B;

C. Điểm C;

D. Điểm D.

Câu 19. Cho tam giác ABC đều. Tính góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$.

A. 90°;

B. 135°;

C. 90°;

D. 60°.

Câu 20. Cho tam giác ABC có: AB = 3, BC = 4, AC = 5. Tính $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ .

A. 1;

B. 0;

C. 12;

D. 20.

Câu 21. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác $\overrightarrow{0}$. Biết: $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=30°$,$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\sqrt{3}$ và $\left|\overrightarrow{b}\right|=2$. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$.

A. 1;

B. 2;

C. $\frac{1}{2}$;

D. $\frac{1}{4}$.

Câu 22. Một lực $\overrightarrow{F}$ có độ lớn $60\sqrt{3}$ N tác động vào điểm M làm vật di chuyển theo phương nằm ngang từ M đến điểm N cách M một khoảng 10 m. Biết góc giữa $\overrightarrow{F}$ và phương thẳng đứng là 30°. Tính công sinh bởi lực F.

A. 900 J;

B. 800 J;

C. 600 J;

D. $300\sqrt{3}$J.

Câu 23. Cho giá trị gần đúng của $\sqrt{3}$ là 1,73. Sai số tuyệt đối của số gần đúng 1,73 là:

A. 0,003;

B. 0,03;

C. 0,002;

D. 0,02.

Câu 24. Viết số quy tròn của số gần đúng b biết $\overline{b}$ = 12 409,12 ± 0,5.

A. 12 410;

B. 12 409,1;

C. 12 000;

D. 12 409.

Câu 25. Tính số trung bình của mẫu số liệu sau:

2; 5; 8; 7; 10; 20; 11.

A. 8;

B. 9;

C. 10;

D. 11.

Câu 26. Tìm trung vị của mẫu số liệu sau:

0; 1; 2; 3; 5; 9; 10.

A. 3;

B. 5;

C. 0;

D. 2.

Câu 27. Số lượng học sinh đăng kí thi môn cầu lông các lớp từ lớp 6 đến lớp 9 được thống kê trong bảng dưới đây:

Lớp	6	7	8	9
Số lượng	20	25	22	15

Tìm mốt trong mẫu số liệu trên.

A. 6;

B. 7;

C. 8;

D. 9.

Câu 28. Cho mẫu số liệu sau:

5; 2; 9; 10; 15; 5; 20.

Tứ phân vị Q₁, Q₂, Q₃ của mẫu số liệu trên lần lượt là:

A. 2; 5; 9;

B. 5; 9; 15;

C. 10; 5; 15;

D. 2; 9; 15.

Câu 29. Cho mẫu số liệu sau:

12; 5; 8; 11; 6; 20; 22.

Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên.

A.16;

B. 17;

C. 18;

D. 19.

Câu 30. Khoảng tứ phân vị ∆_Q là

A. Q₂ – Q₁;

B. Q₃ – Q₁;

C. Q₃ – Q₂;

D. (Q₁ + Q₃) : 2.

Câu 31. Cho mẫu số liệu sau:

5; 6; 12; 2; 5; 17; 23; 15; 10.

Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

A. 8;

B. 9;

C. 10;

D. 11.

Câu 32. Cho mẫu số liệu sau:

10; 3; 6; 9; 15.

Tìm độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên (làm tròn đến hàng phần trăm).

A. 3,03;

B. 4,03;

C. 5,03;

D. 6,03.

Câu 33. Cho tam giác đều ABC cạnh 4. Vectơ $-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ có độ dài là.

A. 2;

B. 4;

C. 3;

D. 6.

Câu 34. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho AB = 3AM, CD = 2CN. Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{AN}$qua các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(2; 1), B(1; 10) và điểm C(m; 2m – 17). Tất cả các giá trị của tham số m sao cho AB vuông góc với OC là

A. m = 9;

B. m = ±9;

C. m = – 9;

D. m = 1.

II. Tự luận (3 điểm)

Bài 1. Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn núi. Biết rằng độ cao AB = 70 m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30°, phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15°30'. Ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất là bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Bài 2. Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng a. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm N, M, P sao cho $BN=\frac{a}{3},CM=\frac{2a}{3},AP=x\left(0<x<a\right)$. Tìm giá trị của x theo a để đường thẳng AN vuông góc với đường thẳng PM.

Bài 3. Một cảnh sát giao thông ghi lại tốc độ (đơn vị: km/h) của 25 xe qua trạm như sau:

Tìm các số liệu bất thường (nếu có) trong mẫu số liệu trên.

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1

I. Bảng đáp án trắc nghiệm

II. Hướng dẫn giải chi tiết trắc nghiệm

Câu 1.

Đáp án đúng là: B

+ “2 là số nguyên âm” là một mệnh đề vì đây là một khẳng định sai.

+ “Bạn có thích học môn Toán không?” không là một mệnh đề vì đây là câu nghi vấn, không phải là một khẳng định có tính đúng sai.

+ “13 là số nguyên tố” là một mệnh đề vì đây là một khẳng định đúng.

+ “Số 15 chia hết cho 2” là một mệnh đề vì đây là một khẳng định sai.

Câu 2.

Đáp án đúng là: C

Quan sát các tập hợp ở các đáp án đã cho, ta thấy chỉ có tập A₃ = {4; 5} là tập con của tập A, do các phần tử của A₃ đều là phần tử của A.

Câu 3.

Đáp án đúng là: B

Ta có: A = {x ∈ ℝ| – 5 ≤ x < 1} = [– 5; 1)

B = {x ∈ ℝ| – 3 < x ≤ 3} = (– 3; 3]

A ∪ B = {x ∈ A hoặc x ∈ B} = [– 5; 1) ∪ (– 3; 3] = [– 5; 3].

Câu 4.

Đáp án đúng là: C

Lần lượt thay các cặp số vào các bất phương trình của hệ bất phương trình đã cho, cặp số nào không thỏa mãn hệ thì cặp số đó không là nghiệm của hệ đã cho.

+) Với cặp số (0; 0), thay vào hệ bất phương trình ta được $\left\{\begin{array}{c}0+0-2\le 0\\ 2.0-3.0+2>0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}-2\le 0\\ 2>0\end{array}\right.$(luôn đúng). Vậy (0; 0) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Với cặp số (1; 1), thay vào hệ bất phương trình ta được $\left\{\begin{array}{c}1+1-2\le 0\\ 2.1-3.1+2>0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}0\le 0\\ 1>0\end{array}\right.$(luôn đúng). Vậy (1; 1) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Với cặp số (– 1; 1), thay vào hệ bất phương trình ta được $\left\{\begin{array}{c}\left(-1\right)+1-2\le 0\\ 2.\left(-1\right)-3.1+2>0\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}-2\le 0\\ -3>0\end{array}\right.$(vô lý). Vậy (– 1; 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Với cặp số (– 1; – 1), thay vào hệ bất phương trình ta được $\left\{\begin{array}{c}\left(-1\right)+\left(-1\right)-2\le 0\\ 2.\left(-1\right)-3.\left(-1\right)+2>0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}-4\le 0\\ 3>0\end{array}\right.$ (luôn đúng). Vậy (– 1; – 1) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Câu 5.

Đáp án đúng là: B

Hai góc bù nhau có sin bằng nhau; có côsin, tang, côtang đối nhau.

Do đó, trong các đẳng thức đã cho, đẳng thức đúng là: cos (180° – α) = – cos α.

Câu 6.

Đáp án đúng là: D

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

AB² = AC² + BC² – 2 . AC. BC . cos C = 3² + 1² – 2 . 3 . 1 . cos 60° = 7.

Suy ra, AB = $\sqrt{7}$ . 

Câu 7.

Đáp án đúng là: C

Hai vectơ cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Ta có, giá của vectơ $\overrightarrow{OB}$ là đường thẳng OB hay chính là đường thẳng BE.

Giá của vectơ $\overrightarrow{OC}$là đường thẳng OC hay chính là đường thẳng FC.  

Giá của vectơ $\overrightarrow{BC}$ là đường thẳng BC.

Giá của vectơ $\overrightarrow{BE}$ là đường thẳng BE.

Giá của vectơ $\overrightarrow{OA}$ là đường thẳng OA hay chính là đường thẳng AD.

Do đó, từ hình vẽ ta thấy giá của vectơ $\overrightarrow{OB}$ và giá của vectơ $\overrightarrow{BE}$trùng nhau, vậy hai vectơ  $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{BE}$ cùng phương.

Câu 8.

Đáp án đúng là: C

+) Theo quy tắc ba điểm, với ba điểm M, N, P ta có: $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}$. Do đó đáp án A đúng.

+) Theo quy tắc hiệu, với ba điểm M, N, P ta có: $\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{PN}$. Do đó đáp án B đúng.

+) Ta có: $\overrightarrow{IN}+\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{MN}$ (tính chất giao hoán và quy tắc ba điểm). Do đó đáp án D đúng.

Vậy đáp án C sai.

Câu 9.

Đáp án đúng là: A

Do ABCD là hình chữ nhật nên ABCD cũng là hình bình hành, áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}$ .

Suy ra,$\left|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|=BD$.

Theo định lí Pythagore trong tam giác vuông ABD, ta có:

BD² = AB² + AD² = 4² + 3² = 25, suy ra BD = 5 (cm).

Vậy $\left|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|=BD$= 5 cm.

Câu 10.

Đáp án đúng là: C

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Với điểm M bất kỳ, theo quy tắc ba điểm ta có:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)$.

$=3\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{0}=3\overrightarrow{MG}$

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ .

Câu 11.

Đáp án đúng là: D

Từ hình vẽ ta thấy, MB = 3MA, MB = $\frac{3}{4}$AB, AB = 4MA.

Vì điểm M thuộc đường thẳng AB và M nằm giữa A và B nên ta có:

+ Vectơ $\overrightarrow{MA}$  và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng.

+ Vectơ $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng.

+ Vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{MA}$ ngược hướng.

Từ đó ta có:$\overrightarrow{MB}=-3\overrightarrow{MA}$ ;$\overrightarrow{MB}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$ ; $\overrightarrow{AB}=-4\overrightarrow{MA}$. Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 12.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow{u}=-2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$ = -2(0; 1) + (0; 1) = (-2.1 + 0; -2.0 + 1) = (-2; 1).

Vậy $\overrightarrow{u}$ = (-2; 1)

Câu 13.

Đáp án đúng là: C

+ Ta có vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;0\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(0;1\right)$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox và Oy nên hai vectơ này vuông góc với nhau, do đó chúng không cùng phương.

+ Ta có:$\frac{3}{6}\ne \frac{-2}{4}$, do đó hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(3;-2\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(6;4\right)$không cùng phương.

+ Ta có: $\frac{2}{-6}=\frac{3}{-9}\left(=\frac{-1}{3}\right)$, do đó hai vectơ $\overrightarrow{i}=\left(2;3\right)$ và $\overrightarrow{j}=\left(-6;-9\right)$cùng phương.

+ Ta có:$\frac{2}{-6}\ne \frac{3}{9}$, do đó hai vectơ $\overrightarrow{c}=\left(2;3\right)$ và $\overrightarrow{d}=\left(-6;9\right)$ không cùng phương.

Câu 14.

Đáp án đúng là: B

Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không bằng tích độ dài hai vectơ với côsin góc giữa hai vectơ đó.

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

Câu 15.

Đáp án đúng là: A

– Trên mặt phẳng Oxy vẽ đường thẳng Δ: 2x – y + 6 = 0 đi qua hai điểm A(1; 8) và B(0; 6).

– Xét gốc tọa độ O(0; 0). Ta thấy O không nằm trên đường thẳng Δ và 2.0 – 0 + 6 > 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ Δ (kể cả bờ), không chứa gốc tọa độ O (miền màu xanh trong hình ảnh).

Câu 16.

Đáp án đúng là: A

Vì tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{B}=\widehat{C}=\frac{180°-\widehat{A}}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$.

Do đó sin B = sin 30° = $\frac{1}{2}$.

Câu 17.

Đáp án đúng là: A

Ta có ${\tan }^2\alpha +1=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$

$\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{{\tan }^2\alpha +1}=\frac{1}{{\left(-2\sqrt{2}\right)}^2+1}=\frac{1}{9}$$\Rightarrow \cos \alpha =\pm \frac{1}{3}$.

Vì 0° < α < 180° ⇒ sinα > 0 mà $\tan \alpha =-2\sqrt{2}$ < 0 nên cosα < 0.

Do đó $\cos \alpha =-\frac{1}{3}$.

Câu 18.

Đáp án đúng là: A

Cho hình thoi ABCD. Vectơ – không có điểm đầu là A thì nó có điểm cuối là điểm A.

Ta có: $\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$.

Câu 19.

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC đều có: $\widehat{BAC}=60°$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\widehat{BAC}=60°$.

Câu 20.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC có:

AB² + BC² = 3² + 4² = 25

AC² = 5²  = 25

Do đó, AC² = AB² + BC²

Vậy tam giác ABC vuông tại B (theo định lí Pythagore đảo).

⇒ BA ⊥ BC

$\Rightarrow \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=0$.

Câu 21.

Đáp án đúng là: A

Câu 22.

Đáp án đúng là: D

Góc giữa lực là hướng dịch chuyển của vật là: $\left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{MN}\right)=90°-30°=60°$.

Công sinh bởi lực F là: $A=\left|\overrightarrow{F}\right|.MN.cos60°=60\sqrt{3}\mathrm{.10.}\frac{1}{2}=300\sqrt{3}$(J).

Câu 23.

Đáp án đúng là: C

Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được: $\sqrt{3}=1,\mathrm{732050808....}$

Ta có: ∆_1,73 = |1,73 – $\sqrt{3}$ | < |1,73 – 1,732| = 0,002.

Do đó sai số tuyệt đối của số gần đúng 1,73 không vượt quá 0,002.

Câu 24.

Đáp án đúng là: D

Hàng lớn nhất của độ chính xác d = 0,5 là hàng phần mười nên ta quy tròn b đến hàng đơn vị.

Vậy số quy tròn của b là 12 409.

Câu 25.

Đáp án đúng là: B

Ta có cỡ mẫu của mẫu số liệu trên là n = 7.

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline{x}=\frac{2+5+8+7+10+20+11}{7}=9$.

Câu 26.

Đáp án đúng là: A

Vì cỡ mẫu là n = 7 nên trung vị của mẫu số liệu trên là số liệu thứ 4. Tức là

M_e = 3.

Câu 27.

Đáp án đúng là: B

Ta thấy số lượng học sinh đăng kí thi môn cầu lông của lớp 7 lớn hơn số lượng học sinh đăng kí thi môn cầu lông ở các lớp 6, 8, 9.

Vậy M₀ = 7.

Câu 28.

Đáp án đúng là: B

Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:

2; 5; 5; 9; 10; 15; 20.

+ Vì cỡ mẫu là n = 7 nên giá trị tứ phân vị thứ hai là số liệu thứ 4 nên Q₂ = 9.

+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 5; 5.

Do đó Q₁ = 5.

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 15; 20.

Do đó Q₃ = 15.

Vậy tứ phân vị Q₁, Q₂, Q₃ của mẫu số liệu trên lần lượt là 5; 9; 15.

Câu 29.

Đáp án đúng là: B

Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm ta có:

5; 6; 8; 11; 12; 20; 22.

+ Giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu trên là 5.

+ Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu trên là 22.

Ta có: R = 22 – 5 = 17.

Do đó khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là 17.

Câu 30.

Đáp án đúng là: B

Khoảng tứ phân vị ∆_Q = Q₃ – Q₁.

Câu 31.

Đáp án đúng là: D

Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm ta có:

2; 5; 5; 6; 10; 12; 15; 17; 23.

+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 5; 5; 6.

Do đó Q₁ = $\frac{5+5}{2}=5$.

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 12; 15; 17; 23.

Do đó Q₃ =$\frac{15+17}{2}=16$.

Ta có: ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 16 – 5 = 11

Do đó khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là 11.

Câu 32.

Đáp án đúng là: B

Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

$\overline{x}=\frac{10+3+6+9+15}{5}=8,6$.

Công thức tính phương sai của một mẫu số liệu là:

S² = $\frac{1}{n}\left[{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right]$

Thay số ta có:

S² = $\frac{1}{5}$[(10 – 8,6)² + (3 – 8,6)² + (6 – 8,6)² + (9 – 8,6)²  + (15 – 8,6)² ] = 16,24.

Do đó phương sai của mẫu số liệu trên là 16,24.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là S = $\sqrt{S^2}$= $\sqrt{16,24}$≈ 4,03.

Câu 33.

Đáp án đúng là: A

Do tam giác ABC đều cạnh 4 nên: AB = AC = BC = 4    

⇒$\left|\overrightarrow{BC}\right|=BC$= 4

Ta có: $\left|-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right|=\left|-\frac{1}{2}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|=\frac{1}{2}.4=2$.

Câu 34.

Đáp án đúng là: D

Ta có: CD = 2CN và N nằm trên cạnh CD nên $\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$.

Mà ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$.

Do đó,$\overrightarrow{CN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Theo quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Câu 35.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(-1;9\right)$, $\overrightarrow{OC}=\left(m;2m-17\right)$.

AB ⊥ OC $\iff \overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{OC}\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OC}=0$

⇔ (– 1) . m + 9(2m – 17) = 0

⇔ 17m – 153 = 0

⇔ m = 9.

Vậy với m = 9 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

III. Hướng dẫn giải tự luận

Bài 1.

Gọi CH là chiều cao của ngọn núi.

Theo đề ta có: $AB=70m,\widehat{CAH}=30°,\widehat{ABC}=90°+15°30\text{'}=105,5°$.

Suy ra $\widehat{BAC}=90°-30°=60°$;

$\widehat{ACB}=180°-\widehat{ABC}-\widehat{BAC}=180°-105,5°-60°=14,5°$.

Theo định lý sin trong tam giác ABC, ta có: $\frac{AB}{\sin \widehat{BCA}}=\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}\iff AC=\frac{AB.\sin \widehat{ABC}}{\sin \widehat{BCA}}=\frac{70.\sin 105,5°}{\sin 14,5°}\approx 269,41m$.

∆ACH vuông tại H nên ta có:

$CH=\text{A}C.\sin \widehat{CAH}=269,41.\sin 30°\approx 134,71m$.

Vậy ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất xấp xỉ bằng 134,71 m.

Bài 2.

Do BN = $\frac{a}{3}$và BC = a nên BN = $\frac{1}{3}$BC.

Mà N thuộc cạnh BC nên vectơ $\overrightarrow{BN}$ và $\overrightarrow{BC}$cùng hướng. Do đó, $\overrightarrow{BN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ .

Ta có $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ .

Lại có: CM = $\frac{2a}{3}$, mà AC = a và M thuộc cạnh AC nên AM = $a-\frac{2a}{3}=\frac{a}{3}=\frac{1}{3}AC$.

Suy ra $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Và AP = x (0 < x < a), AB = a, P thuộc cạnh AB nên AP = $\frac{x}{a}AB$.

Suy ra $\overrightarrow{AP}=\frac{x}{a}\overrightarrow{AB}$.

Do đó, ta có: $\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{x}{a}\overrightarrow{AB}$.

Khi đó, $AN\perp PM\iff \overrightarrow{AN}\cdot \overrightarrow{PM}=0$

⇔ 4a² – 15xa = 0

⇔ a(4a – 15x) = 0

⇔ 4a – 15x = 0 (do a > 0).

⇔ $x=\frac{4a}{15}$.

Vậy $x=\frac{4a}{15}$  thì đường thẳng AN vuông góc với đường thẳng PM.

Bài 3.

Sắp xếp các số liệu đã cho theo thứ tự không giảm ta được:

Mẫu số liệu có n = 25, do đó trung vị là số liệu thứ 13 trong dãy nên M_e = 55.

Từ đó suy ra tứ phân vị thứ hai là Q₂ = 55.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu gồm 12 số liệu sau:

20      25      30      30      35      40      40      41      41      52      52      52

Do đó, Q₁ = (40 + 40) : 2 = 40.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu gồm 12 số liệu sau:

55      55      60      60      60      60      60      62      70      80      80      90

Do đó, Q₃ = (60 + 60) : 2 = 60.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 60 – 40 = 20.

Ta có: Q₁ – 1,5 . ∆_Q = 40 – 1,5 . 20 = 10; Q₃ + 1,5 . ∆_Q = 60 + 1,5 . 20 = 90.

Trong mẫu số liệu đã cho không có giá trị nào bé hơn 10 và lớn hơn 90 nên mẫu số liệu không có giá trị bất thường.

Đề thi Học kì 1 Toán lớp 10 có đáp án năm 2024 - Đề 2

Phòng Giáo dục và Đào tạo ...

Đề thi Học kì 1 - Kết nối tri thức

Năm học 2024 - 2025

Môn: Toán lớp 10

Thời gian làm bài: 90 phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 2)

I. Trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1. Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề?

A. Có ai ở trong đó không?;

B. Bạn có thấy đói không?;

C. Đừng lại gần tôi!;

D. Số 25 không phải là số nguyên tố.

Câu 2. Cho tập hợp A = {2; 4; 6; 8}. Số tập con của tập hợp A là?

A. 15;

B. 16;

C. 17;

D. 18.

Câu 3. Cho tập hợp K = [1 ; 7) \ (– 3 ; 5). Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. K = [1; 7);

B. K = (– 3; 7);

C. K = [1; 5);

D. K = [5; 7).

Câu 4. Miền nghiệm của bất phương trình x – y + 5 ≥ 0 được biểu diễn là miền màu xanh trong hình ảnh nào sau đây ?

A.

B.

C.

D.

Câu 5. Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{\begin{array}{l}2x-1>0\\ x+5y<4\end{array}\right.$ ?

A. (3; 5);

B. (1; –1);

C. (2; 5);

D. (3; 4).

Câu 6. Chọn phương án SAI trong các phương án dưới đây?

A. sin 0° = 0;

B. cos 90° = 0;

C. cos 0° = 1;

D. sin 90° = 0.

Câu 7. Cho β là góc tù. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?

A. cos β > 0;

B. sin β > 0;

C. tan β > 0;

D. cot β > 0.

Câu 8. Cho góc α thỏa mãn $\sin \alpha =\frac{12}{13}$ và 90° < α < 180°. Tính cosα.

Câu 9. Cho tam giác ABC biết $\frac{\sin B}{\sin C}=\sqrt{3}$ và $AB=2\sqrt{2}$. Tính AC.

Câu 10. Cho hình bình hành ABCD có K là giao điểm hai đường chéo như hình vẽ.

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Câu 11. Cho hình bình hành ABCD có AB = 4 cm. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{CD}$.

A. 1 cm;

B. 3 cm;

C. 4 cm;

D. 2 cm

Câu 12. Cho các điểm A, B, C phân biệt. Đẳng thức nào sau đây đúng ?

Câu 13. Cho hình bình hành ABCD với giao điểm hai đường chéo là I. Khi đó:

Câu 14. Cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Tính $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}\right|$.

A. $a\sqrt{2}$;

B. a;

C. $2a\sqrt{2}$;

D. 2a.

Câu 15. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là trung điểm của EF. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Câu 16. Cho tam giác ABC. Đặt  $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$. M thuộc cạnh AB sao cho AB = 3AM, N thuộc tia BC và CN = 2BC. Phân tích $\overrightarrow{AN}$ qua các vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ta được biểu thức là:

Câu 17. Cho các vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương và $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$ , $\overrightarrow{y}=2\overrightarrow{a}+6\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{z}=-3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Câu 18. Cho tam giác ABC có điểm I nằm trên cạnh AC sao cho $\overrightarrow{BI}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$, J là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{BJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ . Ba điểm nào sau đây thẳng hàng ?

A. I, J, C;

B. I, J, B;

C. I, A, B;

D. I, G, B.

Câu 19. Cho tam giác ABC vuông tại A có: AB = 4, BC = 8. Tính $\left(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA}\right)$.

A. 90°;

B. 60°;

C. 30°;

D. 45°.

Câu 20. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác $\overrightarrow{0}$. Biết: $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=30°$, $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\sqrt{3}$ và $\left|\overrightarrow{b}\right|=2$. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$.

A. 1;

B. 2;

C. $\frac{1}{2}$;

D. $\frac{1}{4}$.

Câu 21. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.

A. a;

B. 0;

C. a²;

D. $\frac{1}{2}{a}^2$.

Câu 22. Cho hình thang ABCD với hai đáy là AB, CD có: $\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right).\overrightarrow{AC}=0$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. BD vuông góc với AC;

B. AB vuông góc với AC;

C. AB vuông góc với DC;

D. BD vuông góc với DC.

Câu 23. Cho giá trị gần đúng của $\frac{6}{17}$ là 0,35. Sai số tuyệt đối của số gần đúng 0,35 là:

A. 0,003;

B. 0,03;

C. 0,0029;

D. 0,02.

Câu 24. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng​​ a = 15,318​​ biết​​  $\overline{a}$ = 15,318 ± 0,05.

A.​​ 15,3;  

B.​​ 15,31; 

C.​​ 15,32; 

D.​​ 15,4.

Câu 25. Số lượng khách từ ngày thứ nhất đến ngày thứ 10 của một nhà hàng mới mở được thống kê ở bảng sau:

Tính số khách trung bình từ bảng số liệu trên.

A. 9,2;

B. 10,2;

C. 11,2;

D. 12,2.

Câu 26. Tìm trung vị của mẫu số liệu sau:

1; 0; 5; 10; 2; 3; 9.

A. 3;

B. 5;

C. 0;

D. 2.

Câu 27. Cho mẫu số liệu sau:

1; 9; 12; 10; 2; 9; 15; 11; 20; 17.

Tứ phân vị Q₁, Q₂, Q₃ của mẫu số liệu trên lần lượt là:

A. 9; 11; 15;

B. 2; 10,5; 15;

C. 10; 12,5; 15;

D. 9; 10,5; 15.

Câu 28. Cho mẫu số liệu sau:

2; 5; 9; 12; 15; 5; 20.

Tìm mốt của mẫu số liệu trên.

A. 5;

B. 9;

C. 12;

D. 20.

Câu 29. Cho mẫu số liệu sau:

15; 26; 5; 2; 9; 5; 28; 30; 2; 26.

Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên.

A.26;

B. 28;

C. 30;

D. 32.

Câu 30. Cho mẫu số liệu sau:

2; 9; 12; 16; 3; 5; 12; 33; 24; 27.

Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

A. 17;

B. 18;

C. 19;

D. 20.

Câu 31. Cho mẫu số liệu sau:

12; 2; 6; 13; 9; 21.

Tìm phương sai của mẫu số liệu trên (làm tròn đến hàng phần trăm).

A. 35,85;

B. 34,85;

C. 34,58;

D. 35,58.

Câu 32. Cho mẫu số liệu sau:

24; 16; 12; 5; 9; 3.

Tìm độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên (làm tròn đến hàng phần trăm).

A. 7,04;

B. 8,04;

C. 7,55;

D. 8,55.

Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 2) và B(3; – 1). Độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$ là:

A. 5;

B. 3;

C. $\sqrt{13}$;

D. $\sqrt{15}$ .

Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ, cho $\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j}$. Khi đó tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là

Câu 35. Góc giữa vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;-1\right)$ và vectơ $\overrightarrow{b}=\left(-2;0\right)$ có số đo bằng:

A. 90°;

B. 0°;

C. 135°;

D. 45°.

II. Tự luận (3 điểm)

Bài 1. Để làm đường điện dây cao thế ở Hà Giang từ vị trí bản A đến bản B, người ta phải tránh một ngọn núi nên người ta phải nối thẳng đường dây từ bản A đến bản C dài 12 km rồi nối từ bản C đến bản B dài 8 km. Qua đo đạc người ta xác định được $\widehat{ABC}=65°$ . Hỏi so với việc nối thẳng từ bản A đến bản B, người ta tốn thêm bao nhiêu tiền, biết mỗi km dây có giá 150 000 đồng.

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = 2a. Gọi M là trung điểm của BC, điểm D thuộc AC sao cho $AD=\frac{a}{2}$. Chứng minh rằng BD vuông góc với AM.

Bài 3. Cho mẫu số liệu sau đây:

2; 5; 1; 2; 8; 5; 45; 3.

Tìm giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu trên?

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 2

I. Bảng đáp án trắc nghiệm

II. Hướng dẫn giải chi tiết trắc nghiệm

Câu 1.

Đáp án đúng là: D

A. Câu trên không phải là mệnh đề vì nó là câu hỏi và không khẳng định tính đúng sai.

B. Câu trên không phải là mệnh đề vì nó là câu hỏi và không khẳng định tính đúng sai.

C. Câu trên không phải là mệnh đề vì nó là câu cảm thán và không khẳng định tính đúng sai.

D. Câu này là mệnh đề vì nó khẳng định tính đúng sai.

Câu 2.

Đáp án đúng là: B

Cách 1:

Ta có:

+ Các tập con có 0 phần tử: ∅.

+ Các tập con có 1 phần tử: {2}, {4}, {6}, {8}.

+ Các tập con có 2 phần tử: {2; 4}, {2; 6}, {2; 8}, {4; 6}, {4; 8}, {6; 8}.

+ Các tập con có 3 phần tử: {2; 4; 6}, {2; 4; 8}, {2; 6; 8}, {4; 6; 8}.

+ Các tập con có 4 phần tử: {2; 4; 6; 8}.

Vậy tập hợp A có 16 tập con.

Cách 2: Tập hợp A có 4 phần tử nên số tập con của tập hợp A là 2⁴ = 16.

Câu 3.

Đáp án đúng là: D

Tập hợp K là tập hợp các phần tử thuộc [1; 7) nhưng không thuộc (– 3; 5).

Ta xác định tập hợp K bằng cách vẽ trục số như sau: Trên cùng một trục số, tô đậm khoảng [1; 7) và gạch bỏ khoảng (–3; 5), sau đó bỏ luôn các khoảng chưa được tô hoặc đánh dấu. Phần tô đậm không bị gạch bỏ chính là tập hợp K.

Vậy K = [1 ; 7) \ (– 3 ; 5) = [5 ; 7).

Câu 4.

Đáp án đúng là: A

– Trên mặt phẳng Oxy vẽ đường thẳng Δ: x – y + 5 = 0 đi qua hai điểm A(1; 6) và B(0; 5).

– Xét gốc tọa độ O(0; 0). Ta thấy O không nằm trên đường thẳng Δ và 0 – 0 + 5 ≥ 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có kể bờ Δ, chứa gốc tọa độ O (miền màu xanh trong hình ảnh).

Câu 5.

Đáp án đúng là: B

Xét từng phương trình của hệ $\left\{\begin{array}{l}2x-1>0\\ x+5y<4\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}2x-1>0\\ x+5y-4<0\end{array}\right.$ với cặp số (1; –1) ta có:

2.1 – 1 = 1 > 0

1 + 5.(–1) – 4 = –8 < 0

Do đó,  cặp số (1; –1) là một nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{\begin{array}{l}2x-1>0\\ x+5y<4\end{array}\right.$ .

Câu 6.

Đáp án đúng là: D

Ta có:

sin 0° = 0;

cos 90° = 0;

cos 0° = 1;

sin 90° = 1 nên đáp án D sai.

Câu 7.

Đáp án đúng là: B

Vì β là góc tù nên sin β > 0, cos β < 0 , tan β < 0, cot β < 0.

Vậy B đúng, A, C, D sai.

Câu 8.

Đáp án đúng là: C

Vì 90° < α < 180° nên cosα < 0.

Do đó $cos\alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-{\left(\frac{12}{13}\right)}^2}=-\sqrt{\frac{25}{169}}=-\frac{5}{13}$.

Câu 9.

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC, ta có

Câu 10.

Đáp án đúng là: C

 $\overrightarrow{KC}$ có giá là đường thẳng AC, hướng từ trái sang phải

$\overrightarrow{KA}$ có giá là đường thẳng AC, hướng từ phải sang trái

Do đó, $\overrightarrow{KC}$ và $\overrightarrow{KA}$ cùng phương ngược hướng.

Câu 11.

Đáp án đúng là: C

Xét hình bình hành ABCD có:

CD = AB = 4 cm.

Vậy $\left|\overrightarrow{CD}\right|=CD=4cm$.

Câu 12.

Đáp án đúng là: B

Áp dụng tính chất giao hoán và quy tắc ba điểm cho ba điểm A, C, B ta có:

Câu 13.

Đáp án đúng là: C

+) Ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\ne \overrightarrow{BI}$ nên A sai.

+) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{BD}$ (theo quy tắc hình bình hành) nên B sai.

+) Ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$

Mà $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$ (do ABCD là hình bình hành)

Vậy $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$. Nên C đúng.

+) Ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{0}$. Vậy D sai.

Câu 14.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (áp dụng quy tắc hình bình hành cho hình vuông ABCD).

Xét tam giác ADC vuông tại D

Áp dụng định lý Pythagore ta có:

AC² = AD² + DC² = (2a)² + (2a)² = 8a²  ⇒ AC = $2a\sqrt{2}$

Vậy $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}\right|=2a\sqrt{2}$.

Câu 15.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

Câu 16.

Đáp án đúng là: B

Theo đề bài: CN = 2BC nên $\overrightarrow{BN}=3\overrightarrow{BC}$

Ta có:

Câu 17.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

Vì – 2 < 0

Vậy $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{x}$ cùng phương, ngược hướng.

Câu 18.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow{BJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{BI}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\frac{3}{2}.\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{3}{2}.\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\right)=\frac{3}{2}\overrightarrow{BJ}$

Do đó, $\overrightarrow{BI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{BJ}$

Vậy B, I, J thẳng hàng.

Câu 19.

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

Câu 20.

Đáp án đúng là: A

Câu 21.

Đáp án đúng là: D

Do tam giác ABC đều nên:

Câu 22.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right).\overrightarrow{AC}=0\iff \overrightarrow{DB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{DB}\perp \overrightarrow{AC}$

Vậy BD vuông góc với AC.

Câu 23.

Đáp án đúng là: A

Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được:$\frac{6}{17}=0,\mathrm{3529411765....}$

Ta có: ∆_0,35 = |0,35 – $\frac{6}{17}$| < |0,35 – 0,353| = 0,003.

Do đó sai số tuyệt đối của số gần đúng 0,35 không vượt quá 0,003.

Câu 24.

Đáp án đúng là: A

Hàng lớn nhất của độ chính xác d = 0,05 là hàng phần trăm nên ta quy tròn a đến hàng phần mười.

Vậy số quy tròn của a là 15,3.

Câu 25.

Đáp án đúng là: C

Ta có cỡ mẫu của mẫu số liệu trên là n = 10.

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline{x}=\frac{11+9+7+5+15+20+9+6+17+13}{10}=11,2$.

Câu 26.

Đáp án đúng là: A

Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:

0; 1; 2; 3; 5; 9; 10.

Vì cỡ mẫu là n = 7 nên trung vị của mẫu số liệu trên là số liệu thứ 4. Tức là

M_e = 3.

Câu 27.

Đáp án đúng là: D

Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:

1; 2; 9; 9; 10; 11; 12; 15; 17; 20.

+ Vì cỡ mẫu là n = 10 nên giá trị tứ phân vị thứ hai là trung bình cộng của số liệu thứ 5 và 6.

Q₂ =$\frac{10+11}{2}$=10,5.

+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 2; 9; 9; 10.

Do đó Q₁ = 9.

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 11; 12; 15; 17; 20.

Do đó Q₃ = 15.

Vậy tứ phân vị Q₁, Q₂, Q₃ của mẫu số liệu trên lần lượt là 9; 10,5; 15.

Câu 28.

Đáp án đúng là: A

Ta thấy số 5 xuất hiện với tần số nhiều nhất trong mẫu số liệu trên (2 lần).

Vậy M₀ = 5.

Câu 29.

Đáp án đúng là: B

Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm ta có:

2; 2; 5; 5; 9; 15; 26; 26; 28; 30.

+ Giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu trên là 2.

+ Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu trên là 30.

Ta có : R = 30 – 2 = 28.

Do đó khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là 28.

Câu 30.

Đáp án đúng là: C

Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm ta có:

2; 3; 5; 9; 12; 12; 16; 24; 27; 33.

+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 3; 5; 9; 12.

Do đó Q₁ = 5.

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 12; 16; 24; 27; 33.

Do đó Q₃ = 24.

Ta có : ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 24 – 5 = 19.

Do đó khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là 19.

Câu 31.

Đáp án đúng là: D

Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

$\overline{x}=\frac{12+2+6+13+9+21}{6}=10,5$.

Công thức tính phương sai của một mẫu số liệu là:

S² = $\frac{1}{n}\left[{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right]$

Thay số ta có:

S² = $\frac{1}{6}$ [(12 – 10,5)² + (2 – 10,5)² + (6 – 10,5)² + (13 – 10,5)² + (9 – 10,5)² + (21 – 10,5)²] ≈ 35,58.

Do đó phương sai của mẫu số liệu trên là 35,58.

Câu 32.

Đáp án đúng là: A

Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

$\overline{x}=\frac{24+16+12+5+9+3}{6}=11,5$.

Công thức tính phương sai của một mẫu số liệu là:

S² = $\frac{1}{n}\left[{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right]$

Thay số ta có:

S² = $\frac{1}{6}$[(24 – 11,5)² + (16 – 11,5)² + (12 – 11,5)² + (5 – 11,5)² + (9 – 11,5)² + (3 – 11,5)²] ≈ 49,58.

Do đó phương sai của mẫu số liệu trên là 49,58.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là S =$\sqrt{S^2}$= $\sqrt{49,58}$ ≈ 7,04.

Câu 33.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(2;-3\right)$, suy ra $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{2^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{13}$.

Câu 34.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j}=3\overrightarrow{i}+\left(-5\right)\overrightarrow{j}$. Khi đó tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là $\overrightarrow{u}=\left(3;-5\right)$.

Câu 35.

Đáp án đúng là: C

III. Hướng dẫn giải tự luận

Bài 1.

Ta mô phỏng bài toán như hình vẽ sau:

Áp dụng định lí côsin ta có:

Do đó: AB = 13 km.

Ta có: AC + BC – AB = 12 + 8 – 13 = 7 (km)

Vậy số tiền phải tốn thêm 7 . 150 000 = 1 050 000 (đồng).

Bài 2.

Xét tam giác ABC vuông tại A

Có: AB⊥AC ⇔ $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$ ⇔ $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0$ vì D thuộc AC

Vì M là trung điểm của BC nên ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$

Bài 3.

Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm ta có:

1; 2; 2; 3; 5; 5; 8; 45.

+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 2; 2; 3.

Do đó Q₁ = $\frac{2+2}{2}=2$ .

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 5; 5; 8; 45.

Do đó Q₃ = $\frac{5+8}{2}=6,5$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu : ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 6,5 – 2 = 4,5.

Ta có:

+ Q₃ + 1,5∆_Q = 6,5 + 1,5.4,5 = 13,25

+ Q₁ – 1,5∆_Q = 2 – 1,5.4,5 = – 4,75

Vì 45 > Q₃ + 1,5∆_Q nên 45 là giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu trên.

Đề thi Học kì 1 Toán lớp 10 có đáp án năm 2024 - Đề 3

Phòng Giáo dục và Đào tạo ...

Đề thi Học kì 1 - Kết nối tri thức

Năm học 2024 - 2025

Môn: Toán lớp 10

Thời gian làm bài: 90 phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 3)

I. Trắc nghiệm (4 điểm)

Câu 1. Câu nào sau đây không phải là một mệnh đề?

A. “19 là số nguyên tố”;

B. “Tam giác vuông có một trung tuyến bằng nửa cạnh huyền”;

C. “Các em lớp 10D hãy cố gắng học tập thật tốt nhé!”;

D. “Mọi hình thoi đều nội tiếp được đường tròn”.

Câu 2. Cho tập A = {0; 1; 2} và tập B = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Có bao nhiêu tập hợp X thỏa mãn: A ⊂ X ⊂ B?

A. 7;

B. 6;

C. 9;

D. 8.

Câu 3. Cặp số (x; y) = (2021; 3)là một nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. – 2x + 3y – 1 > 0;

B. x – y < 0;

C. 4x ≤ 3y;

D. x – 3y + 7 ≥ 0.

Câu 4. Miền không bị gạch chéo (kể cả đường thẳng d₁ và d₂) là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào?

A. $\left(\begin{array}{c}x+y-1\ge 0\\ 2x-y+4\le 0\end{array}\right)$;

B. $\left(\begin{array}{c}x+y-1\ge 0\\ 2x-y+4\ge 0\end{array}\right)$;

C. $\left(\begin{array}{c}x+y-1\le 0\\ 2x-y+4\ge 0\end{array}\right)$;

D. $\left(\begin{array}{c}x+y-1\le 0\\ 2x-y+4\le 0\end{array}\right)$.

Câu 5. Cho góc α với 90° < α < 180°. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. sin α và cot α cùng dấu;

B. Tích sin α . cot α mang dấu âm;

C. Tích sin α . cos α mang dấu dương;

D. sin α và tan α cùng dấu.

Câu 6. Cho tam giác ABC có b = 7, c = 5, cos = $\frac{3}{5}$. Độ dài đường cao h_a của tam giác ABC là

A. $8\sqrt{3}$;

B. 8;

C. $\frac{7\sqrt{2}}{2}$;

D. $80\sqrt{3}$.

Câu 7. Cho hình vuông ABCD, câu nào sau đây là đúng?

A. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$;

B. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$;

C. $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$;

D. $\left(\overrightarrow{AD}\right)=\left(\overrightarrow{CB}\right)$.

Câu 8. Cho 4 điểm bất kỳ A, B, C, D. Đẳng thức nào sau đây là đúng:

A. $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CO}$;

B. $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$;

C. $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$;

D. $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{BA}$.

Câu 9.Cho tam giác OAB vuông cân tạiO với OA = OB = a. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{u}=\frac{21}{4}\overrightarrow{OA}-\frac{5}{2}\overrightarrow{OB}$ là:

A. $\frac{a\sqrt{140}}{4}$;

B. $\frac{a\sqrt{321}}{4}$;

C. $\frac{a\sqrt{520}}{4}$;

D. $\frac{a\sqrt{541}}{4}$.

Câu 10. Trong hệ tọa độ Oxy,cho A(5; 2), B(10; 8).Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$?

A. (15; 10);

B. (2; 4);

C. (5; 6);

D. (50; 16).

Câu 11. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ thỏa mãn $\left(\overrightarrow{a}\right)$ = 3, $\left(\overrightarrow{b}\right)$ = 2 và $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ = -3. Xác định góc α giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

A. α = 30°;

B. α = 45°;

C. α = 60°;

D. α = 120°.

Câu 12. Cho giá trị gần đúng của $\frac{8}{17}$ là 0,47. Sai số tuyệt đối của số 0,47 là

A. 0,001;

B. 0,002;

C. 0,003;

D. 0,004.

Câu 13. Số quy tròn của số a với độ chính xác d được cho sau đây $\overline{a}$ = 17 658 ± 16 là

A. 18 000;

B. 17 800;

C. 17 600;

D. 17 700.

Câu 14. Các giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu được gọi là

A. Mốt;

B. Số trung bình;

C. Số trung vị;

D. Độ lệch chuẩn.

Câu 15. Một tổ gồm 10 học sinh có điểm kiểm tra giữa học kì 1 môn toán như sau:

7; 5; 6; 6; 6; 8; 7; 5; 6; 9.

Tính điểm trung bình của tổ học sinh đó.

A. 7;

B. 8;

C. 7,3;

D. 7,5.

Câu 16. Cho bảng số liệu thống kê chiều cao của một nhóm học sinh như sau:

150

153

153

154

154

155

160

160

162

162

163

163

163

165

165

167

Số trung vị của bảng số liệu nói trên là

A. 161;

B. 154;

C. 163;

D. 156.

Câu 17. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. Phương sai luôn là một số không âm;

B. Phương sai là bình phương của độ lệch chuẩn;

C. Phương sai càng lớn thì độ phân tán quanh số trung bình càng lớn;

D. Phương sai luôn lớn hơn độ lệch chuẩn.

Câu 18. Cho mẫu số liệu thống kê:

135; 126; 176; 178; 111; 102; 167; 123; 124.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là

A. 76;

B. 77;

C. 78;

D. 79.

Câu 19. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ở Câu 18 là

A. 53,5;

B. 54,5;

C. 55,5;

D. 56,5.

Câu 20. Một mẫu số liệu có phương sai là 0,01. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

A. 0,0001;

B. 0,001;

C. 0,01;

D. 0,1.

II. Tự luận (6 điểm)

Bài 1. (1 điểm) Cho A = (– 3; 5], B = (– ∞; 2]. Tìm A ∩ B, A ∪ B, A \ B, C_ℝA.

Bài 2. (1 điểm) Khuôn viên của trường THPT An Nam có dạng hình tứ giác ABCD có kích thước các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là 6,67; 7,25; 6,1; 9,1 và $\hat{B}$ = 115° (xem hình dưới). Tính gần đúng diện tích khuôn viên đất đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Bài 3. (2 điểm) Cho ba điểm A($4\sqrt{3}$; -1), B(0; 3) và A($8\sqrt{3}$; 3).

a) Tìm đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD.

b) Tìm $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}$.

Bài 4. (2 điểm) Mẫu số liệu sau đây cho biết sản lượng lúa (đơn vị tạ) của 10 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích.

10,5 21,3 22,1 22,2 23,4 23,4 20,5 24,2 24,2 23,0

a) Tính số trung bình, trung vị, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

b) Tìm các giá trị bất thường (nếu có) của mẫu số liệu trên.

Đề thi Học kì 1 Toán lớp 10 có đáp án năm 2024 - Đề 4

Phòng Giáo dục và Đào tạo ...

Đề thi Học kì 1 - Kết nối tri thức

Năm học 2024 - 2025

Môn: Toán lớp 10

Thời gian làm bài: 90 phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 4)

I. Trắc nghiệm (5 điểm)

Câu 1. Phát biểu mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀n ∈ ℕ, n² – 5n + 9 ≠ 0”.

A. “∃n ∈ ℕ, n² – 5n + 9 ≤ 0”;

B. “∃n ∈ ℕ, n² – 5n + 9 ≥ 0”;

C. “∃n ∈ ℕ, n² – 5n + 9 = 0”;

D. “∃n ∈ ℕ, n² – 5n + 9 ≠ 0”.

Câu 2. Cho hai tập hợp A = (– 3; 7] và B = [5; 9). Tập hợp A ∩ B là

A. [5; 7];

B. (5; 7);

C. (– 3; 9);

D. [– 3; 9].

Câu 3. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn nào dưới đây có miền nghiệm như hình vẽ dưới đây? (kể cả đường thẳng)

A. x – 2y + 4 ≥ 0;

B. x + y – 3 < 3;

C. x + y – 3 > 0;

D. x – 2y + 4 ≤ 0.

Câu 4. Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ A, B, C, D ?

A. $\left(\begin{array}{c}y>0\\ 3x+2y<6\end{array}\right)$;

B. $\left(\begin{array}{c}y>0\\ 3x+2y<-6\end{array}\right)$;

C. $\left(\begin{array}{c}x>0\\ 3x+2y<6\end{array}\right)$;

D. $\left(\begin{array}{c}x>0\\ 3x+2y>-6\end{array}\right)$.

Câu 5. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Đặt p = $\frac{a+b+c}{2}$, S = $\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$. Gọi r, R lần lượt là bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây sai?

A. S = $\frac{abc}{4r}$;

B. S = pr;

C. S = $\frac{1}{2}$absinC;

D. S = $\frac{abc}{4R}$.

Câu 6. Cho sin α = $\frac{1}{3}$. Tính giá trị biểu thức P = 3sin² α + cos² α.

A. P = $\frac{9}{25}$;

B. P = $\frac{25}{9}$;

C. P = $\frac{11}{9}$;

D. P = $\frac{9}{11}$.

Câu 7. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy tìm các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của lục giác và tâm O sao cho bằng với $\overrightarrow{AB}$?

A. $\overrightarrow{FO},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{FD}$;

B. $\overrightarrow{FO},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{ED}$;

C. $\overrightarrow{BO},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{ED}$;

D. $\overrightarrow{FO},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{ED}$.

Câu 8. Cho Cho hình bình hành ABCD tâm O. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{0}$;

B. $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{0}$;

C. $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{CO}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$;

D. $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{0}$.

Câu 9.Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây là cùng phương?

A. $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$;

B. $\overrightarrow{u}=\frac{3}{5}\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{a}-\frac{3}{5}\overrightarrow{b}$;

C. $\overrightarrow{u}=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{a}-9\overrightarrow{b}$;

D. $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}-\frac{3}{2}\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{4}\overrightarrow{b}$.

Câu 10.Cho $\overrightarrow{a}$ = (3; -4), $\overrightarrow{b}$ = (-1; 2). Tìm tọa độ của $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$.

A. (– 4; 6);

B. (2; – 2);

C. (4; – 6);

D. (– 3; – 8).

Câu 11. Cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh lần lượt là A(2; 3), B(5; 4), C(2; 2). Tọa độ trọng tâm G của tam giác có tọa độ là

A. (3; 3);

B. (2; 2);

C. (1; 1);

D. (4; 4).

Câu 12.Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho $\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC}$. Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{AM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$;

B. $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$;

C. $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$;

D. $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$.

Câu 13. Cho đoạn thẳng AB, M là điểm thỏa $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. M là trung điểm AB ;

B. M trùng A;

C. M trùng B;

D. A là trung điểm MB.

Câu 14.Cho đường tròn tâm O. Từ điểm A nằm ngoài (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới (O). Xét mệnh đề:

(I) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$;

(II) $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OC}$;

(III) $\left(\overrightarrow{BO}\right)=\left(\overrightarrow{CO}\right)$.

Mệnh đề đúng là:

A. Chỉ (I);

B. (I) và (III);

C. (I), (II), (III);

D. Chỉ (III).

Câu 15. Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10. Diện tích của tam giác ABC bằng:

A. S = 16;

B. S = 24;

C. S = 48;

D. S = 84.

Câu 16. Cho tam giác ABC cân tại A, $\hat{A}$ = 120° và AB = a. Tính $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{CA}$.

A. $\frac{a^2}{2}$;

B. $-\frac{a^2}{2}$;

C. $\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$;

D. $-\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

Câu 17. Cho A(2; 5), B(1; 3), C(5; – 1). Tìm tọa độ điểm K sao cho $\overrightarrow{AK}=3\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{CK}$.

A. K(– 4; 5);

B. K(4; – 5);

C. K(4; 5);

D. K(– 4; – 5).

Câu 18. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có $\left(\overrightarrow{a}\right)$ = 4, $\left(\overrightarrow{b}\right)$ = 5 và $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = 120°. Tính $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$.

A. $\sqrt{21}$;

B. $\sqrt{61}$;

C. 21;

D. 61.

Câu 19. Cho giá trị gần đúng của $\frac{3}{7}$ là 0,429. Sai số tuyệt đối của số 0,429 là

A. 0,0001;

B. 0,0002;

C. 0,0004;

D. 0,0005.

Câu 20. Số quy tròn của số gần đúng a với độ chính xác d trong trường hợp $\overline{a}$ = 2,4653245 ± 0,006 là

A. 2,46;

B. 2,47;

C. 2,5;

D. 2,465.

Câu 21. Điểm kiểm tra môn Toán của 24 học sinh được ghi lại trong bảng sau:

Mốt của mấu số liệu trên là

A. 2;

B. 6;

C. 7;

D. 9.

Câu 22. Cho mẫu số liệu:

1 1 3 6 7 8 8 9 10

Số trung bình của mẫu số liệu trên gần nhất với số nào dưới đây?

A. 7,5;

B. 7;

C. 6,5;

D. 5,9.

Câu 23. Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ở Câu 22 là

A. 2;

B. 7;

C. 8,5;

D. 9.

Câu 24. Cho phương sai của mẫu số liệu bằng 4. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

A. 4;

B. 2;

C. 16;

D. 8.

Câu 25. Mẫu số liệu sau cho biết số ghế trống tại một rạp chiếu phim trong 10 ngày:

7 9 13 20 40 7 18 19 21 25

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là

A. 33;

B. 23;

C. 13;

D. 3.

II. Tự luận (5 điểm)

Bài 1. (1 điểm) Cho hai tập hợp A = (0; 3), B = (2; 4). Xác định A ∪ B, A ∩ B, A \ B và C_ℝA.

Bài 2. (1 điểm) Từ hai điểm A và B của một tòa nhà, người ta quan sát điểm pháo hoa nổ. Biết rằng AB = 120 m, phương nhìn AC tạo với phương ngang một góc 45°, phương nhìn BC tạo với phương ngang góc 15°30'.

Hỏi điểm pháo hoa nổ cao so với mặt đất bao nhiêu?

Bài 3. (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = 2a. Gọi M là trung điểm của BC, điểm D thuộc AC sao cho AD = $\frac{a}{2}$. Chứng minh rằng BD vuông góc với AM.

Bài 4. (2 điểm) Điểm kiểm tra môn Toán của hai bạn Trung và Long trong 6 lần thi thử được thống kê trong bảng dưới đây:

a) Tính điểm trung bình của mỗi bạn.

b) Sử dụng kiến thức về khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn xác định xem điểm bạn nào ổn định hơn?

Đề thi Học kì 1 Toán lớp 10 có đáp án năm 2024 - Đề 5

Phòng Giáo dục và Đào tạo ...

Đề thi Học kì 1 - Kết nối tri thức

Năm học 2024 - 2025

Môn: Toán lớp 10

Thời gian làm bài: 90 phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 1)

I. Trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1. Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề?

A. Có ai ở trong đó không?;

B. Bạn có thấy đói không?;

C. Đừng lại gần tôi!;

D. Số 25 không phải là số nguyên tố.

Câu 2. Cho tập hợp A = {2; 4; 6; 8}. Số tập con của tập hợp A là?

A. 15;

B. 16;

C. 17;

D. 18.

Câu 3. Cho tập hợp K = [1 ; 7) \ (– 3 ; 5). Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. K = [1; 7);

B. K = (– 3; 7);

C. K = [1; 5);

D. K = [5; 7).

Câu 4. Miền nghiệm của bất phương trình x – y + 5 ≥ 0 được biểu diễn là miền màu xanh trong hình ảnh nào sau đây ?

A.

B.

C.

D.

Câu 5. Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{\begin{array}{l}2x-1>0\\ x+5y<4\end{array}\right.$ ?

A. (3; 5);

B. (1; –1);

C. (2; 5);

D. (3; 4).

Câu 6. Chọn phương án SAI trong các phương án dưới đây?

A. sin 0° = 0;

B. cos 90° = 0;

C. cos 0° = 1;

D. sin 90° = 0.

Câu 7. Cho β là góc tù. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?

A. cos β > 0;

B. sin β > 0;

C. tan β > 0;

D. cot β > 0.

Câu 8. Cho góc α thỏa mãn $\sin \alpha =\frac{12}{13}$ và 90° < α < 180°. Tính cosα.

Câu 9. Cho tam giác ABC biết $\frac{\sin B}{\sin C}=\sqrt{3}$ và $AB=2\sqrt{2}$. Tính AC.

Câu 10. Cho hình bình hành ABCD có K là giao điểm hai đường chéo như hình vẽ.

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Câu 11. Cho hình bình hành ABCD có AB = 4 cm. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{CD}$.

A. 1 cm;

B. 3 cm;

C. 4 cm;

D. 2 cm

Câu 12. Cho các điểm A, B, C phân biệt. Đẳng thức nào sau đây đúng ?

Câu 13. Cho hình bình hành ABCD với giao điểm hai đường chéo là I. Khi đó:

Câu 14. Cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Tính $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}\right|$.

A. $a\sqrt{2}$;

B. a;

C. $2a\sqrt{2}$;

D. 2a.

Câu 15. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là trung điểm của EF. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Câu 16. Cho tam giác ABC. Đặt  $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$. M thuộc cạnh AB sao cho AB = 3AM, N thuộc tia BC và CN = 2BC. Phân tích $\overrightarrow{AN}$ qua các vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ta được biểu thức là:

Câu 17. Cho các vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương và $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$ , $\overrightarrow{y}=2\overrightarrow{a}+6\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{z}=-3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Câu 18. Cho tam giác ABC có điểm I nằm trên cạnh AC sao cho $\overrightarrow{BI}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$, J là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{BJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ . Ba điểm nào sau đây thẳng hàng ?

A. I, J, C;

B. I, J, B;

C. I, A, B;

D. I, G, B.

Câu 19. Cho tam giác ABC vuông tại A có: AB = 4, BC = 8. Tính $\left(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA}\right)$.

A. 90°;

B. 60°;

C. 30°;

D. 45°.

Câu 20. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác $\overrightarrow{0}$. Biết: $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=30°$, $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\sqrt{3}$ và $\left|\overrightarrow{b}\right|=2$. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$.

A. 1;

B. 2;

C. $\frac{1}{2}$;

D. $\frac{1}{4}$.

Câu 21. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.

A. a;

B. 0;

C. a²;

D. $\frac{1}{2}{a}^2$.

Câu 22. Cho hình thang ABCD với hai đáy là AB, CD có: $\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right).\overrightarrow{AC}=0$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. BD vuông góc với AC;

B. AB vuông góc với AC;

C. AB vuông góc với DC;

D. BD vuông góc với DC.

Câu 23. Cho giá trị gần đúng của $\frac{6}{17}$ là 0,35. Sai số tuyệt đối của số gần đúng 0,35 là:

A. 0,003;

B. 0,03;

C. 0,0029;

D. 0,02.

Câu 24. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng​​ a = 15,318​​ biết​​  $\overline{a}$ = 15,318 ± 0,05.

A.​​ 15,3;  

B.​​ 15,31; 

C.​​ 15,32; 

D.​​ 15,4.

Câu 25. Số lượng khách từ ngày thứ nhất đến ngày thứ 10 của một nhà hàng mới mở được thống kê ở bảng sau:

Tính số khách trung bình từ bảng số liệu trên.

A. 9,2;

B. 10,2;

C. 11,2;

D. 12,2.

Câu 26. Tìm trung vị của mẫu số liệu sau:

1; 0; 5; 10; 2; 3; 9.

A. 3;

B. 5;

C. 0;

D. 2.

Câu 27. Cho mẫu số liệu sau:

1; 9; 12; 10; 2; 9; 15; 11; 20; 17.

Tứ phân vị Q₁, Q₂, Q₃ của mẫu số liệu trên lần lượt là:

A. 9; 11; 15;

B. 2; 10,5; 15;

C. 10; 12,5; 15;

D. 9; 10,5; 15.

Câu 28. Cho mẫu số liệu sau:

2; 5; 9; 12; 15; 5; 20.

Tìm mốt của mẫu số liệu trên.

A. 5;

B. 9;

C. 12;

D. 20.

Câu 29. Cho mẫu số liệu sau:

15; 26; 5; 2; 9; 5; 28; 30; 2; 26.

Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên.

A.26;

B. 28;

C. 30;

D. 32.

Câu 30. Cho mẫu số liệu sau:

2; 9; 12; 16; 3; 5; 12; 33; 24; 27.

Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

A. 17;

B. 18;

C. 19;

D. 20.

Câu 31. Cho mẫu số liệu sau:

12; 2; 6; 13; 9; 21.

Tìm phương sai của mẫu số liệu trên (làm tròn đến hàng phần trăm).

A. 35,85;

B. 34,85;

C. 34,58;

D. 35,58.

Câu 32. Cho mẫu số liệu sau:

24; 16; 12; 5; 9; 3.

Tìm độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên (làm tròn đến hàng phần trăm).

A. 7,04;

B. 8,04;

C. 7,55;

D. 8,55.

Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 2) và B(3; – 1). Độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$ là:

A. 5;

B. 3;

C. $\sqrt{13}$;

D. $\sqrt{15}$ .

Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ, cho $\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j}$. Khi đó tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là

Câu 35. Góc giữa vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;-1\right)$ và vectơ $\overrightarrow{b}=\left(-2;0\right)$ có số đo bằng:

A. 90°;

B. 0°;

C. 135°;

D. 45°.

II. Tự luận (3 điểm)

Bài 1. Để làm đường điện dây cao thế ở Hà Giang từ vị trí bản A đến bản B, người ta phải tránh một ngọn núi nên người ta phải nối thẳng đường dây từ bản A đến bản C dài 12 km rồi nối từ bản C đến bản B dài 8 km. Qua đo đạc người ta xác định được $\widehat{ABC}=65°$ . Hỏi so với việc nối thẳng từ bản A đến bản B, người ta tốn thêm bao nhiêu tiền, biết mỗi km dây có giá 150 000 đồng.

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = 2a. Gọi M là trung điểm của BC, điểm D thuộc AC sao cho $AD=\frac{a}{2}$. Chứng minh rằng BD vuông góc với AM.

Bài 3. Cho mẫu số liệu sau đây:

2; 5; 1; 2; 8; 5; 45; 3.

Tìm giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu trên?

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 5

I. Bảng đáp án trắc nghiệm

II. Hướng dẫn giải chi tiết trắc nghiệm

Câu 1.

Đáp án đúng là: D

A. Câu trên không phải là mệnh đề vì nó là câu hỏi và không khẳng định tính đúng sai.

B. Câu trên không phải là mệnh đề vì nó là câu hỏi và không khẳng định tính đúng sai.

C. Câu trên không phải là mệnh đề vì nó là câu cảm thán và không khẳng định tính đúng sai.

D. Câu này là mệnh đề vì nó khẳng định tính đúng sai.

Câu 2.

Đáp án đúng là: B

Cách 1:

Ta có:

+ Các tập con có 0 phần tử: ∅.

+ Các tập con có 1 phần tử: {2}, {4}, {6}, {8}.

+ Các tập con có 2 phần tử: {2; 4}, {2; 6}, {2; 8}, {4; 6}, {4; 8}, {6; 8}.

+ Các tập con có 3 phần tử: {2; 4; 6}, {2; 4; 8}, {2; 6; 8}, {4; 6; 8}.

+ Các tập con có 4 phần tử: {2; 4; 6; 8}.

Vậy tập hợp A có 16 tập con.

Cách 2: Tập hợp A có 4 phần tử nên số tập con của tập hợp A là 2⁴ = 16.

Câu 3.

Đáp án đúng là: D

Tập hợp K là tập hợp các phần tử thuộc [1; 7) nhưng không thuộc (– 3; 5).

Ta xác định tập hợp K bằng cách vẽ trục số như sau: Trên cùng một trục số, tô đậm khoảng [1; 7) và gạch bỏ khoảng (–3; 5), sau đó bỏ luôn các khoảng chưa được tô hoặc đánh dấu. Phần tô đậm không bị gạch bỏ chính là tập hợp K.

Vậy K = [1 ; 7) \ (– 3 ; 5) = [5 ; 7).

Câu 4.

Đáp án đúng là: A

– Trên mặt phẳng Oxy vẽ đường thẳng Δ: x – y + 5 = 0 đi qua hai điểm A(1; 6) và B(0; 5).

– Xét gốc tọa độ O(0; 0). Ta thấy O không nằm trên đường thẳng Δ và 0 – 0 + 5 ≥ 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có kể bờ Δ, chứa gốc tọa độ O (miền màu xanh trong hình ảnh).

Câu 5.

Đáp án đúng là: B

Xét từng phương trình của hệ $\left\{\begin{array}{l}2x-1>0\\ x+5y<4\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}2x-1>0\\ x+5y-4<0\end{array}\right.$ với cặp số (1; –1) ta có:

2.1 – 1 = 1 > 0

1 + 5.(–1) – 4 = –8 < 0

Do đó,  cặp số (1; –1) là một nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{\begin{array}{l}2x-1>0\\ x+5y<4\end{array}\right.$ .

Câu 6.

Đáp án đúng là: D

Ta có:

sin 0° = 0;

cos 90° = 0;

cos 0° = 1;

sin 90° = 1 nên đáp án D sai.

Câu 7.

Đáp án đúng là: B

Vì β là góc tù nên sin β > 0, cos β < 0 , tan β < 0, cot β < 0.

Vậy B đúng, A, C, D sai.

Câu 8.

Đáp án đúng là: C

Vì 90° < α < 180° nên cosα < 0.

Do đó $cos\alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-{\left(\frac{12}{13}\right)}^2}=-\sqrt{\frac{25}{169}}=-\frac{5}{13}$.

Câu 9.

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC, ta có

Câu 10.

Đáp án đúng là: C

 $\overrightarrow{KC}$ có giá là đường thẳng AC, hướng từ trái sang phải

$\overrightarrow{KA}$ có giá là đường thẳng AC, hướng từ phải sang trái

Do đó, $\overrightarrow{KC}$ và $\overrightarrow{KA}$ cùng phương ngược hướng.

Câu 11.

Đáp án đúng là: C

Xét hình bình hành ABCD có:

CD = AB = 4 cm.

Vậy $\left|\overrightarrow{CD}\right|=CD=4cm$.

Câu 12.

Đáp án đúng là: B

Áp dụng tính chất giao hoán và quy tắc ba điểm cho ba điểm A, C, B ta có:

Câu 13.

Đáp án đúng là: C

+) Ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\ne \overrightarrow{BI}$ nên A sai.

+) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{BD}$ (theo quy tắc hình bình hành) nên B sai.

+) Ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$

Mà $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$ (do ABCD là hình bình hành)

Vậy $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$. Nên C đúng.

+) Ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{0}$. Vậy D sai.

Câu 14.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (áp dụng quy tắc hình bình hành cho hình vuông ABCD).

Xét tam giác ADC vuông tại D

Áp dụng định lý Pythagore ta có:

AC² = AD² + DC² = (2a)² + (2a)² = 8a²  ⇒ AC = $2a\sqrt{2}$

Vậy $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}\right|=2a\sqrt{2}$.

Câu 15.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

Câu 16.

Đáp án đúng là: B

Theo đề bài: CN = 2BC nên $\overrightarrow{BN}=3\overrightarrow{BC}$

Ta có:

Câu 17.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

Vì – 2 < 0

Vậy $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{x}$ cùng phương, ngược hướng.

Câu 18.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow{BJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

 

$\overrightarrow{BI}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\frac{3}{2}.\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{3}{2}.\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\right)=\frac{3}{2}\overrightarrow{BJ}$

Do đó, $\overrightarrow{BI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{BJ}$

Vậy B, I, J thẳng hàng.

Câu 19.

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

Câu 20.

Đáp án đúng là: A

Câu 21.

Đáp án đúng là: D

Do tam giác ABC đều nên:

Câu 22.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right).\overrightarrow{AC}=0\iff \overrightarrow{DB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{DB}\perp \overrightarrow{AC}$

Vậy BD vuông góc với AC.

Câu 23.

Đáp án đúng là: A

Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được:$\frac{6}{17}=0,\mathrm{3529411765....}$

Ta có: ∆_0,35 = |0,35 – $\frac{6}{17}$| < |0,35 – 0,353| = 0,003.

Do đó sai số tuyệt đối của số gần đúng 0,35 không vượt quá 0,003.

Câu 24.

Đáp án đúng là: A

Hàng lớn nhất của độ chính xác d = 0,05 là hàng phần trăm nên ta quy tròn a đến hàng phần mười.

Vậy số quy tròn của a là 15,3.

Câu 25.

Đáp án đúng là: C

Ta có cỡ mẫu của mẫu số liệu trên là n = 10.

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline{x}=\frac{11+9+7+5+15+20+9+6+17+13}{10}=11,2$.

Câu 26.

Đáp án đúng là: A

Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:

0; 1; 2; 3; 5; 9; 10.

Vì cỡ mẫu là n = 7 nên trung vị của mẫu số liệu trên là số liệu thứ 4. Tức là

M_e = 3.

Câu 27.

Đáp án đúng là: D

Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:

1; 2; 9; 9; 10; 11; 12; 15; 17; 20.

+ Vì cỡ mẫu là n = 10 nên giá trị tứ phân vị thứ hai là trung bình cộng của số liệu thứ 5 và 6.

Q₂ =$\frac{10+11}{2}$=10,5.

+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 2; 9; 9; 10.

Do đó Q₁ = 9.

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 11; 12; 15; 17; 20.

Do đó Q₃ = 15.

Vậy tứ phân vị Q₁, Q₂, Q₃ của mẫu số liệu trên lần lượt là 9; 10,5; 15.

Câu 28.

Đáp án đúng là: A

Ta thấy số 5 xuất hiện với tần số nhiều nhất trong mẫu số liệu trên (2 lần).

Vậy M₀ = 5.

Câu 29.

Đáp án đúng là: B

Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm ta có:

2; 2; 5; 5; 9; 15; 26; 26; 28; 30.

+ Giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu trên là 2.

+ Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu trên là 30.

Ta có : R = 30 – 2 = 28.

Do đó khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là 28.

Câu 30.

Đáp án đúng là: C

Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm ta có:

2; 3; 5; 9; 12; 12; 16; 24; 27; 33.

+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 3; 5; 9; 12.

Do đó Q₁ = 5.

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 12; 16; 24; 27; 33.

Do đó Q₃ = 24.

Ta có : ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 24 – 5 = 19.

Do đó khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là 19.

Câu 31.

Đáp án đúng là: D

Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

$\overline{x}=\frac{12+2+6+13+9+21}{6}=10,5$.

Công thức tính phương sai của một mẫu số liệu là:

S² = $\frac{1}{n}\left[{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right]$

Thay số ta có:

S² = $\frac{1}{6}$ [(12 – 10,5)² + (2 – 10,5)² + (6 – 10,5)² + (13 – 10,5)² + (9 – 10,5)² + (21 – 10,5)²] ≈ 35,58.

Do đó phương sai của mẫu số liệu trên là 35,58.

Câu 32.

Đáp án đúng là: A

Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

$\overline{x}=\frac{24+16+12+5+9+3}{6}=11,5$.

Công thức tính phương sai của một mẫu số liệu là:

S² = $\frac{1}{n}\left[{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right]$

Thay số ta có:

S² = $\frac{1}{6}$[(24 – 11,5)² + (16 – 11,5)² + (12 – 11,5)² + (5 – 11,5)² + (9 – 11,5)² + (3 – 11,5)²] ≈ 49,58.

Do đó phương sai của mẫu số liệu trên là 49,58.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là S =$\sqrt{S^2}$= $\sqrt{49,58}$ ≈ 7,04.

Câu 33.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(2;-3\right)$, suy ra $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{2^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{13}$.

Câu 34.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j}=3\overrightarrow{i}+\left(-5\right)\overrightarrow{j}$. Khi đó tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là $\overrightarrow{u}=\left(3;-5\right)$.

Câu 35.

Đáp án đúng là: C

III. Hướng dẫn giải tự luận

Bài 1.

Ta mô phỏng bài toán như hình vẽ sau:

Áp dụng định lí côsin ta có:

Do đó: AB = 13 km.

Ta có: AC + BC – AB = 12 + 8 – 13 = 7 (km)

Vậy số tiền phải tốn thêm 7 . 150 000 = 1 050 000 (đồng).

Bài 2.

Xét tam giác ABC vuông tại A

Có: AB⊥AC ⇔ $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$ ⇔ $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0$ vì D thuộc AC

Vì M là trung điểm của BC nên ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$

Bài 3.

Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm ta có:

1; 2; 2; 3; 5; 5; 8; 45.

+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 2; 2; 3.

Do đó Q₁ = $\frac{2+2}{2}=2$ .

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 5; 5; 8; 45.

Do đó Q₃ = $\frac{5+8}{2}=6,5$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu : ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 6,5 – 2 = 4,5.

Ta có:

+ Q₃ + 1,5∆_Q = 6,5 + 1,5.4,5 = 13,25

+ Q₁ – 1,5∆_Q = 2 – 1,5.4,5 = – 4,75

Vì 45 > Q₃ + 1,5∆_Q nên 45 là giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu trên.

Đề thi Học kì 1 Toán lớp 10 có đáp án năm 2024 - Chân trời sáng tạo

Đề thi Học kì 1 Toán lớp 10 có đáp án năm 2024 - Đề 1

Phòng Giáo dục và Đào tạo ...

Đề thi Học kì 1 - Chân trời sáng tạo

Năm học 2024 - 2025

Môn: Toán lớp 10

Thời gian làm bài: phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 2)

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 ĐIỂM)

Câu 1. Câu nào sau đây không là mệnh đề?

A. Bạn học giỏi quá!;

B. Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau;

C. 3 < 1;

D. 4 – 5 = 1.

Câu 2. Tập xác định D của hàm số $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2-x}+\sqrt{2+x}}{x}$ là

A. D = [– 2; 2] \ {0};

B. D = [– 2; 2];             

C. D = (– 2; 2);                                               

D. D = ℝ.

Câu 3. Cho A = (– 1; 5] và B = (2; 7). Tập hợp A ∩ B bằng:

A. (2; 5];

B. [2; 5];

C. (2; 5);

D. [2; 5).

Câu 4. Cho tập hợp $A=\left(-\infty ;m-1\right)$, $B=\left[1;+\infty \right)$. Tất cả giá trị của m để $A\cap B=\varnothing$ là

A. m ≤ 2;                         

B. m ≥  – 1;                     

C. m > 2;                          

D. m > – 2.

Câu 5. Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y\le 1\\ x-y\le 1\\ x\ge 0\end{array}\right.$ là

A. Miền tam giác;                                                   

B. Một nửa mặt phẳng;

C. Miền ngũ giác;                                                   

D. Miền tứ giác.

Câu 6. Giá trị cos113° + cos45° + cos67° bằng

A. $\sqrt{3}$;                             

B. 1;                                 

C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

D. 0.

Câu 7. Cho tam giác ABC có AC = 2, BC = 5 và $\widehat{B}=18°$. Số đo của góc A là:

A. 50°35’;

B. 51°34’;

C. 77°25’;

D. 7°6’.

Câu 8. Trong tam giác ABC, khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 9.  Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ thỏa mãn $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\sqrt{3}$ và $\left|\overrightarrow{a}\right|=2,\left|\overrightarrow{b}\right|=1$. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng

A. 30°;                         

B. 90° ;                        

C. 60° ;                        

D. 45°.

Câu 10. Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Tính $\overrightarrow{BO}.\overrightarrow{BC}$ ta được :

Câu 11. Cho $\overline{a}$ = 12,096384. Số gần đúng của $\overline{a}$ với độ chính xác d = 0,0004 là:

A. 12,096;

B. 12,09638;

C. 12,0964;

D. 12,10.

Câu 12. Cho hình vuông ABCD. Vectơ $\overrightarrow{AB}$ bằng vectơ nào sau đây?

Câu 13. Cho hình thang ABCD . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC}$ cùng phương;                    

B. Hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ cùng hướng;

C. Hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ cùng phương;                    

D. Hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DC}$ ngược hướng.

Câu 14. Trong các hàm số sau, đồ thị của hàm số nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng là

A. y = – 2x² + 4x + 1;

B. y = 2x² + 4x + 3;

C. y = 2x² – 2x + 1;

D. y = x² – x + 5.

Câu 15. Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức vectơ nào sau đây đúng:

Câu 16. Cho tam giác ABC vuông tại A, $BC=a\sqrt{3}$, M là trung điểm của BC và có $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{a^2}{2}$. Tính cạnh AB, AC:

A. AB = a, AC = $a\sqrt{2}$;

B. AB = $a\sqrt{2}$, AC = $a\sqrt{2}$;

C. AB = a, AC = a;

D. AB = $a\sqrt{2}$, AC = a.

Câu 17. Cho số gần đúng là a = 1,2357 với độ chính xác là d = 0,01. Số quy tròn của số a là: 

A. 1,24;

B. 1,2;

C. 1,236;

D. 1.

Câu 18. Hàm số nào dưới đây là hàm nghịch biến với mọi x ∈ ℝ?

A. y = 2x + 1;                  

B. y = – |x|;

C. y = x² + 2x;

D. y = $-\sqrt{3}$x – 1.

Câu 19. Cho các hàm số: f(x) = $\sqrt{x+1}$, g(x) = $\frac{1}{2}x$ và h(x) = x² – x. Trong các hàm số đã cho, số hàm chẵn là:

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Câu 20. Cho hàm số y = (m – 2021)x + m – 2. Điều kiện để hàm số đồng biến trên  ℝ là

A. m < 2021;                         

B. m > 2021;                          

C. 2 < m < 2021;                   

D. m ≥ 2021.

Câu 21. Cho bảng biến thiên sau:

Đồ thị hàm số bậc hai tương ứng với bảng biến thiên trên là :

A. y = x² + 2x – 1;        

B. y = x² – 2x + 2;        

C. y = 2x² – 4x + 4;      

D. y = – 3x² + 6x – 1.

Câu 22. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của OA và CD. Biết $\overrightarrow{EF}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AD}$. Tính giá trị biểu thức a + b:

A. $\frac{1}{4}$;                           

B. $\frac{3}{4}$;                           

C. $\frac{1}{2}$;                           

D. 1.

Câu 23. Giá trị ngoại lệ trong mẫu là

A. giá trị ở chính giữa trong dãy không giảm của mẫu số liệu;

B. giá trị xuất hiện nhiều nhất trong các giá trị của mẫu số liệu;

C. giá trị quá nhỏ hay quá lớn với đa số các giá trị của mẫu số liệu;

D. giá trị trung bình cộng của các giá trị của mẫu số liệu.

Câu 24. Số liệu xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu được gọi là:

A. Số trung bình cộng;

B. Trung vị;

C. Tứ phân vị;

D. Mốt.

Câu 25. Hàm số bậc hai có bảng biến thiên như hình vẽ có tọa độ điểm đỉnh là

A. I(– 3; 3);

B. I(0; – 3);

C. I(– 3; 0);

D. I(0; 0).

Câu 26. Cho điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Hỏi đẳng thức nào sau đây đúng?

Câu 27.  Tìm m để hàm số y = (2m – 3)x + m + 1 đồng biến trên $ℝ$.

Câu 28. Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và $\widehat{ABC}=60°$. Độ dài $\left|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right|$ bằng

Câu 29. Cho hình vuông ABCD tâm O. Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

Câu 30. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng:

Câu 31. Chu vi của hình chữ nhật có chiều rộng là x = 3,456 ± 0,01 và chiều dài là y = 12,732 ± 0,015 và ước lượng sai số tuyệt đối mắc phải là

A. C = 32,376 ± 0,025; ∆_C ≤ 0,05;

B. C = 32,376 ± 0,05; ∆_C ≤ 0,025;

C. C = 32,376 ± 0,5; ∆_C ≤ 0,5;

D. C = 32,376 ± 0,05; ∆_C ≤ 0,05.

Câu 32. Một người đi dọc bờ biển từ vị trí A đến vị trí B và quan sát một ngọn hải đăng ở vị trí C. Góc nghiêng của phương quan sát từ các vị trí A, B tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát là 25° và 42°. Biết khoảng cách giữa hai vị trí A và B là 80 m. Ngọn hải đăng cách bờ biển bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

A. 116 m;

B. 78 m;

C. 104 m;

D. 86 m.

Câu 33. Kết quả điều tra số con của 30 hộ gia đình thuộc một thôn được ghi lại trong bảng sau:

Số trung vị của dãy số liệu trên là

A. 3;

B. 2,5;

C. 2;

D. 4.

Câu 34. Biểu đồ dưới đây thể hiện diện tích lúa cả năm của hai tỉnh An Giang và Kiên Giang từ năm 2010 đến năm 2019 (đơn vị: nghìn hecta):

Trong khoảng từ năm 2010 đến 2013 năm mà diện tích lúa tỉnh Kiên Giang gần gấp 1,2 lần diện tích lúa của tỉnh An Giang nhất là

A. 2010;

B. 2011;

C. 2012;

D. 2013.

Câu 35. Cho tam giác ABC có các góc $\widehat{A}=105°,\widehat{B}=45°$. Tỉ số $\frac{AB}{AC}$ bằng

II. PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)

Bài 1 (1,0 điểm). Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe hon đa Future Fi với chi phí mua một chiếc là 27 triệu đồng và bán ra với giá là 31 triệu đồng. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 200 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải bán với giá bao nhiêu sau khi giảm giá để lợi nhuận thu được là cao nhất.

Bài 2 (1,0 điểm). Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi D và E lần lượt là các điểm thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AC}$.

a) Phân tích vectơ $\overrightarrow{AG}$ theo hai vectơ$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

b) Tìm x để ba điểm D, G, E thẳng hàng. Với giá trị tìm được của x, hãy tính tỉ số $\frac{DG}{DE}$.

Bài 3 (1,0 điểm). Người ta tiến hành phỏng vấn một số người về chất lượng của một sản phẩm mới, người điều tra yêu cầu cho điểm sản phẩm (thang điểm 100) kết quả như sau:

80	65	51	58	77	12	75	58
73	79	42	62	84	56	51	82

a) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn. Nhận xét về các kết quả nhận được.

b) Tìm giá trị bất thường.

HƯỚNG DẪN ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1	A	Câu 8	A	Câu 15	B	Câu 22	D	Câu 29	D
Câu 2	A	Câu 9	A	Câu 16	A	Câu 23	C	Câu 30	B
Câu 3	A	Câu 10	B	Câu 17	B	Câu 24	D	Câu 31	D
Câu 4	C	Câu 11	C	Câu 18	D	Câu 25	C	Câu 32	B
Câu 5	A	Câu 12	C	Câu 19	A	Câu 26	D	Câu 33	C
Câu 6	C	Câu 13	C	Câu 20	B	Câu 27	D	Câu 34	D
Câu 7	A	Câu 14	A	Câu 21	C	Câu 28	B	Câu 35	B

 

Hướng dẫn chi tiết:

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 ĐIỂM)

Câu 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Câu “Bạn học giỏi quá!” là câu cảm thán không xác định được tính đúng sai nên câu này không phải mệnh đề. Do đó A đúng.

Câu 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Hàm số xác định khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}2-x\ge 0\\ 2+x\ge 0\\ x\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\le 2\\ x\ge -2\\ x\ne 0\end{array}\right.\iff -2\le x\le 2,x\ne 0$.

Do đó tập xác định của hàm số là: D = [– 2; 2] \ {0}.

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Ta có:

Khi đó A ∩ B = (2; 5].

Câu 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Để $A\cap B=\varnothing$ thì m – 1 > 1 ⇔ m > 2.

Câu 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong tam giác không tô màu trong hình.

Câu 6.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

cos113° + cos45° + cos67°

= cos(180° – 67°) + cos67° + cos45°

= – cos67° + cos67° + cos45°

= 0 + $\frac{\sqrt{2}}{2}$

= $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Câu 7.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta được:

Câu 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$a^2=b^2+c^2-2bc.\cos A$.

Câu 9.  

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Câu 10.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Câu 11.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Hàng của chữ số khác 0 đầu tiên của độ chính xác là hàng phần chục nghìn. Quy tròn số $\overline{a}$ đến hàng phần chục nghìn ta được số gần đúng của $\overline{a}$ là: 12,0964.

Câu 12.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vectơ $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$.

Câu 13.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ cùng phương nhưng  ngược hướng. Do đó C đúng và B sai.

Hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DC}$ cùng hướng. Do đó D sai.

Hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC}$ không cùng phương. Do đó A sai.

Câu 14.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Ta có:

Hàm số bậc hai y = – 2x² + 4x + 1 có a = – 2, b = 4, c = 1. Khi đó trục đối xứng là x = $-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2.(-2)}=1$.

Hàm số bậc hai y = 2x² + 4x + 3 có a = 2, b = 4, c = 3. Khi đó trục đối xứng là x = $-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2.2}=-1$.

Hàm số bậc hai y = 2x² – 2x + 1 có a = 2, b = – 2, c = 1. Khi đó trục đối xứng là x = $-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2.2}=-\frac{1}{2}$.

Hàm số bậc hai y = x² – x + 5 có a = 1, b = –1, c = 5. Khi đó trục đối xứng là x = $-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2.2}=\frac{1}{4}$.

Câu 15.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta được: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$.

Câu 16.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC vuông tại A, có:

AM = $\frac{1}{2}$BC =$\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Xét tam giác ABM:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABM, có:

AB² = AM² + BM² – 2.AM.BM.$cos\left(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}\right)$

⇔ AB² = ${\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2-2.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{3}$ 

⇔ AB² = a²

⇔ AB = a

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ABC, ta được:

AC² = BC² – AB² = 3a² – a² = 2a²

⇔ AC = $\sqrt{2}$a.

 Vậy AB = a và AC = $\sqrt{2}$a.

Câu 17.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Hàng lớn nhất của độ chính xác là hàng phần trăm thì ta cần làm tròn đến hàng phần mười. Khi đó ta có số quy tròn của số gần đúng a là 1,2.

Câu 18.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hàm số y = ax + b nghịch biến trên ℝ khi a < 0. Do đó D đúng và A sai.

Hàm số y = – |x| vừa đồng biến và nghịch biến trên ℝ.

Hàm số y = x² + 2x vừa đồng biến và nghịch biến trên ℝ.

Câu 19.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) Xét hàm số: f(x) = $\sqrt{x+1}$, có TXĐ: D = [ – 1; +∞).

Lấy x ∈ D và – x ∈ D

Khi đó f(– x) = $\sqrt{-x+1}$ ≠ f(x).

Do đó hàm số không chẵn cũng không lẻ.

+) Xét hàm số g(x) = $\frac{1}{2}x$ có TXĐ D = ℝ

Lấy x ∈ D và – x ∈ D

Khi đó: g( – x) = $\frac{1}{2}\left(-x\right)=-\frac{1}{2}x$= – g(x).

Do đó hàm số đã cho là hàm lẻ.

+) Xét hàm số h(x) = x² – x

Lấy x ∈ D và – x ∈ D

Khi đó: h( – x) = (– x)² – (– x) = x² + x ≠ h(x).

Do đó hàm số đã cho là hàm không chẵn cũng không lẻ.

Vậy không có hàm số nào chẵn.

Câu 20.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Để hàm số y = (m – 2021)x + m – 2 đồng biến trên ℝ khi m – 2021 > 0 ⇔ m > 2021.

Vậy với m > 2021 thì hàm số đồng biến trên ℝ.

Câu 21.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Gọi hàm số bậc hai cần tìm là: y = ax² + bx + c (với a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy a > 0 nên đáp án D sai.

Ta có: x_I = $-\frac{b}{2a}=1$ ⇔ b = – 2a. Do đó A sai.

Ta lại có: y_I = $-\frac{\Delta }{4a}=2$⇔ ∆ = – 8a ⇔ b² – 4ac = – 8a ⇔ 4a² – 4ac = – 8a ⇔ a – c = – 2 ⇔ c = a + 2

+) Nếu a = 1 thì b = – 2 và c = 3. Do đó B sai.

+) Nếu a = 2 thì b = – 4 và c = 4. Do đó C đúng.

Câu 22.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Câu 23. 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Giá trị ngoại lệ là giá trị quá nhỏ hoặc quá lớn so với các giá trị khác trong mẫu số liệu.

Câu 24. 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là:

Số liệu xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu được gọi là mốt của số liệu, kí hiệu là M₀.

Câu 25. Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Dựa vào bảng biến thiên ta có điểm đỉnh I có tọa độ I(– 3; 0).

Câu 26.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì I là trung điểm của đoạn thẳng AB nên ta có: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$.

Câu 27. 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Để hàm số đã cho đồng biến trên ℝ thì 2m – 3 > 0 ⇔ m > $\frac{3}{2}$.

Câu 28.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Xét tam giác ABC có AB = BC nên tam giác ABC cân tại B mà $\widehat{ABC}=60°$. Do đó tam giác ABC đều

Suy ra AB = BC = AC = a.

Ta có: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=a$.

Câu 29.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Câu 30.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hàm số đồng biến (đi lên) trên khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$.

Câu 31.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: 3,446 ≤ x ≤ 3,466 và 12,717 ≤ y ≤ 12,747

Khi đó chu vi C = 2(x + y) của hình chữ nhật nằm trong khoảng: 32,326 ≤ C ≤  32,426

Suy ra 32,376 – 0,05 ≤ C ≤ 32,376 + 0,05 hay C = 32,376 ± 0,05.

Ta có độ chính xác là d = 0,05

Suy ra sai số tuyệt đối của C là: ∆_C ≤ 0,05.

Câu 32.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Kẻ CH vuông góc với bờ AB.

Xét tam giác ABC, có:

Vậy khoảng cách từ ngọn hải đăng tới bờ là khoảng 78 m.

Câu 33.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có bảng tần số sau:

Số con (x)	0	1	2	3	4
Tần số (n)	2	4	17	5	2

 

Dựa vào bảng tần số trên ta có số trung vị của dãy số liệu là trung bình cộng của số liệu thứ 15 và số liệu thứ 16 là: Q₂ = $\frac{2+2}{2}=2$.

Câu 34.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Năm 2010: Diện tích lúa của Kiên Giang là 640 (hecta), của An Giang là 590 (hecta). Do đó diện tích lúa của Kiên Giang gấp: 640 : 590 ≈ 1,08 (lần) diện tích lúa của An Giang.

Năm 2011: Diện tích lúa của Kiên Giang là 690 (hecta), của An Giang là 610 (hecta). Do đó diện tích lúa của Kiên Giang gấp: 690 : 610 ≈ 1,13 (lần) diện tích lúa của An Giang.

Năm 2012: Diện tích lúa của Kiên Giang là 720 (hecta), của An Giang là 620 (hecta). Do đó diện tích lúa của Kiên Giang gấp: 720 : 620 ≈ 1,16 (lần) diện tích lúa của An Giang.

Năm 2013: Diện tích lúa của Kiên Giang là 760 (hecta), của An Giang là 649 (hecta). Do đó diện tích lúa của Kiên Giang gấp: 760 : 649 ≈ 1,17 (lần) diện tích lúa của An Giang.

Câu 35.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC, có:

II. Tự luận (3 điểm)

Bài 1 (1,0 điểm).

Hướng dẫn giải

Gọi số tiền mà doanh nghiệp A dự định giảm giá là x ( triệu đồng) (0 ≤ x ≤ 4).

Tiền lãi khi bán được một xe là: 31 – x – 27 = 4 – x (triệu đồng).

Số lượng xe bán được khi đã giảm giá là: 600 + 200x (xe).

Lợi nhuận cửa hàng thu được là: (600 + 200x)(4 – x) = – 200x² + 200x + 2 400 (triệu đồng).

Xét hàm số bậc hai y = – 200x² + 200x + 2 400, có:

Đỉnh I có tọa độ: x_I = $-\frac{b}{2a}=-\frac{200}{2.\left(-200\right)}=\frac{1}{2}$; y_S = $-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{1960000}{4.\left(-200\right)}=2450$.

Hay $I\left(\frac{1}{2};2\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}450\right)$

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số đạt giá trị lớn nhất là 2 450 khi x = $\frac{1}{2}$.

Vậy doanh nghiệp phải bán với giá 30,5 triệu đồng để lợi nhuận thu được là cao nhất.

Bài 2 (1,0 điểm).

Hướng dẫn giải

a) Gọi M là trung điểm của BC

Xét tam giác ABC, có:

Bài 3 (1,0 điểm).

Hướng dẫn giải

Ta có bảng tần số sau:

Điểm	12	42	51	56	58	62	65	73	75	77	79	80	82	84
Tần số	1	1	2	1	2	1	1	1	1	1	1	1	1	1

a) Số trung bình cộng:

Độ lệch chuẩn:

$S=\sqrt{S^2}\approx 18$.

Nhận xét: Mức độ chênh lệch giữa các điểm là khá lớn.

b) Dãy số liệu có tất cả 16 số liệu, nên số trung vị là trung bình cộng của dãy số liệu ở vị trí 8 và vị trí thứ 9 ta được: $Q_2=\frac{62+65}{2}=63,5$.

Nửa số liệu bên trái gồm: 12; 42; 51; 51; 56; 58; 58; 62 gồm 8 giá trị. Do đó tứ phân vị thứ nhất là $Q_1=\frac{51+56}{2}=53,5$.

Nửa số liệu bên trái gồm: 65; 73; 75; 77; 79; 80; 82; 84 gồm 8 giá trị. Do đó tứ phân vị thứ ba là $Q_3=\frac{77+79}{2}=78$.

Suy ra khoảng tứ phân vị là: ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 78 – 53,5 ≈ 24,5.

Ta có: Q₃ + 1,5.∆_Q = 114,75 và Q₁ – 1,5.∆_Q = 16,75.

Ta thấy 12 < 16,75 nên 12 là giá trị ngoại lệ.

Đề thi Học kì 1 Toán lớp 10 có đáp án năm 2024 - Đề 2

Phòng Giáo dục và Đào tạo ...

Đề thi Học kì 1 - Chân trời sáng tạo

Năm học 2024 - 2025

Môn: Toán lớp 10

Thời gian làm bài: phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 2)

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 ĐIỂM)

Câu 1: Cho định lý “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau”. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hai góc bằng nhau là điều kiện cần và đủ để hai góc đó đối đỉnh;

B. Hai góc đối đỉnh là điều kiện cần để hai góc đó bằng nhau;

C. Hai góc bằng nhau là điều kiện đủ để hai góc đó đối đỉnh;            

D. Hai góc đối đỉnh là điều kiện đủ để hai góc đó bằng nhau.

Câu 2: Cho tập hợp A = {x ∈ ℝ| – 1 ≤ x < 3}. Xác định phần bù của tập hợp A trong ℝ.

A. $\left[5;+\infty \right)$;

B. $\left(-\infty ;-1\right)\cup \left[3;+\infty \right)$;

C. $\left(-\infty ;-1\right)$;                 

D. $\left(-\infty ;-1\right]\cup \left(3;+\infty \right)$.

Câu 3: Hệ nào dưới đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

Câu 4: Một bệnh viện thống kê số ca nhập viện do tai nạn giao thông mỗi ngày trong tháng 9/2020 ở bảng sau:

Số ca	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	12	15
Số ngày	2	3	4	6	3	2	2	3	2	1	1	1

Khoảng tứ phân vị của dãy số liệu trên là:

A. 3,5;

B. 2;

C. 5;

D. 7.

Câu 5: Cho hàm số y = x² – 2x – 2 có đồ thị là parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình y = x + m. Giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA² + OB² đạt giá trị nhỏ nhất là:

A. $m=-\frac{5}{2}$;

B. $m=\frac{5}{2}$;

C. m = 1;                      

D. m = 2.

Câu 6: Hà ghi lại số liệu từ trang web của Tổng cục thống kê bảng dân số Việt Nam qua các năm từ 2015 đến 2020:

Năm	Số dân
2015	92 677 076
2016	93 640, 422
2017	94 600 648
2018	95 545 962
2019	96 462 106
2020	97 338 579

Bạn Hà đã ghi nhầm dân số của năm nào?

A. 2015;

B. 2016;

C. 2019;

D. 2020.

Câu 7: Hàm số nào dưới đây là hàm số không chẵn cũng không lẻ?

A. y = – 2|x – 1|;                    

B. y = x³ – 5x;                        

C. $y=\sqrt{x^2+2}$;

D. y = – x.

Câu 8: Trong các hàm số sau, đồ thị của hàm số nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng là

A. y = – 2x² + 4x + 1;

B. y = 2x² + 4x + 3;

C. y = 2x² – 2x + 1;

D. y = x² – x + 5.

Câu 9: Tập xác định D của hàm số  $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2-x}+\sqrt{2+x}}{x}$ là

A. D = [– 2; 2] \ {0};

B. D = [– 2; 2];             

C. D = (– 2; 2);                                               

D. D = ℝ.

Câu 10: Cho hàm số y = (m – 2021)x + m – 2. Điều kiện để hàm số đồng biến trên  ℝ là

A. m < 2021;                         

B. m > 2021;                          

C. 2 < m < 2021;                   

D. m ≥ 2021.

Câu 11: Cho $\tan \alpha =\frac{-1}{3}$, với 0° < α < 90°. Giá trị của cosα bằng:

Câu 12: Tính giá trị biểu thức sau: sin12° + sin178° + cos106° + cos74°

A. 2sin12°;                   

B. 2cos74°;                  

C. cos74°;                    

D. sin12°.

Câu 13: Cho tam giác ABC có AB = 2, $\widehat{BAC}=85°$ và $\widehat{ACB}=40°$. Độ dài cạnh AC là:

A. 2,55;                        

B. 3,10;                        

C. 1,57;                        

D. 1,29.

Câu 14: Cho bảng biến thiên sau:

Đồ thị hàm số bậc hai tương ứng với bảng biến thiên trên là :

A. y = x² + 2x – 1;        

B. y = x² – 2x + 2;        

C. y = 2x² – 4x + 4;      

D. y = – 3x² + 6x – 1.

Câu 15: Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

B. Vectơ là đoạn thẳng có hướng.

C. Hai vectơ cùng hướng thì cùng phương.

D. Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng.

Câu 16: Cho hình vuông ABCD. Hãy chọn khẳng định đúng.

Câu 17: Cho hình vẽ sau:

Trong các vectơ trên hình, có bao nhiêu vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{MN}$?

A. 3;

B. 5;

C. 6;

D. 7.

Câu 18: Để lắp đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B phải tránh một ngọn núi, do đó người ta phải nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 9 km, rồi nối từ vị trí C đến B dài 12km. Biết góc tạo bởi 2 đoạn dây AC và CB là 52°. Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến B phải tốn thêm bao nhiêu mét dây?

A. 9,6; 

B. 11,4;

C. 92,0;

D. 71,0.

Câu 19: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Câu 20: Cho hình bình hành ABCD. Biểu thức $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}$ bằng:

A. $\overrightarrow{0}$;                                      

B. $2\overrightarrow{DC}$;

C. $2\overrightarrow{DA}$;

D. $-2\overrightarrow{DB}$.

Câu 21: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính bằng 1. Gọi M là điểm nằm trên đường tròn (O), độ dài vectơ $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$ bằng:

A. 1;                                       

B. 6;                                       

C. $\sqrt{3}$;                                   

D. 3.

Câu 22: Cho $\overline{a}$ = 12,096384. Số gần đúng của $\overline{a}$ với độ chính xác d = 0,0004 là:

A. 12,096;

B. 12,09638;

C. 12,0964;

D. 12,10.

Câu 23: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CD. Đặt $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AM}$, $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AN}$ . Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow{AC}$ theo 2 vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$:

Câu 24: Cho số gần đúng là a = 1,2357 với độ chính xác là d = 0,01. Số quy tròn của số a là: 

A. 1,24;

B. 1,2;

C. 1,236;

D. 1.

Câu 25: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 4. $\widehat{ABC}=120°$. Tính $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}$:

A. 8;

B. 16;

C. 24;

D. 32.

Câu 26: Cho hình thang vuông ABCD có  $\widehat{A}=\widehat{D}=90°$. Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$:

A. 0;

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

C. $\frac{1}{2}$;

D. 1.

Câu 27: Cho mẩu tin sau:

Trong tháng 01/2021 có 47 dự án được cấp phép mới với số vốn đăng kí đạt gần 1,3 tỉ USD, giảm khoảng 81,8% về số dự án và 70,3% về số vốn đăng kí so với cùng kì năm trước; 46 lượt dự án đã cấp phép từ các năm trước đăng kí điều chỉnh vốn đầu tư với số vốn tăng thêm trên 0,5 tỉ USD, tăng gần 41,4%.

Trong các số liệu đã cho trong bài, số số gần đúng là:

A. 2;

B. 3;

C. 4;

D. 5.

Câu 28: Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng a, gọi H là trung điểm của cạnh BC. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AC}$ bằng

A. a;                                       

B. $\frac{a}{2}$;                                     

C. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$;                                 

D. $a\sqrt{3}$.

Câu 29: Lớp 10A có 40 học sinh. Tỉ lệ số lượng mỗi loại học lực của học sinh lớp 10A được biểu diễn bằng biểu đồ sau:

Hỏi số lượng học sinh khá của lớp 10A là:

A. 1;

B. 2;

C. 15;

D. 22.

Câu 30: Một xạ thủ bắn súng 10 lần liên tiếp, số điểm của xạ thủ đạt được được ghi lại trong bảng sau:

Số lần	Lần 1	Lần 2	Lần 3	Lần 4	Lần 5	Lần 6	Lần 7	Lần 8	Lần 9	Lần 10
Số điểm	8	6	7	6	9	8	10	7	7	8

Số trung vị của số liệu trên là:

A. 6,5;

B. 7;

C. 8;

D. 7,5.

Câu 31: Thực hiện đo chiều cao (đơn vị cm) của các bạn học sinh tổ 1 của lớp 10D và được ghi lại như sau: 154; 172; 164; 145; 160; 151; 152; 181. Chiều cao trung bình của các bạn tổ 1 là:

A. 155;

B. 160;

C. 170;

D. 150.

Câu 32: Số huy chương vàng trong các giải thể thao quốc tế mà đoàn thể thao Việt Nam trong các giải đấu ở châu Á trong các năm từ 2010 đến 2019 được thống kê trong bảng sau:

Năm	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019
Số huy chương	39	43	115	52	56	62	130	82	74	120

Độ lệch chuẩn của số liệu trên là:

A. 77,3;

B. 1002,61;

C. 31,664;

D. 91.

Câu 33: Máy bay A bay với vận tốc $\overrightarrow{a}$, máy bay B bay cùng hướng và có tốc độ chỉ bằng một nửa máy bay A. Biểu diễn vectơ vận tốc $\overrightarrow{b}$ của máy bay B theo vectơ vận tốc $\overrightarrow{a}$của máy bay A là:

A. $\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$;

B. $\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}$;

C. $\overrightarrow{b}=\frac{1}{4}\overrightarrow{a}$;

D. $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}$.

Câu 34: Khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số y = $\frac{2}{x+1}$là:

A. (– ∞; –1) và (–1; + ∞);

B. ℝ\{– 1};

C. (– ∞; –1);

D. (–1; + ∞).

Câu 35: Tứ giác ABCD có $\overrightarrow{DB}=k\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}$. Khi đó tứ giác ABCD là hình:

A. hình thang;

B. hình bình hành;

C. hình vuông;

D. hình chữ nhật.

II. PHẦN TỰ LUẬN (3 ĐIỂM)

Câu 1 (1 điểm).

Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$.

Câu 2 (0,5 điểm). Cho tam giác  ABC có $AB=a,AC=a\sqrt{3}$  và -->$\widehat{BAC}={30}^{°}.$ Gọi I là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}.$ Tính độ dài đoạn thẳng AI

Câu 3 (1 điểm). Cổng chào Yên Lạc có hình dạng là một parabol (hình vẽ). Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 162 m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao 43m so với mặt đất (điểm M), người ta thả một sợi dây chạm đất (dây căng thẳng theo phương vuông góc với đất). Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng A một đoạn 10 m. Giả sử các số liệu trên là chính xác. Hãy tính độ cao của cổng (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng).

Câu 4 (0,5 điểm). Nam đo được đường kính của một hình tròn là 24 ± 0,2 cm. Nam tính được chu vi đường tròn là C = 75,36. Hãy ước lượng sai số tuyệt đối của C, biết 3,141 < π < 3,142.

HƯỚNG DẪN ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1	D	Câu 8	A	Câu 15	D	Câu 22	C	Câu 29	C
Câu 2	B	Câu 9	A	Câu 16	B	Câu 23	D	Câu 30	D
Câu 3	B	Câu 10	B	Câu 17	D	Câu 24	B	Câu 31	B
Câu 4	C	Câu 11	C	Câu 18	A	Câu 25	C	Câu 32	C
Câu 5	A	Câu 12	A	Câu 19	B	Câu 26	A	Câu 33	A
Câu 6	B	Câu 13	A	Câu 20	A	Câu 27	D	Câu 34	A
Câu 7	A	Câu 14	C	Câu 21	D	Câu 28	B	Câu 35	A

Hướng dẫn chi tiết:

Câu 1: Cho định lý “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau”. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hai góc bằng nhau là điều kiện cần và đủ để hai góc đó đối đỉnh;

B. Hai góc đối đỉnh là điều kiện cần để hai góc đó bằng nhau;

C. Hai góc bằng nhau là điều kiện đủ để hai góc đó đối đỉnh;            

D. Hai góc đối đỉnh là điều kiện đủ để hai góc đó bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Từ định lý “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau”, ta có thể phát biểu lại định lí này như sau:

Hai góc đối đỉnh là điều kiện đủ để hai góc đó bằng nhau. Do đó D đúng và B sai.

Hai góc bằng nhau là điều kiện cần để hai góc đó đối đỉnh. Do đó C sai.

Vì hai góc bằng nhau nhưng chưa chắc đối đỉnh do đó đáp án A là sai.

Câu 2: Cho tập hợp A = {x ∈ ℝ| – 1 ≤ x < 3}. Xác định phần bù của tập hợp A trong ℝ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Ta có: A = {x ∈ ℝ| – 1 ≤ x < 3} = [ – 1; 3)

Khi đó ℝ \ A = ℝ \ [ – 1; 3) = (– ∞; – 1) ∪ [3; + ∞).

Câu 3: Hệ nào dưới đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Do đó đáp án B là đúng.

Câu 4: Một bệnh viện thống kê số ca nhập viện do tai nạn giao thông mỗi ngày trong tháng 9/2020 ở bảng sau:

Số ca	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	12	15
Số ngày	2	3	4	6	3	2	2	3	2	1	1	1

Khoảng tứ phân vị của dãy số liệu trên là:

A. 3,5;

B. 2;

C. 5;

D. 7.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Dãy số liệu trên có 30 số liệu.

Số trung vị của dãy số liệu là số trung bình cộng của số liệu ở vị trí thứ 15 và 16: Q₂ = $\frac{3+4}{2}=3,5$.

Số trung vị của nửa số liệu bên trái là: Q₁ = 2.

Số trung vị của nửa số liệu bên phải là: Q₂ = 7.

Khoảng tứ phân vị ∆_Q = Q₂ – Q₁ = 7 – 2 = 5.

Câu 5: Cho hàm số y = x² – 2x – 2 có đồ thị là parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình y = x + m. Giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA² + OB² đạt giá trị nhỏ nhất là:

A. $m=-\frac{5}{2}$;

B. $m=\frac{5}{2}$;

C. m = 1;                      

D. m = 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

x² – 2x – 2 = x + m (1)

⇔ x² – 3x – 2 – m = 0

Ta có: ∆ = (– 3)² – 4.1.(– 2 – m) = 17 + 4m

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = 17 + 4m > 0 ⇔ m > >$-\frac{17}{4}$>.

Gọi x₁ và x₂ là nghiệm của phương trình (1).

Áp dụng định lí Vi – et ta được: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=3\\ x_1.x_2=-2-m\end{array}\right.$.

Đặt A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂)

Vậy OA² + OB² đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{27}{2}$ khi m = $-\frac{5}{2}$.

Câu 6: Hà ghi lại số liệu từ trang web của Tổng cục thống kê bảng dân số Việt Nam qua các năm từ 2015 đến 2020:

Năm	Số dân
2015	92 677 076
2016	93 640, 422
2017	94 600 648
2018	95 545 962
2019	96 462 106
2020	97 338 579

Bạn Hà đã ghi nhầm dân số của năm nào?

A. 2015;

B. 2016;

C. 2019;

D. 2020.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Dân số Việt Nam năm 2016 là 93 640 422 (người). Do đó bạn Hà ghi sai số liệu năm 2016.

Câu 7: Hàm số nào dưới đây là hàm số không chẵn cũng không lẻ?

A. y = – 2|x – 1|;                    

B. y = x³ – 5x;                        

C. $y=\sqrt{x^2+2}$;                     

D. y = – x.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Tập xác định của các hàm số đã cho là D = ℝ

Lấy x ∈ D khi đó – x  ∈ D, ta có:

+) y(– x) = – 2|(– x) – 1| = – 2|x + 1| ≠ y(x).

Do đó hàm số không chẵn cũng không lẻ.

+) y(– x) = (– x)³ – 5(– x) = - x³ + 5x = - (x³ – 5x) = – y(x).

Do đó hàm số là hàm số lẻ.    

+) $y\left(-x\right)=\sqrt{{\left(-x\right)}^2+2}=\sqrt{x^2+2}=y\left(x\right)$.

Do đó hàm số là hàm số chẵn.                               

+) y(– x) =  – (– x) = x = – y(x).

Do đó hàm số là hàm lẻ.

Câu 8: Trong các hàm số sau, đồ thị của hàm số nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng là

A. y = – 2x² + 4x + 1;

B. y = 2x² + 4x + 3;

C. y = 2x² – 2x + 1;

D. y = x² – x + 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Ta có:

Hàm số bậc hai y = – 2x² + 4x + 1 có a = – 2, b = 4, c = 1. Khi đó trục đối xứng là x = $-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2.(-2)}=1$.

Hàm số bậc hai y = 2x² + 4x + 3 có a = 2, b = 4, c = 3. Khi đó trục đối xứng là x = $-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2.2}=-1$.

Hàm số bậc hai y = 2x² – 2x + 1 có a = 2, b = – 2, c = 1. Khi đó trục đối xứng là x = $-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2.2}=-\frac{1}{2}$.

Hàm số bậc hai y = x² – x + 5 có a = 1, b = –1, c = 5. Khi đó trục đối xứng là x = $-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2.2}=\frac{1}{4}$.

Câu 9: Tập xác định D của hàm số $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2-x}+\sqrt{2+x}}{x}$ là

A. D = [– 2; 2] \ {0};

B. D = [– 2; 2];             

C. D = (– 2; 2);                                               

D. D = ℝ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Hàm số xác định khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}2-x\ge 0\\ 2+x\ge 0\\ x\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\le 2\\ x\ge -2\\ x\ne 0\end{array}\right.\iff -2\le x\le 2,x\ne 0$.

Do đó tập xác định của hàm số là: D = [– 2; 2] \ {0}.

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 10: Cho hàm số y = (m – 2021)x + m – 2. Điều kiện để hàm số đồng biến trên  ℝ là

A. m < 2021;                         

B. m > 2021;                          

C. 2 < m < 2021;                   

D. m ≥ 2021.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Để hàm số y = (m – 2021)x + m – 2 đồng biến trên ℝ khi m – 2021 > 0 ⇔ m > 2021.

Vậy với m > 2021 thì hàm số đồng biến trên ℝ.

Câu 11: Cho $\tan \alpha =\frac{-1}{3}$, với 0° < α < 90°. Giá trị của cosα bằng:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Ta có: tan²α + 1 = $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$

⇔ cos²α = $\frac{1}{{\tan }^2\alpha +1}$

⇔ cos²α = $\frac{1}{{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2+1}=\frac{9}{10}$

⇔ cosα = $\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$ (0° < α < 90°).

Vậy chọn đáp án C

Câu 12: Tính giá trị biểu thức sau: sin12° + sin178° + cos106° + cos74°

A. 2sin12°;                   

B. 2cos74°;                  

C. cos74°;                    

D. sin12°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

sin12° + sin178° + cos106° + cos74°

= sin12° + sin(180° – 12°) + cos(180° – 74°) + cos74°

= sin12° + sin12° – cos74° + cos74°

= 2.sin12°.

Câu 13: Cho tam giác ABC có AB = 2, $\widehat{BAC}=85°$ và $\widehat{ACB}=40°$. Độ dài cạnh AC là:

A. 2,55;                        

B. 3,10;                        

C. 1,57;                        

D. 1,29.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Xét tam giác ABC, có: $\widehat{ABC}=180°-85°-40°=55°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta được:

Câu 14: Cho bảng biến thiên sau:

Đồ thị hàm số bậc hai tương ứng với bảng biến thiên trên là :

A. y = x² + 2x – 1;        

B. y = x² – 2x + 2;        

C. y = 2x² – 4x + 4;      

D. y = – 3x² + 6x – 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Gọi hàm số bậc hai cần tìm là: y = ax² + bx + c (với a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy a > 0 nên đáp án D sai.

Ta có: x_I = $-\frac{b}{2a}=1$ ⇔ b = – 2a. Do đó A sai.

Ta lại có: y_I = $-\frac{\Delta }{4a}=2$ ⇔ ∆ = – 8a ⇔ b² – 4ac = – 8a ⇔ 4a² – 4ac = – 8a ⇔ a – c = – 2 ⇔ c = a + 2

+) Nếu a = 1 thì b = – 2 và c = 3. Do đó B sai.

+) Nếu a = 2 thì b = – 4 và c = 4. Do đó C đúng.

Câu 15: Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

B. Vectơ là đoạn thẳng có hướng.

C. Hai vectơ cùng hướng thì cùng phương.

D. Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. Do đó D là phát biểu sai.

Câu 16: Cho hình vuông ABCD. Hãy chọn khẳng định đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Ta có: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$ là hai vectơ không cùng phương dù chúng có cùng độ dài. Suy ra $\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{AD}$. Do đó A sai.

Ta có: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ (quy tắc hình bình hành). Do đó B đúng.

Nếu độ dài cạnh của hình vuông là a thì $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ = a và $\left|\overrightarrow{BD}\right|=a\sqrt{2}$. Suy ra $\left|\overrightarrow{AB}\right|\ne \left|\overrightarrow{BD}\right|$. Do đó C sai.

Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương cùng độ dài nhưng ngược hướng. Suy ra $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$. Do đó D sai.

Câu 17: Cho hình vẽ sau:

Trong các vectơ trên hình, có bao nhiêu vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{MN}$?

A. 3;

B. 5;

C. 6;

D. 7.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Hai vec tơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau. Khi đó các vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{MN}$ là $\overrightarrow{NM};\overrightarrow{QK};\overrightarrow{QP};\overrightarrow{KP};\overrightarrow{PK};\overrightarrow{KQ};\overrightarrow{PQ}$.

Vậy có tất cả 7 vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{MN}$.

Câu 18: Để lắp đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B phải tránh một ngọn núi, do đó người ta phải nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 9 km, rồi nối từ vị trí C đến B dài 12km. Biết góc tạo bởi 2 đoạn dây AC và CB là 52°. Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến B phải tốn thêm bao nhiêu mét dây?

A. 9,6;                          

B. 11,4;                        

C. 92,0;                        

D. 71,0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Áp dụng định lí cos vào tam giác ABC ta được:

AB² = AC² + CB² – 2.AC.CB.cos52°

= 9² + 12² – 2.9.12.cos52°

≈ 92,0

⇔ AB ≈ 9,6 m.

So với việc nối thẳng từ A đến B phải tốn thêm số mét dây là: 9 + 12 – 9,6 ≈ 11,4 (m).

Câu 19: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$;                         

B. $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{ON}$;

C. $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}$;

D. $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BN}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

+) Ta có: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ cùng phương cùng độ dài nhưng ngược hướng. Do đó $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$. Suy ra A sai.

+) Xét tam giác ABC, có:

O là trung điểm của AC

N là trung điểm của BC

Suy ra ON là đường trung bình của tam giác ABC

Khi đó ON // AB và ON = $\frac{1}{2}$AB = AM = MB.

Do đó $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{ON}$. Suy ra B đúng.

+) Ta có: $\overrightarrow{OC}$ và $\overrightarrow{OD}$ là hai vectơ có cùng độ dài nhưng không cùng hướng. Do đó $\overrightarrow{OC}\ne \overrightarrow{OD}$. Suy ra C sai.

+) Ta có: $\overrightarrow{OC}\ne \overrightarrow{OD}$ và $\overrightarrow{BN}$ là hai vectơ không cùng độ dài và không cùng hướng. Do đó $\overrightarrow{AM}\ne \overrightarrow{BN}$. Suy ra D sai.

Câu 20: Cho hình bình hành ABCD. Biểu thức $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}$ bằng:

A. $\overrightarrow{0}$;                                      

B. $2\overrightarrow{DC}$;

C. $2\overrightarrow{DA}$;

D. $-2\overrightarrow{DB}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Ta có: $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$

Câu 21: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính bằng 1. Gọi M là điểm nằm trên đường tròn (O), độ dài vectơ $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$ bằng:

A. 1;                                       

B. 6;                                       

C. $\sqrt{3}$;                                   

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Vì ABC là tam giác đều nên O là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$

Ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{MO}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=3\left|\overrightarrow{MO}\right|$

Ta lại có: M là điểm nằm trên đường tròn nên MO = 1.

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=3$.

Câu 22: Cho $\overline{a}$ = 12,096384. Số gần đúng của $\overline{a}$ với độ chính xác d = 0,0004 là:

A. 12,096;

B. 12,09638;

C. 12,0964;

D. 12,10.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Hàng của chữ số khác 0 đầu tiên của độ chính xác là hàng phần chục nghìn. Quy tròn số $\overline{a}$ đến hàng phần chục nghìn ta được số gần đúng của $\overline{a}$ là: 12,0964.

Câu 23: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CD. Đặt $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AM}$, $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AN}$ . Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow{AC}$ theo 2 vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Câu 24: Cho số gần đúng là a = 1,2357 với độ chính xác là d = 0,01. Số quy tròn của số a là: 

A. 1,24;

B. 1,2;

C. 1,236;

D. 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Hàng lớn nhất của độ chính xác là hàng phần trăm thì ta cần làm tròn đến hàng phần mười. Khi đó ta có số quy tròn của số gần đúng a là 1,2.

Câu 25: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 4. $\widehat{ABC}=120°$. Tính $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}$:

A. 8;

B. 16;

C. 24;

D. 32.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Ta có hình vẽ sau:

Vì ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD tại O

⇒ $\widehat{ABO}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}=\frac{1}{2}.120°=60°$ (tính chất hình thoi)

Xét tam giác ABC vuông tại O, có:

AO = sin$\widehat{ABO}$.AB = sin60°.4 = $\frac{\sqrt{3}}{2}.4=2\sqrt{3}$.

⇒ AC = 2.AO = 2.$2\sqrt{3}$= $4\sqrt{3}$.

Ta có: $\widehat{BAD}=60°\Rightarrow \widehat{DAC}=30°$

Khi đó: $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}=\left|\overrightarrow{AC}\right|.\left|\overrightarrow{AD}\right|.c\text{os}\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}\right)=4\sqrt{3}\mathrm{.4.}c\text{os30}°\text{=24}$.

Câu 26: Cho hình thang vuông ABCD có $\widehat{A}=\widehat{D}=90°$. Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$:

A. 0;

B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$;

C. $\frac{1}{2}$;

D. 1.

Câu 27: Cho mẩu tin sau:

Trong tháng 01/2021 có 47 dự án được cấp phép mới với số vốn đăng kí đạt gần 1,3 tỉ USD, giảm khoảng 81,8% về số dự án và 70,3% về số vốn đăng kí so với cùng kì năm trước; 46 lượt dự án đã cấp phép từ các năm trước đăng kí điều chỉnh vốn đầu tư với số vốn tăng thêm trên 0,5 tỉ USD, tăng gần 41,4%.

Trong các số liệu đã cho trong bài, số số gần đúng là:

A. 2;

B. 3;

C. 4;

D. 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Trong các số liệu đã cho trong bài, ta có:

- Các số đúng là: 47; 46.

- Các số gần đúng là: 1,3; 81,8%; 70,3%; 0,5; 41,4%.

Vậy có 5 số số gần đúng.

Câu 28: Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng a, gọi H là trung điểm của cạnh BC. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AC}$ bằng

A. a;                                       

B. $\frac{a}{2}$;                                     

C.$\frac{a\sqrt{3}}{2}$;                                 

D. $a\sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Ta có: $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{HC}$

Khi đó  $\left|\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{HC}\right|=HC=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$.

Câu 29: Lớp 10A có 40 học sinh. Tỉ lệ số lượng mỗi loại học lực của học sinh lớp 10A được biểu diễn bằng biểu đồ sau:

Hỏi số lượng học sinh khá của lớp 10A là:

A. 1;

B. 2;

C. 15;

D. 22.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Tỉ lệ học sinh khá trong lớp 10A là 37,5% nên số học sinh đạt học lực khá của lớp 10A là:

37,5%.40 = 15 (học sinh)

Vậy lớp 10A có 15 học sinh đạt học lực khá.

Câu 30: Một xạ thủ bắn súng 10 lần liên tiếp, số điểm của xạ thủ đạt được được ghi lại trong bảng sau:

Số lần	Lần 1	Lần 2	Lần 3	Lần 4	Lần 5	Lần 6	Lần 7	Lần 8	Lần 9	Lần 10
Số điểm	8	6	7	6	9	8	10	7	7	8

Số trung vị của số liệu trên là:

A. 6,5;

B. 7;

C. 8;

D. 7,5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm ta được: 6; 6; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 9; 10.

Dãy số liệu trên có 10 số liệu nên số trung vị là trung bình cộng của số liệu thứ 5 và 6: Q₂ = $\frac{7+8}{2}=7,5$.

Câu 31: Thực hiện đo chiều cao (đơn vị cm) của các bạn học sinh tổ 1 của lớp 10D và được ghi lại như sau: 154; 172; 164; 145; 160; 151; 152; 181. Chiều cao trung bình của các bạn tổ 1 là:

A. 155;

B. 160;

C. 170;

D. 150.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Chiều cao trung bình của tổ 1 là:

Câu 32: Số huy chương vàng trong các giải thể thao quốc tế mà đoàn thể thao Việt Nam trong các giải đấu ở châu Á trong các năm từ 2010 đến 2019 được thống kê trong bảng sau:

Năm	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019
Số huy chương	39	43	115	52	56	62	130	82	74	120

Độ lệch chuẩn của số liệu trên là:

A. 77,3;

B. 1002,61;

C. 31,664;

D. 91.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Số trung bình của số liệu trên là:

Câu 33: Máy bay A bay với vận tốc $\overrightarrow{a}$, máy bay B bay cùng hướng và có tốc độ chỉ bằng một nửa máy bay A. Biểu diễn vectơ vận tốc $\overrightarrow{b}$ của máy bay B theo vectơ vận tốc $\overrightarrow{a}$ của máy bay A là:

A. $\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$;

B. $\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}$;

C. $\overrightarrow{b}=\frac{1}{4}\overrightarrow{a}$;

D. $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Vì vectơ vận tốc $\overrightarrow{b}$ của máy bay B cùng hướng theo vectơ vận tốc $\overrightarrow{a}$ của máy bay A và có độ lớn bằng một nửa vectơ $\overrightarrow{a}$ nên $\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$.

Câu 34: Khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số y = $\frac{2}{x+1}$là:

A. (– ∞; –1) và (–1; + ∞);

B. ℝ\{– 1};

C. (– ∞; –1);

D. (–1; + ∞).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Tập xác định D = ℝ\{– 1}

Lấy x₁, x₂ là hai số tùy ý thuộc (– ∞; –1) và (–1; + ∞) sao cho x₁ < x₂ ta có:

+) Nếu x₁, x₂ ∈ (– ∞; –1) thì x₁ + 1, x₂ + 1 < 0 mà x₂ – x₁ > 0

Suy ra $\frac{2\left(x_2-x_1\right)}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}>0$ nên f(x₁) > f(x₂).

Do đó hàm số đã đồng biến trên (– ∞; –1).

+) Nếu x₁, x₂ ∈ (–1; + ∞) thì x₁ + 1, x₂ + 1 > 0 mà x₂ – x₁ > 0

Suy ra $\frac{2\left(x_2-x_1\right)}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}>0$ nên f(x₁) > f(x₂).

Do đó hàm số đã đồng biến trên (–1; + ∞).

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (– ∞; –1) và (–1; + ∞).

Câu 35: Tứ giác ABCD có $\overrightarrow{DB}=k\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}$. Khi đó tứ giác ABCD là hình:

A. hình thang;

B. hình bình hành;

C. hình vuông;

D. hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Ta có: $\overrightarrow{DB}=k\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}$

⇔ $\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}=k\overrightarrow{DC}$

⇔ $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{DC}$

Do đó $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương nên AB // CD

Vì vậy ABCD là hình thang.

II. PHẦN TỰ LUẬN (3 ĐIỂM)

Câu 1 (1 điểm).

Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC và BD. Do đó: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$

Ta có:

Câu 2 (0,5 điểm). Cho tam giác ABC có $AB=a,AC=a\sqrt{3}$ và $\widehat{BAC}={30}^{°}.$ Gọi I là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}.$ Tính độ dài đoạn thẳng AI

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC, có:

$\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ nên I thuộc vào đoạn thẳng BC và thỏa mãn IC = 2IB.

Áp dụng định lí cos trong tam giác ABC, ta được:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cosA = $a^2+{\left(a\sqrt{3}\right)}^2-2.a.a\sqrt{3}.cos30°=a^2$

⇒ BC = a

⇒ AB = BC = a

⇒ Tam giác ABC cân tại B

⇒ $\widehat{C}=\widehat{A}=30°$

Ta lại có IC = 2IB nên IC = $\frac{2}{3}a$, IB = $\frac{1}{3}a$

Xét tam giác IAC có:

Áp dụng định lí cos, ta được:

IA² = AC² + IC² – 2.AC.IC.cos$\widehat{C}$

= ${\left(a\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\frac{2}{3}a\right)}^2-2.a\sqrt{3}.\frac{2}{3}acos30°=\frac{13}{9}{a}^2$

⇔ IA = $\frac{\sqrt{13}}{3}a$.

Vậy IA = $\frac{\sqrt{13}}{3}a$.

Câu 3 (1 điểm). Cổng chào Yên Lạc có hình dạng là một parabol (hình vẽ). Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 162 m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao 43m so với mặt đất (điểm M), người ta thả một sợi dây chạm đất (dây căng thẳng theo phương vuông góc với đất). Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng A một đoạn 10 m. Giả sử các số liệu trên là chính xác. Hãy tính độ cao của cổng (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng).

Hướng dẫn giải

Vì cổng có hình dạng parabol nên có phương trình y = ax² + bx + c (a ≠ 0) (1)

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ:

 Ta có: A(– 81; 0) và B(81; 0) và M(– 71; 43)

Thay lần lượt tọa độ các điểm vào (1) ta được:

0 = a.(– 81)² + b(– 81) + c ⇔ 6 561a – 81b + c = 0 (2)

0 = a.81² + b.81 + c ⇔ 6 561a + 81b + c = 0 (3)

43 = a.(– 71)² + b(– 71) + c ⇔ 5 041 a – 71b + c = 43 (4)

Lấy vế với vế của phương trình (2) trừ (3) ta được: – 162b = 0 ⇔ b = 0.

Khi đó:

(2) ⇔ 6 561a + c = 0

(4) ⇔ 5 041 a + c = 43

Từ đó ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}6561a+c=0\\ 5041a+c=43\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a\approx -0,03\\ c\approx 185,6\end{array}\right.$

Suy ra ta có phương trình: y = – 0,03x² + 185,6.

Điểm H thuộc vào trục Oy nên x_H = 0 ⇒ y_H = – 0,03.0² + 185,6 = 185,6.

Vì vậy chiều cao của cổng chính là đoạn OH và bằng 185,6 m.

Câu 4 (0,5 điểm). Nam đo được đường kính của một hình tròn là 24 ± 0,2 cm. Nam tính được chu vi đường tròn là C = 75,36. Hãy ước lượng sai số tuyệt đối của C, biết 3,141 < π < 3,142.

Hướng dẫn giải

Gọi $\overline{d}$ và $\overline{C}$ lần lượt là đường kính và chu vi của đường tròn.

Ta có: 24 – 0,2 ≤ $\overline{d}$ ≤ 24 + 0,2 hay 23,8 ≤ $\overline{d}$ ≤ 24,2

Suy ra 3,141.23,8 ≤ $\overline{d}$.π ≤ 24,2.3,42 ⇔ 74,7558 ≤ $\overline{C}$ ≤ 76,0364

⇔ 74,7558 – 75,36 ≤ $\overline{C}$ – 75,36 ≤ 76,0364 – 75,36

⇔ – 0,6042 ≤ $\overline{C}$ – 75,36 ≤ 0,6764.

Vậy sai số tuyệt đối của C nằm trong khoảng từ – 0,6042 đển 0,6764.

Đề thi Học kì 1 Toán lớp 10 có đáp án năm 2024 - Đề 3

Phòng Giáo dục và Đào tạo ...

Đề thi Học kì 1 - Chân trời sáng tạo

Năm học 2024 - 2025

Môn: Toán lớp 10

Thời gian làm bài: phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 3)

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 ĐIỂM)

Câu 1. Câu nào sau đây không là mệnh đề?

A. Bạn học giỏi quá!;

B. Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau;

C. 3 < 1;

D. 4 – 5 = 1.

Câu 2. Tập xác định D của hàm số $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2-x}+\sqrt{2+x}}{x}$ là

A. D = [– 2; 2] \ {0};

B. D = [– 2; 2];             

C. D = (– 2; 2);                                               

D. D = ℝ.

Câu 3. Cho A = (– 1; 5] và B = (2; 7). Tập hợp A ∩ B bằng:

A. (2; 5];

B. [2; 5];

C. (2; 5);

D. [2; 5).

Câu 4. Cho tập hợp $A=\left(-\infty ;m-1\right)$, $B=\left[1;+\infty \right)$. Tất cả giá trị của m để $A\cap B=\varnothing$ là

A. m ≤ 2;                         

B. m ≥  – 1;                     

C. m > 2;                          

D. m > – 2.

Câu 5. Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y\le 1\\ x-y\le 1\\ x\ge 0\end{array}\right.$ là

A. Miền tam giác;                                                   

B. Một nửa mặt phẳng;

C. Miền ngũ giác;                                                   

D. Miền tứ giác.

Câu 6. Giá trị cos113° + cos45° + cos67° bằng

A. $\sqrt{3}$;                             

B. 1;                                 

C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

D. 0.

Câu 7. Cho tam giác ABC có AC = 2, BC = 5 và $\widehat{B}=18°$. Số đo của góc A là:

A. 50°35’;

B. 51°34’;

C. 77°25’;

D. 7°6’.

Câu 8. Trong tam giác ABC, khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 9.  Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ thỏa mãn $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\sqrt{3}$ và $\left|\overrightarrow{a}\right|=2,\left|\overrightarrow{b}\right|=1$. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng

A. 30°;                         

B. 90° ;                        

C. 60° ;                        

D. 45°.

Câu 10. Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Tính $\overrightarrow{BO}.\overrightarrow{BC}$ ta được :

Câu 11. Cho $\overline{a}$ = 12,096384. Số gần đúng của $\overline{a}$ với độ chính xác d = 0,0004 là:

A. 12,096;

B. 12,09638;

C. 12,0964;

D. 12,10.

Câu 12. Cho hình vuông ABCD. Vectơ $\overrightarrow{AB}$ bằng vectơ nào sau đây?

Câu 13. Cho hình thang ABCD . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC}$ cùng phương;                    

B. Hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ cùng hướng;

C. Hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ cùng phương;                    

D. Hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DC}$ ngược hướng.

Câu 14. Trong các hàm số sau, đồ thị của hàm số nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng là

A. y = – 2x² + 4x + 1;

B. y = 2x² + 4x + 3;

C. y = 2x² – 2x + 1;

D. y = x² – x + 5.

Câu 15. Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức vectơ nào sau đây đúng:

Câu 16. Cho tam giác ABC vuông tại A, $BC=a\sqrt{3}$, M là trung điểm của BC và có $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{a^2}{2}$. Tính cạnh AB, AC:

A. AB = a, AC = $a\sqrt{2}$;

B. AB = $a\sqrt{2}$, AC = $a\sqrt{2}$;

C. AB = a, AC = a;

D. AB = $a\sqrt{2}$, AC = a.

Câu 17. Cho số gần đúng là a = 1,2357 với độ chính xác là d = 0,01. Số quy tròn của số a là: 

A. 1,24;

B. 1,2;

C. 1,236;

D. 1.

Câu 18. Hàm số nào dưới đây là hàm nghịch biến với mọi x ∈ ℝ?

A. y = 2x + 1;                  

B. y = – |x|;

C. y = x² + 2x;

D. y = $-\sqrt{3}$x – 1.

Câu 19. Cho các hàm số: f(x) = $\sqrt{x+1}$, g(x) = $\frac{1}{2}x$ và h(x) = x² – x. Trong các hàm số đã cho, số hàm chẵn là:

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Câu 20. Cho hàm số y = (m – 2021)x + m – 2. Điều kiện để hàm số đồng biến trên  ℝ là

A. m < 2021;                         

B. m > 2021;                          

C. 2 < m < 2021;                   

D. m ≥ 2021.

Câu 21. Cho bảng biến thiên sau:

Đồ thị hàm số bậc hai tương ứng với bảng biến thiên trên là :

A. y = x² + 2x – 1;        

B. y = x² – 2x + 2;        

C. y = 2x² – 4x + 4;      

D. y = – 3x² + 6x – 1.

Câu 22. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của OA và CD. Biết $\overrightarrow{EF}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AD}$. Tính giá trị biểu thức a + b:

A. $\frac{1}{4}$;                           

B. $\frac{3}{4}$;                           

C. $\frac{1}{2}$;                           

D. 1.

Câu 23. Giá trị ngoại lệ trong mẫu là

A. giá trị ở chính giữa trong dãy không giảm của mẫu số liệu;

B. giá trị xuất hiện nhiều nhất trong các giá trị của mẫu số liệu;

C. giá trị quá nhỏ hay quá lớn với đa số các giá trị của mẫu số liệu;

D. giá trị trung bình cộng của các giá trị của mẫu số liệu.

Câu 24. Số liệu xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu được gọi là:

A. Số trung bình cộng;

B. Trung vị;

C. Tứ phân vị;

D. Mốt.

Câu 25. Hàm số bậc hai có bảng biến thiên như hình vẽ có tọa độ điểm đỉnh là

A. I(– 3; 3);

B. I(0; – 3);

C. I(– 3; 0);

D. I(0; 0).

Câu 26. Cho điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Hỏi đẳng thức nào sau đây đúng?

Câu 27.  Tìm m để hàm số y = (2m – 3)x + m + 1 đồng biến trên $ℝ$.

Câu 28. Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và $\widehat{ABC}=60°$. Độ dài $\left|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right|$ bằng

Câu 29. Cho hình vuông ABCD tâm O. Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

Câu 30. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng:

Câu 31. Chu vi của hình chữ nhật có chiều rộng là x = 3,456 ± 0,01 và chiều dài là y = 12,732 ± 0,015 và ước lượng sai số tuyệt đối mắc phải là

A. C = 32,376 ± 0,025; ∆_C ≤ 0,05;

B. C = 32,376 ± 0,05; ∆_C ≤ 0,025;

C. C = 32,376 ± 0,5; ∆_C ≤ 0,5;

D. C = 32,376 ± 0,05; ∆_C ≤ 0,05.

Câu 32. Một người đi dọc bờ biển từ vị trí A đến vị trí B và quan sát một ngọn hải đăng ở vị trí C. Góc nghiêng của phương quan sát từ các vị trí A, B tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát là 25° và 42°. Biết khoảng cách giữa hai vị trí A và B là 80 m. Ngọn hải đăng cách bờ biển bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

A. 116 m;

B. 78 m;

C. 104 m;

D. 86 m.

Câu 33. Kết quả điều tra số con của 30 hộ gia đình thuộc một thôn được ghi lại trong bảng sau:

Số trung vị của dãy số liệu trên là

A. 3;

B. 2,5;

C. 2;

D. 4.

Câu 34. Biểu đồ dưới đây thể hiện diện tích lúa cả năm của hai tỉnh An Giang và Kiên Giang từ năm 2010 đến năm 2019 (đơn vị: nghìn hecta):

Trong khoảng từ năm 2010 đến 2013 năm mà diện tích lúa tỉnh Kiên Giang gần gấp 1,2 lần diện tích lúa của tỉnh An Giang nhất là

A. 2010;

B. 2011;

C. 2012;

D. 2013.

Câu 35. Cho tam giác ABC có các góc $\widehat{A}=105°,\widehat{B}=45°$. Tỉ số $\frac{AB}{AC}$ bằng

II. PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)

Bài 1 (1,0 điểm). Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe hon đa Future Fi với chi phí mua một chiếc là 27 triệu đồng và bán ra với giá là 31 triệu đồng. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 200 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải bán với giá bao nhiêu sau khi giảm giá để lợi nhuận thu được là cao nhất.

Bài 2 (1,0 điểm). Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi D và E lần lượt là các điểm thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AC}$.

a) Phân tích vectơ $\overrightarrow{AG}$ theo hai vectơ$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

b) Tìm x để ba điểm D, G, E thẳng hàng. Với giá trị tìm được của x, hãy tính tỉ số $\frac{DG}{DE}$.

Bài 3 (1,0 điểm). Người ta tiến hành phỏng vấn một số người về chất lượng của một sản phẩm mới, người điều tra yêu cầu cho điểm sản phẩm (thang điểm 100) kết quả như sau:

80	65	51	58	77	12	75	58
73	79	42	62	84	56	51	82

a) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn. Nhận xét về các kết quả nhận được.

b) Tìm giá trị bất thường.

HƯỚNG DẪN ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1	A	Câu 8	A	Câu 15	B	Câu 22	D	Câu 29	D
Câu 2	A	Câu 9	A	Câu 16	A	Câu 23	C	Câu 30	B
Câu 3	A	Câu 10	B	Câu 17	B	Câu 24	D	Câu 31	D
Câu 4	C	Câu 11	C	Câu 18	D	Câu 25	C	Câu 32	B
Câu 5	A	Câu 12	C	Câu 19	A	Câu 26	D	Câu 33	C
Câu 6	C	Câu 13	C	Câu 20	B	Câu 27	D	Câu 34	D
Câu 7	A	Câu 14	A	Câu 21	C	Câu 28	B	Câu 35	B

 

Hướng dẫn chi tiết:

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 ĐIỂM)

Câu 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Câu “Bạn học giỏi quá!” là câu cảm thán không xác định được tính đúng sai nên câu này không phải mệnh đề. Do đó A đúng.

Câu 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Hàm số xác định khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}2-x\ge 0\\ 2+x\ge 0\\ x\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\le 2\\ x\ge -2\\ x\ne 0\end{array}\right.\iff -2\le x\le 2,x\ne 0$.

Do đó tập xác định của hàm số là: D = [– 2; 2] \ {0}.

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Ta có:

Khi đó A ∩ B = (2; 5].

Câu 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Để $A\cap B=\varnothing$ thì m – 1 > 1 ⇔ m > 2.

Câu 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong tam giác không tô màu trong hình.

Câu 6.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

cos113° + cos45° + cos67°

= cos(180° – 67°) + cos67° + cos45°

= – cos67° + cos67° + cos45°

= 0 + $\frac{\sqrt{2}}{2}$

= $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Câu 7.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta được:

Câu 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$a^2=b^2+c^2-2bc.\cos A$.

Câu 9.  

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Câu 10.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Câu 11.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Hàng của chữ số khác 0 đầu tiên của độ chính xác là hàng phần chục nghìn. Quy tròn số $\overline{a}$ đến hàng phần chục nghìn ta được số gần đúng của $\overline{a}$ là: 12,0964.

Câu 12.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vectơ $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$.

Câu 13.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ cùng phương nhưng  ngược hướng. Do đó C đúng và B sai.

Hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DC}$ cùng hướng. Do đó D sai.

Hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC}$ không cùng phương. Do đó A sai.

Câu 14.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Ta có:

Hàm số bậc hai y = – 2x² + 4x + 1 có a = – 2, b = 4, c = 1. Khi đó trục đối xứng là x = $-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2.(-2)}=1$.

Hàm số bậc hai y = 2x² + 4x + 3 có a = 2, b = 4, c = 3. Khi đó trục đối xứng là x = $-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2.2}=-1$.

Hàm số bậc hai y = 2x² – 2x + 1 có a = 2, b = – 2, c = 1. Khi đó trục đối xứng là x = $-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2.2}=-\frac{1}{2}$.

Hàm số bậc hai y = x² – x + 5 có a = 1, b = –1, c = 5. Khi đó trục đối xứng là x = $-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2.2}=\frac{1}{4}$.

Câu 15.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta được: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$.

Câu 16.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC vuông tại A, có:

AM = $\frac{1}{2}$BC =$\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Xét tam giác ABM:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABM, có:

AB² = AM² + BM² – 2.AM.BM.$cos\left(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}\right)$

⇔ AB² = ${\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2-2.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{3}$ 

⇔ AB² = a²

⇔ AB = a

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ABC, ta được:

AC² = BC² – AB² = 3a² – a² = 2a²

⇔ AC = $\sqrt{2}$a.

 Vậy AB = a và AC = $\sqrt{2}$a.

Câu 17.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Hàng lớn nhất của độ chính xác là hàng phần trăm thì ta cần làm tròn đến hàng phần mười. Khi đó ta có số quy tròn của số gần đúng a là 1,2.

Câu 18.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hàm số y = ax + b nghịch biến trên ℝ khi a < 0. Do đó D đúng và A sai.

Hàm số y = – |x| vừa đồng biến và nghịch biến trên ℝ.

Hàm số y = x² + 2x vừa đồng biến và nghịch biến trên ℝ.

Câu 19.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) Xét hàm số: f(x) = $\sqrt{x+1}$, có TXĐ: D = [ – 1; +∞).

Lấy x ∈ D và – x ∈ D

Khi đó f(– x) = $\sqrt{-x+1}$ ≠ f(x).

Do đó hàm số không chẵn cũng không lẻ.

+) Xét hàm số g(x) = $\frac{1}{2}x$ có TXĐ D = ℝ

Lấy x ∈ D và – x ∈ D

Khi đó: g( – x) = $\frac{1}{2}\left(-x\right)=-\frac{1}{2}x$= – g(x).

Do đó hàm số đã cho là hàm lẻ.

+) Xét hàm số h(x) = x² – x

Lấy x ∈ D và – x ∈ D

Khi đó: h( – x) = (– x)² – (– x) = x² + x ≠ h(x).

Do đó hàm số đã cho là hàm không chẵn cũng không lẻ.

Vậy không có hàm số nào chẵn.

Câu 20.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Để hàm số y = (m – 2021)x + m – 2 đồng biến trên ℝ khi m – 2021 > 0 ⇔ m > 2021.

Vậy với m > 2021 thì hàm số đồng biến trên ℝ.

Câu 21.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Gọi hàm số bậc hai cần tìm là: y = ax² + bx + c (với a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy a > 0 nên đáp án D sai.

Ta có: x_I = $-\frac{b}{2a}=1$ ⇔ b = – 2a. Do đó A sai.

Ta lại có: y_I = $-\frac{\Delta }{4a}=2$⇔ ∆ = – 8a ⇔ b² – 4ac = – 8a ⇔ 4a² – 4ac = – 8a ⇔ a – c = – 2 ⇔ c = a + 2

+) Nếu a = 1 thì b = – 2 và c = 3. Do đó B sai.

+) Nếu a = 2 thì b = – 4 và c = 4. Do đó C đúng.

Câu 22.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Câu 23. 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Giá trị ngoại lệ là giá trị quá nhỏ hoặc quá lớn so với các giá trị khác trong mẫu số liệu.

Câu 24. 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là:

Số liệu xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu được gọi là mốt của số liệu, kí hiệu là M₀.

Câu 25. Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Dựa vào bảng biến thiên ta có điểm đỉnh I có tọa độ I(– 3; 0).

Câu 26.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì I là trung điểm của đoạn thẳng AB nên ta có: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$.

Câu 27. 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Để hàm số đã cho đồng biến trên ℝ thì 2m – 3 > 0 ⇔ m > $\frac{3}{2}$.

Câu 28.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Xét tam giác ABC có AB = BC nên tam giác ABC cân tại B mà $\widehat{ABC}=60°$. Do đó tam giác ABC đều

Suy ra AB = BC = AC = a.

Ta có: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=a$.

Câu 29.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Câu 30.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hàm số đồng biến (đi lên) trên khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$.

Câu 31.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: 3,446 ≤ x ≤ 3,466 và 12,717 ≤ y ≤ 12,747

Khi đó chu vi C = 2(x + y) của hình chữ nhật nằm trong khoảng: 32,326 ≤ C ≤  32,426

Suy ra 32,376 – 0,05 ≤ C ≤ 32,376 + 0,05 hay C = 32,376 ± 0,05.

Ta có độ chính xác là d = 0,05

Suy ra sai số tuyệt đối của C là: ∆_C ≤ 0,05.

Câu 32.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Kẻ CH vuông góc với bờ AB.

Xét tam giác ABC, có:

Vậy khoảng cách từ ngọn hải đăng tới bờ là khoảng 78 m.

Câu 33.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có bảng tần số sau:

Số con (x)	0	1	2	3	4
Tần số (n)	2	4	17	5	2

 

Dựa vào bảng tần số trên ta có số trung vị của dãy số liệu là trung bình cộng của số liệu thứ 15 và số liệu thứ 16 là: Q₂ = $\frac{2+2}{2}=2$.

Câu 34.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Năm 2010: Diện tích lúa của Kiên Giang là 640 (hecta), của An Giang là 590 (hecta). Do đó diện tích lúa của Kiên Giang gấp: 640 : 590 ≈ 1,08 (lần) diện tích lúa của An Giang.

Năm 2011: Diện tích lúa của Kiên Giang là 690 (hecta), của An Giang là 610 (hecta). Do đó diện tích lúa của Kiên Giang gấp: 690 : 610 ≈ 1,13 (lần) diện tích lúa của An Giang.

Năm 2012: Diện tích lúa của Kiên Giang là 720 (hecta), của An Giang là 620 (hecta). Do đó diện tích lúa của Kiên Giang gấp: 720 : 620 ≈ 1,16 (lần) diện tích lúa của An Giang.

Năm 2013: Diện tích lúa của Kiên Giang là 760 (hecta), của An Giang là 649 (hecta). Do đó diện tích lúa của Kiên Giang gấp: 760 : 649 ≈ 1,17 (lần) diện tích lúa của An Giang.

Câu 35.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC, có:

II. Tự luận (3 điểm)

Bài 1 (1,0 điểm).

Hướng dẫn giải

Gọi số tiền mà doanh nghiệp A dự định giảm giá là x ( triệu đồng) (0 ≤ x ≤ 4).

Tiền lãi khi bán được một xe là: 31 – x – 27 = 4 – x (triệu đồng).

Số lượng xe bán được khi đã giảm giá là: 600 + 200x (xe).

Lợi nhuận cửa hàng thu được là: (600 + 200x)(4 – x) = – 200x² + 200x + 2 400 (triệu đồng).

Xét hàm số bậc hai y = – 200x² + 200x + 2 400, có:

Đỉnh I có tọa độ: x_I = $-\frac{b}{2a}=-\frac{200}{2.\left(-200\right)}=\frac{1}{2}$; y_S = $-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{1960000}{4.\left(-200\right)}=2450$.

Hay $I\left(\frac{1}{2};2\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}450\right)$

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số đạt giá trị lớn nhất là 2 450 khi x = $\frac{1}{2}$.

Vậy doanh nghiệp phải bán với giá 30,5 triệu đồng để lợi nhuận thu được là cao nhất.

Bài 2 (1,0 điểm).

Hướng dẫn giải

a) Gọi M là trung điểm của BC

Xét tam giác ABC, có:

Bài 3 (1,0 điểm).

Hướng dẫn giải

Ta có bảng tần số sau:

Điểm	12	42	51	56	58	62	65	73	75	77	79	80	82	84
Tần số	1	1	2	1	2	1	1	1	1	1	1	1	1	1

a) Số trung bình cộng:

Độ lệch chuẩn:

$S=\sqrt{S^2}\approx 18$.

Nhận xét: Mức độ chênh lệch giữa các điểm là khá lớn.

b) Dãy số liệu có tất cả 16 số liệu, nên số trung vị là trung bình cộng của dãy số liệu ở vị trí 8 và vị trí thứ 9 ta được: $Q_2=\frac{62+65}{2}=63,5$.

Nửa số liệu bên trái gồm: 12; 42; 51; 51; 56; 58; 58; 62 gồm 8 giá trị. Do đó tứ phân vị thứ nhất là $Q_1=\frac{51+56}{2}=53,5$.

Nửa số liệu bên trái gồm: 65; 73; 75; 77; 79; 80; 82; 84 gồm 8 giá trị. Do đó tứ phân vị thứ ba là $Q_3=\frac{77+79}{2}=78$.

Suy ra khoảng tứ phân vị là: ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 78 – 53,5 ≈ 24,5.

Ta có: Q₃ + 1,5.∆_Q = 114,75 và Q₁ – 1,5.∆_Q = 16,75.

Ta thấy 12 < 16,75 nên 12 là giá trị ngoại lệ.

Đề thi Học kì 1 Toán lớp 10 có đáp án năm 2024 - Cánh diều

Đề thi Học kì 1 Toán lớp 10 có đáp án năm 2024 - Đề 1

Phòng Giáo dục và Đào tạo ...

Đề thi Học kì 1 - Cánh diều

Năm học 2024 - 2025

Môn: Toán lớp 10

Thời gian làm bài: phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 1)

A. TRẮC NGHIỆM (5,0 điểm)

Câu 1. Trục đối xứng của parabol y = x² + 3x – 1 là đường thẳng:

A. $x=\frac{3}{4}$;

B. $x=-\frac{3}{4}$;

C. $x=\frac{3}{2}$;

D. $x=-\frac{3}{2}$.

Câu 2. Cho α là góc nhọn. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\cot \alpha <0,\sin \alpha <0$;

B. $\cot \alpha >0,\sin \alpha >0$;

C. $\cot \alpha >0,\sin \alpha <0$;

D. $\cot \alpha <0,\sin \alpha >0$.

Câu 3. Cho hình bình hành ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 2, $\widehat{ABC}=72°$. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$ gần với giá trị nào nhất sau đây:

A. 2,1;                                                                     

B. 6,5;

C. 2,5;                                                                     

D. 6,0.

Câu 5. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃x ∈ ℝ, x³ – 2x + 1 < 0” là:

A. ∀x ∈ ℝ, x³ – 2x + 1 ≥ 0;

B. ∀x ∈ ℝ, x³ – 2x + 1 < 0”;

C. ∃x ∈ ℝ, x³ – 2x + 1 ≥ 0”;                                    

D. ∀x ∈ ℝ, x³ – 2x + 1 > 0”.

Câu 6. Cho hai vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$> Tích vô hướng của $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$ được xác định bởi công thức

Câu 7. Cho hình bình hành ABCD, có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác ABC (tham khảo hình vẽ bên). Khi đó $\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AG}$. Vậy k bằng:

A. $k=\frac{2}{3}$;

B. $k=\frac{1}{3}$;

C. $k=\frac{3}{2}$;

D. k = 3.

Câu 8. Cho hai tập hợp A = {– 3; – 1; 1; 2; 4; 5} và B = {– 2; – 1; 0; 2; 3; 5}. Tập hợp A\B:

A. A \ B = {– 3; 1; 4};                                             

B. A \ B = { – 2; 0; 3};

C. A \ B = {– 1; 2; 5};                                             

D. $A\backslash B=\left\{-3;-1;2;5\right\}.$

Câu 9. Tập hợp A = {x ∈ ℝ| – 2 ≤ x < 0} viết lại dưới dạng khác là:

A. A = (– 2; 0];                                                        

B. A = [– 2; 0];                  

C. A = [– 2; 0);

D. A = {– 2; – 1}.

Câu 10. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục hoành làm trục đối xứng.

B. Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

C. Đồ thị của một hàm số chẵn nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

D. Đồ thị của một số chẵn đi qua gốc tọa độ.

Câu 11. Hai điểm A, B nằm trên đồ thị hàm số y = |x| và đối xứng với nhau qua trục tung. Biết $AB=\sqrt{3}$>, diện tích S của tam giác OAB là (biết O là gốc tọa độ, tham khảo đồ thị hàm số y = |x| ở hình vẽ bên).

A. $S=\frac{\sqrt{3}}{4}$;

B. $S=\frac{3}{4}$;

C. $S=\frac{3}{2}$;

D. $S=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Câu 12. Cho $\overrightarrow{a}=(2;-1),\overrightarrow{b}=(4;-2).$ Tọa độ của vectơ $\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{3}{4}\overrightarrow{b}$ là:

A. (1;  – 1);

B. (– 2; 1);                        

C. (4; – 2);                        

D. (– 3; 5).

Câu 13. Cho hình vuông ABCD. Có bao nhiêu vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{AB}$:

A. 1;                                                                        

B. 2;                                  

C. 3;                                                                        

D. 0.

Câu 14. Giá trị nào dưới đây là nghiệm của phương trình $x+\sqrt{1-x^2}=-1$?

A. x = 0;                            

B. x = – 1;                         

C. x = 0 và x = – 1;           

D. Không tồn tại x là nghiệm của phương trình.

Câu 15. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 2, AC = 5, $\widehat{ABC}=34°$.Tính $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC}$:

A. 7,4;                                                                     

B. – 7,4;

C. 4,4;                                                                     

D. – 4,4.

Câu 16. Cho parabol (P):

Hình vẽ trên là đồ thị của hàm số bậc hai nào dưới đây:

A. y = 3x² – 6x – 1;

B. y = x² – 2x – 1;

C. y = – x² + 2x + 1;

D. y = – 3x² + 6x – 1.

Câu 17. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?

A. f(x) = x³ + 1;                

B. f(x) = 2x⁴ + 3;               

C. f(x) = |x|;                      

D. f(x) = x³.

Câu 18. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

A. Tập nghiệm phương trình $\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g\left(x\right)}$ là tập nghiệm của phương trình f(x) = g(x);

B. Tập nghiệm phương trình $\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g\left(x\right)}$ là tập nghiệm của phương trình [f(x)]² = [g(x)]²;        

C. Mọi nghiệm của phương trình f(x) = g(x) đều là nghiệm của phương trình $\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g\left(x\right)}$;        

D. Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g\left(x\right)}$ là tập hợp các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) thỏa mãn bất phương trình f(x) ≥ 0 (hoặc g(x) ≥ 0).

Câu 19. Cho tứ giác ABCD. Xác định điểm M thỏa mãn: $3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}$

A. M là điểm thỏa mãn MA = MG;

B. M là trung điểm của AG;

C. M thuộc đoạn AG thỏa mãn MA = 3 MG;

D. M thuộc trung trực của đoạn thẳng AG.

Câu 20. Cho tứ giác ABC có AB = 5, AC = 4, $\widehat{BAC}=92°$. Khi đó độ dài BC khoảng:

A. 42,4;

B. 6,5;                               

C. 3;                                  

D. 3,2.

Câu 21. Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình – x² + 2x – 4 ≤ 0. Khi đó S bằng:

A. ℝ;

B. ℝ\{2; 4};                      

C. ∅;                                 

D. {2; 4}.

Câu 22. Cho hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y\ge -4\\ x-3y<0\\ x>0\end{array}\right.$. Điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho?

A. M(– 5; 1);

B. N(4; 1);                        

C. P(0; 1);                         

D. Q(1; 2).

Câu 23. Với giá trị nào của tham số m thì tam thức f(x) = – x² – 3x + m – 5 không dương với mọi x:

A. m = 2;

B. m = 4;                           

C. m = 3;                          

D. m = 6.

Câu 24. Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) (như hình vẽ) hãy tìm tập nghiệm của bất phương trình f(x) > 0:

A. [1; 3];

B. (1; 3];                           

C. (1; 3);                           

D. {1; 2; 3}.

Câu 25. Nếu hai điểm M và N thỏa mãn: $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NM}=-16$ thì độ dài đoạn MN bằng:

A. 8;

B. 4;                                  

C. 2;                                  

D. 64.

B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Bài 1. (1,0 điểm)

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x² – 5x.

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình $\sqrt{x^2-(2m-1)x-m^2+5m-1}=x+1$ có một nghiệm duy nhất.

Bài 2. (1,0 điểm)

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có $\left|\overrightarrow{a}\right|=2,5$, $\left|\overrightarrow{b}\right|=4,6$ và $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-5,75$. Tính $\cos \left(\overrightarrow{a}\text{,}\overrightarrow{b}\right).$

b) Cho tam giác ABC , M là trung điểm của cạnh BC điểm N nằm trên cạnh AC sao cho NA = 2NC , D là trung điểm của AN. Chứng minh $\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AB}=6\overrightarrow{MN}.$

Bài 3. (1,0 điểm) Bác Nam muốn uốn tấm tôn phẳng có dạng hình chữ nhật với bề ngang 40 cm thành một rãnh dẫn nước bằng cách chia tấm tôn đó thành ba phần rồi gấp hai bên lại theo một góc vuông sao cho độ cao hai thành rãnh bằng nhau. Để đảm bảo kĩ thuật, diện tích mặt cắt ngang của rãnh dẫn nước phải lớn hơn hoặc bằng 160 cm². Bác Nam cần làm rãnh nước có độ cao ít nhất là bao nhiêu xăng – ti – mét để đảm bảo kĩ thuật?

HƯỚNG DẪN ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

A. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)

Câu 1	D	Câu 6	A	Câu 11	B	Câu 16	A	Câu 21	B
Câu 2	B	Câu 7	D	Câu 12	B	Câu 17	D	Câu 22	D
Câu 3	C	Câu 8	A	Câu 13	C	Câu 18	D	Câu 23	C
Câu 4	B	Câu 9	C	Câu 14	B	Câu 19	B	Câu 24	C
Câu 5	A	Câu 10	B	Câu 15	B	Câu 20	B	Câu 25	B

Hướng dẫn đáp án chi tiết

Câu 1. Trục đối xứng của parabol y = x² + 3x – 1 là đường thẳng:

Đáp án đúng là D

Parabol y = x² + 3x – 1 có trục đối xứng là đường thẳng $x=-\frac{3}{2}$.

Câu 2. Cho α là góc nhọn. Khẳng định nào sau đây đúng?

Đáp án đúng là B

Vì α là góc nhọn nên sinα > 0 và cosα > 0

⇒ cotα = $\frac{cos\alpha }{\sin \alpha }>0$

Vậy chọn đáp án B.

Câu 3. Cho hình bình hành ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?

Đáp án đúng là C

Lấy điểm E sao cho ABDE là hình bình hành, khi đó $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{ED}$

Suy ra AB = ED mà AB = CD nên DE = DC hay D là trung điểm của EC.

Ta có: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AD}$ (quy tắc hình bình hành).

Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 2, $\widehat{ABC}=72°$. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$ gần với giá trị nào nhất sau đây:

A. 2,1;                                                                     

B. 6,5;

C. 2,5;                                                                     

D. 6,0.

Đáp án đúng là B

Ta có: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$

⇒ $\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|=BC$

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

cosB = $\frac{AB}{BC}$

⇔ cos72° = $\frac{2}{BC}$

⇔  BC  = $\frac{2}{BC}$.

Vậy độ dài của vectơ $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$ gần vớ 6,5.

Câu 5. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃x ∈ ℝ, x³ – 2x + 1 < 0” là:

A. ∀x ∈ ℝ, x³ – 2x + 1 ≥ 0;

B. ∀x ∈ ℝ, x³ – 2x + 1 < 0”;

C. ∃x ∈ ℝ, x³ – 2x + 1 ≥ 0”;                                    

D. ∀x ∈ ℝ, x³ – 2x + 1 > 0”.

Đáp án đúng là A

Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃x ∈ ℝ, x³ – 2x + 1 < 0” là ∀x ∈ ℝ, x³ – 2x + 1 ≥ 0.

Câu 6. Cho hai vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}.$ Tích vô hướng của $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$ được xác định bởi công thức

Đáp án đúng là A

Tích vô hướng của $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$ được xác định bởi công thức $\overrightarrow{x}.\overrightarrow{y}=\left|\overrightarrow{x}\right|.\left|\overrightarrow{y}\right|.\cos (\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}).$

Câu 7. Cho hình bình hành ABCD, có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác ABC (tham khảo hình vẽ bên). Khi đó$\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AG}$. Vậy k bằng:

A. $k=\frac{2}{3}$;

B. $k=\frac{1}{3}$;

C. $k=\frac{3}{2}$;

D. k = 3.

Đáp án đúng là D

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có: $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$.

Mặt khác ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$

⇒ $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$ hay$\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$.

Vậy k = 3.

Câu 8. Cho hai tập hợp A = {– 3; – 1; 1; 2; 4; 5} và B = {– 2; – 1; 0; 2; 3; 5}. Tập hợp A\B:

A. A \ B = {– 3; 1; 4};                                             

B. A \ B = { – 2; 0; 3};

C. A \ B = {– 1; 2; 5};                                             

D. A \ B = {-3;-1; 2; 5}.

Đáp án đúng là A

Ta có tập hợp A \ B là tập hợp các phần tử thuộc tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B nên khi đó ta có: A \ B = {– 3; 1; 4}.

Câu 9. Tập hợp A = {x ∈ ℝ| – 2 ≤ x < 0} viết lại dưới dạng khác là:

A. A = (– 2; 0];                                                        

B. A = [– 2; 0];                  

C. A = [– 2; 0);

D. A = {– 2; – 1}.

Đáp án đúng là C

Ta có: A = {x ∈ ℝ| – 2 ≤ x < 0} = [– 2; 0).

Câu 10. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục hoành làm trục đối xứng.

B. Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

C. Đồ thị của một hàm số chẵn nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

D. Đồ thị của một số chẵn đi qua gốc tọa độ.

Đáp án đúng là B

Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

Câu 11. Hai điểm A, B nằm trên đồ thị hàm số y = |x| và đối xứng với nhau qua trục tung. Biết$AB=\sqrt{3}$, diện tích S của tam giác OAB là (biết O là gốc tọa độ, tham khảo đồ thị hàm số y = |x| ở hình vẽ bên).

Đáp án đúng là B

Vì A và B đối xứng với nhau qua Oy nên AB ⊥ Oy

Mà Ox ⊥ Oy nên AB // Ox

Kẻ AH vuông góc với Ox và gọi K là trung điểm của AB.

Ta có $AB=\sqrt{3}$ nên AK = KB = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ hay OH = $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Suy ra x_A = $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Mặt khác A thuộc vào đồ thị hàm số nên y_A = |x_A| = $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

⇒ OK = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Diện tích tam giác OAB là: S_OAB = $\frac{1}{2}.OK.AB=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=\frac{3}{4}$ (đvdt).

Vậy diện tích tam giác OAB là $S=\frac{3}{4}$.

Câu 12. Cho $\overrightarrow{a}=(2;-1),\overrightarrow{b}=(4;-2).$ Tọa độ của vectơ $\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{3}{4}\overrightarrow{b}$ là:

A. (1;  – 1);

B. (– 2; 1);                        

C. (4; – 2);                        

D. (– 3; 5).

Đáp án đúng là B

Ta có:

$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}=\frac{1}{2}(2;-1)=\left(1;-\frac{1}{2}\right)$;

$\frac{3}{4}\overrightarrow{b}=\frac{3}{4}(4;-2)=\left(3;-\frac{3}{2}\right)$.

Khi đó: $\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{3}{4}\overrightarrow{b}=\left(1-3;-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\right)=\left(-2;1\right)$.

Câu 13. Cho hình vuông ABCD. Có bao nhiêu vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{AB}$:

A. 1;                                                                        

B. 2;                                  

C. 3;                                                                        

D. 0.

Đáp án đúng là C

Các vectơ cùng phương là các vectơ có giá song song hoặc trùng nhau. Do đó các vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{AB}$ là: $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{DC}$$\overrightarrow{CD}$.

Vậy có 3 vec tơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Câu 14. Giá trị nào dưới đây là nghiệm của phương trình $x+\sqrt{1-x^2}=-1$?

A. x = 0;                            

B. x = – 1;                         

C. x = 0 và x = – 1;           

D. Không tồn tại x là nghiệm của phương trình.

Đáp án đúng là B

Xét phương trình sqrt>1−x2=−1

⇔ $\sqrt{1-x^2}$>< = – 1 – x (điều kiện – 1 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ – 1)

⇔ 1 – x² = x² + 2x + 1

⇔ 2x² + 2x = 0 

⇔ $\left[\begin{array}{l}2x=0\\ x+1=0\end{array}\right.$⇔ $\left[\begin{array}{l}x=0\left(KMT\right)\\ x=-1\left(TM\right)\end{array}\right.$

Vậy x =  – 1 là nghiệm của phương trình đã cho.

Câu 15. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 2, AC = 5, $\widehat{ABC}=34°$.Tính $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC}$:

A. 7,4;                                                                     

B. – 7,4;

C. 4,4;                                                                     

D. – 4,4.

Đáp án đúng là B

Câu 16. Cho parabol (P):

Hình vẽ trên là đồ thị của hàm số bậc hai nào dưới đây:

A. y = 3x² – 6x – 1;

B. y = x² – 2x – 1;

C. y = – x² + 2x + 1;

D. y = – 3x² + 6x – 1.

Đáp án đúng là A

Gọi hàm số cần tìm có dạng y = ax² + bx + c (a ≠ 0)

Quan sát hình vẽ ta có:

- Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm B(0; – 1) nên thay tọa độ điểm B vào hàm số ta được c = – 1.

- Tọa độ điểm đỉnh I(1; – 4)

Khi đó: $-\frac{b}{2a}=1\iff b=-2a$  

Và $-\frac{\Delta }{4a}=-4\iff \Delta =16a\iff b^2-4ac=16a$

Thay b = – 2a vào biểu thức trên ta được: 4a² + 4a = 16a ⇔ 4a² – 12a = 0 ⇔ a = 0 (không TM) hoặc a = 3 (TM).

⇒ b = – 2.3 = – 6 .

Vậy hàm số cần tìm là: y = 3x² – 6x – 1.

Câu 17. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?

A. f(x) = x³ + 1;                

B. f(x) = 2x⁴ + 3;               

C. f(x) = |x|;                      

D. f(x) = x³.

Đáp án đúng là D

+) Xét hàm số f(x) = x³ + 1

Tập xác định: D = ℝ          

Lấy – x ∈ D, khi đó f(– x) = (– x)³ + 1 = – x³ + 1.

Do đó f(x) không chẵn cũng không lẻ. 

+) Xét hàm số f(x) = 2x⁴ + 3

Tập xác định: D = ℝ          

Lấy – x ∈ D, khi đó f(– x) = 2(– x)⁴ + 3 = 2x⁴ + 3 = f(x).

Do đó f(x) là hàm chẵn.    

+) Xét hàm số f(x) = |x|

Tập xác định: D = ℝ          

Lấy – x ∈ D, khi đó f(– x) = |– x| = |x| = f(x).

Do đó f(x) là hàm chẵn.    

+) Xét hàm số f(x) = x³

Tập xác định: D = ℝ          

Lấy – x ∈ D, khi đó f(– x) = (– x)³ = – x³ = – f(x).

Do đó f(x) là hàm lẻ.

Câu 18. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

A. Tập nghiệm phương trình $\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g\left(x\right)}$ là tập nghiệm của phương trình f(x) = g(x);

B. Tập nghiệm phương trình $\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g\left(x\right)}$ là tập nghiệm của phương trình [f(x)]² = [g(x)]²;        

C. Mọi nghiệm của phương trình f(x) = g(x) đều là nghiệm của phương trình $\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g\left(x\right)}$;        

D. Tập nghiệm của phương trình$\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g\left(x\right)}$ là tập hợp các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) thỏa mãn bất phương trình f(x) ≥ 0 (hoặc g(x) ≥ 0).

Đáp án đúng là D

Xét phương trình $\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g\left(x\right)}$

Điều kiện xác định f(x) ≥ 0 hoặc g(x) ≥ 0

Bình phương hai vế của phương trình đã cho ta được: f(x) = g(x)

Vì vậy tập nghiệm của phương trình $\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g\left(x\right)}$ là tập hợp các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) thỏa mãn bất phương trình f(x) ≥ 0 (hoặc g(x) ≥ 0).

Câu 19. Cho tứ giác ABCD. Xác định điểm M thỏa mãn: $3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}$

A. M là điểm thỏa mãn MA = MG;

B. M là trung điểm của AG;

C. M thuộc đoạn AG thỏa mãn MA = 3 MG;

D. M thuộc trung trực của đoạn thẳng AG.

Đáp án đúng là B

Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, khi đó ta có: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$

Vậy M là trung điểm của GA.

Câu 20. Cho tứ giác ABC có AB = 5, AC = 4, $\widehat{BAC}=92°$. Khi đó độ dài BC khoảng:

A. 42,4;

B. 6,5;                               

C. 3;                                  

D. 3,2.

Đáp án đúng là B

Xét tam giác ABC, có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cos$\widehat{BAC}$

= 4² + 5² – 2.4.5.cos92°

≈ 42,4

⇒ BC = 6,5

Vậy BC = 6,5.

Câu 21. Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình – x² + 2x – 4 ≤ 0. Khi đó S bằng:

A. ℝ;

B. ℝ\{2; 4};                      

C. ∅;                                 

D. {2; 4}.

Đáp án đúng là B

Xét bất phương trình – x² + 2x – 4 ≤ 0 có a = – 1 < 0 và ∆’ = (– 1)² – (– 1)(– 4) = – 3 < 0.

Dựa vào định lí dấu tam thức bậc hai ta có – x² + 2x – 4 ≤ 0 ∀x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ℝ.

Câu 22. Cho hệ bất phương trình>$\left\{\begin{array}{l}x+y\ge -4\\ x-3y<0\\ x>0\end{array}\right.$. Điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho?

A. M(– 5; 1);

B. N(4; 1);                        

C. P(0; 1);                         

D. Q(1; 2).

Đáp án đúng là D

Xét hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y\ge -4\left(1\right)\\ x-3y<0\left(2\right)\\ x>0\left(3\right)\end{array}\right.$

Thay lần lượt tọa độ các điểm M, N, P, Q vào hệ bất phương trình ta có:

Tọa độ điểm M không thỏa mãn BPT (3);

Tọa độ điểm N không thỏa mãn BPT (2);

Tọa độ điểm P không thỏa mãn BPT (3);

Tọa độ điểm Q thỏa mãn tất cả các BPT của hệ nên thuộc vào miền nghiệm.

Vậy chọn D.

Câu 23. Với giá trị nào của tham số m thì tam thức f(x) = – x² – 3x + m – 5 không dương với mọi x:

A. m = 2;

B. m = 4;                           

C. m = 3;                          

D. m = 6.

Đáp án đúng là C

Xét tam thức f(x) = – x² – 3x + m – 5 có a = – 1 và ∆ = (– 3)² – 4.(– 1).(m – 5) = 9 + 4m – 20 = 4m – 11.

Để tam thức f(x) = – x² – 3x + m – 5 không dương với mọi x thì ∆ ≤ 0

⇔ 4m – 11 ≤ 0

⇔ m ≤ $\frac{11}{4}$

Vậy m = 2 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 24. Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) (như hình vẽ) hãy tìm tập nghiệm của bất phương trình f(x) > 0:

A. [1; 3];

B. (1; 3];                           

C. (1; 3);                           

D. {1; 2; 3}.

Đáp án đúng là C

Quan sát hình vẽ ta thấy với x ∈ (1; 3) thì đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành.

Hay f(x) > 0 khi x ∈ (1; 3).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình f(x) > 0 là S = (1; 3).

Câu 25. Nếu hai điểm M và N thỏa mãn: $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NM}=-16$ thì độ dài đoạn MN bằng:

A. 8;

B. 4;                                  

C. 2;                                  

D. 64.

Đáp án đúng là B

Ta có: $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NM}$ = MN.NM.$c\text{os}\left(\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NM}\right)$ = MN².cos180^o = -MN²

Suy ra – MN² = – 16 ⇔ MN = $\sqrt{16}=4$

Vậy MN = 4.

B. TỰ LUẬN (5,0 điểm)

Bài 1. (2,0 điểm)

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x² – 5x.

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình $\sqrt{x^2-(2m-1)x-m^2+5m-1}=x+1$ có một nghiệm duy nhất.

a) Xét hàm số y = x² – 5x, có: a = 1, b = – 5, c = 0 và ∆ = (– 5)² – 4.1.0 = 25

Khi đó, ta có:

- Điểm đỉnh I có x_I = $-\frac{b}{2a}=-\frac{-5}{2.1}=\frac{5}{2}$; y_I = $-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{25}{4.1}=-\frac{25}{4}$;

- a = 1 > 0 .

Do đó ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số sẽ đồng biến trên khoảng$\left(-\infty ;\frac{5}{2}\right)$, hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{5}{2};+\infty \right)$.

b) Xét hàm số y = x² – 5x, có: a = 1, b = – 5, c = 0 và ∆ = (– 5)² – 4.1.0 = 25

Khi đó, ta có:

- Điểm đỉnh I có x_I = $-\frac{b}{2a}=-\frac{-5}{2.1}=\frac{5}{2}$; y_I = $-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{25}{4.1}=-\frac{25}{4}$. Do đó I$\left(\frac{5}{2};-\frac{25}{4}\right)$.

- Trục đối xứng của đồ thị là $x=\frac{5}{2}$.

- Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ (0; 0).

- Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ (0; 0) và (5; 0).

- Ta có a = 1 > 0 bề lõm của đồ thị quay lên trên.

b) Xét phương trình $\sqrt{x^2-(2m-1)x-m^2+5m+\frac{15}{4}}=x+1$>(*)

Điều kiện x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ – 1

(*) ⇔ x² – (2m – 1)x – m² + 5m + $\frac{15}{4}$ = x² + 2x + 1

⇔ (2m + 1)x + m² – 5m – $\frac{11}{4}$ = 0

+) TH1: 2m + 1 = 0 ⇔ m = $-\frac{1}{2}$. Khi đó ta có:

⇔ 0.x + 0 = 0 (luôn đúng) với mọi x ≥ – 1

Do đó m = $-\frac{1}{2}$ thỏa mãn.

+) TH1: 2m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ $-\frac{1}{2}$. Khi đó ta có:

(2m + 1)x + m² – 5m – $\frac{11}{4}$ = 0

⇔ x = $-\frac{m^2-5m-\frac{11}{4}}{2m+1}$

Để phương trình có nghiệm thì $-\frac{m^2-5m-\frac{11}{4}}{2m+1}\ge -1$

⇔ m² – 5m – $\frac{11}{4}$ ≥ – 2m – 1

⇔ m² – 3m – $\frac{7}{4}$ ≥ 0

Xét tam thức bậc hai f(m) = m² – 3m – $\frac{7}{4}$, có a = 1 và ∆ = (– 3)² – 4.1.$\left(-\frac{7}{4}\right)$ = 16 > 0 suy ra f(m) có hai nghiệm m₁ = $-\frac{1}{2}$ và m₂ = $\frac{7}{2}$.

Dựa vào định lí dấu tam thức bậc hai ta có:

f(m) ≥ 0 ⇔ m ≤ $-\frac{1}{2}$ hoặc m ≥ $\frac{7}{2}$.

Suy ra m < $-\frac{1}{2}$ hoặc m ≥ $\frac{7}{2}$.

Vậy với m ≤ $-\frac{1}{2}$ hoặc m ≥ $\frac{7}{2}$ thì phương trình có nghiệm.

Bài 2. (1,5 điểm)

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy  cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$ có $\left|\overrightarrow{a}\right|=2,5$, $\left|\overrightarrow{b}\right|=4,6$ và $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-5,75$. Tính $\cos \left(\overrightarrow{a}\text{,}\overrightarrow{b}\right).$

b) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC điểm N nằm trên cạnh AC sao cho NA = 2NC , D  là trung điểm của AN. Chứng minh $\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AB}=6\overrightarrow{MN}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$

⇔ $\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{-5,75}{2,5.4,6}=-0,5$

Vậy $\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=-0,5$.

b)

Ta có hình vẽ sau:

+) Ta có AC = 3DA và $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{DA}$ là hai vec tơ ngược hướng nên $\overrightarrow{AC}=-3\overrightarrow{DA}$

Hay $\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$.

+) Ta có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}$

⇔ $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

⇔ $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

⇔ $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

⇔ $6\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AB}$.

Bài 3. (1,5 điểm) Bác Nam muốn uốn tấm tôn phẳng có dạng hình chữ nhật với bề ngang 42 cm thành một rãnh dẫn nước bằng cách chia tấm tôn đó thành ba phần rồi gấp hai bên lại theo một góc vuông sao cho độ cao hai thành rãnh bằng nhau. Để đảm bảo kĩ thuật, diện tích mặt cắt ngang của rãnh dẫn nước phải lớn hơn hoặc bằng 160 cm². Bác Nam cần làm rãnh nước có độ cao ít nhất là bao nhiêu xăng – ti – mét để đảm bảo kĩ thuật?

Hướng dẫn giải

Chia tấm tôn đó thành ba phần theo các kích thước x (cm), 42 – x (cm) và x (cm).

Khi gấp hai bên lại ta được rãnh dẫn nước có mặt cắt ngang có kích thước là x (cm) và 42 – x (cm).

Diện tích của mặt cắt ngang là x.(42 – x) = – x² + 42x (cm²).

Để đảm bảo kĩ thuật, diện tích mặt cắt ngang của rãnh dẫn nước phải lớn hơn hoặc bằng 160 cm² nên ta có:

– x² + 42x ≥ 160

⇔ – x² + 42x – 160 ≥ 0

Xét tam thức bậc hai f(x) = – x² + 42x – 160 có a = – 1, b = 42, c = – 160 và ∆ = 42² – 4.(– 1).(– 160) = 1124 > 0.

Suy ra f(x) có hai nghiệm x₁ = $\frac{-42+2\sqrt{281}}{4.\left(-1\right)}\approx 2,12$ và x₂ = $\frac{-42-2\sqrt{281}}{4.\left(-1\right)}\approx 18,88$.

Áp dụng định lí dấu của tam thức bậc hai ta được:

f(x) ≥ 0 khi 2,12 ≤ x ≤ 18,88

Vậy rãnh nước phải có độ cao ít nhất khoảng 2,12 cm.

Đề thi Học kì 1 Toán lớp 10 có đáp án năm 2024 - Đề 2

Phòng Giáo dục và Đào tạo ...

Đề thi Học kì 1 - Cánh diều

Năm học 2024 - 2025

Môn: Toán lớp 10

Thời gian làm bài: phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 1)

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 ĐIỂM)

Câu 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Hỏi cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?

Câu 2: Trong các câu sau, câu nào không là mệnh đề ?

A. 12 là số nguyên tố;                                    

B. $n$ không chia hết cho 2;

C. x² là số thực không âm;                             

D. 10 là số nguyên tố.

Câu 3: Cặp số $(x;y)$ nào sau đây không là nghiệm của bất phương trình $4x-9y-3\ge 0$?

Câu 4: Cách viết nào sau đây là đúng?

A. (1; 2] ∈ ℝ;

B. {1; 2} ∈ ℝ;

C. 1 ∈ ℝ;

D. [1; 2] ∈ ℝ.

Câu 5: Cho hình vẽ sau:

Tích vô hướng của hai vectơ nào bằng 0?

Câu 6. Cho hình thoi $ABCD$ cạnh a và $\widehat{ABD}=60°$. Độ dài vectơ $\overrightarrow{BD}$ là

Câu 7. Tính $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DC}$

A. $2\overrightarrow{DC}$;                                                        

B. $\overrightarrow{AC}$;

C. $\overrightarrow{DA}$;                                                          

D. $\overrightarrow{0}$.

Câu 8: Với α ∈ (120°; 270°) thì giá trị lượng giác nào dưới đây nhận giá trị âm?

A. sinα;

B. cosα;

C. tanα;

D. cotα.

Câu 9. Trong các bất phương trình sau, bất phương trình bậc nhất hai ẩn là

Câu 10. Cho đồ thị hàm số sau:

Đồ thị hàm số trên là của hàm số nào dưới đây?

A. x² – 4x – 2;

B. – x² + 4x – 2;

C. – x² – 4x + 2;

D. x² – 4x + 2.

Câu 11. Cho tam giác ABC, có G là trọng tâm tam giác, M là điểm bất kì. Biểu thức nào sau đây là đúng?

Câu 12. Cho đồ thị hàm số:

Hàm số đồng biến trên khoảng

A. (– 4; 1);

B. (– 2; 0);

C. (– 4; – 2);

D. (– 4; +∞).

Câu 13. Hàm số f(x) = x² – 2x + 1 nhận giá trị dương khi

A. x ∈ ℝ;

B. x ∈ $\varnothing$;

C. x > 1;

D. x ≠ 1.

Câu 14. Cặp số (0; 1) là nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

Câu 15. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên sau:

Tập giá trị của hàm số f(x) là:

A. [– 3; 5];

B. [– 3; +∞);

C. (– ∞; 5];

D. (– ∞; +∞).

Câu 16. Cho các bất phương trình sau:

– 2x + 1 < 0; $\frac{1}{2}{y}^2-\sqrt{2}\left(y-1\right)\le 0$; $x^2-\sqrt{x}>0$; y² + x² – 2x < 0.

Có bao nhiêu bất phương trình không là bất phương trình bậc hai một ẩn?

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Câu 17. Hàm số bậc hai y = 2x² – $\frac{1}{3}$x có trục đối xứng là

Câu 18. Tập nghiệm của bất phương trình x² – 5x + 6 < 0 là

A. S = (2; 3);

B. S = (– ∞; 2);    

C. S = (3; +∞);

D. S = (– ∞; 2) ∪ (3; +∞).

Câu 19. Để giải phương trình: $\sqrt{3x-1}=x^2-1$cần điều kiện:

A. $x\ge \frac{1}{3}$;

B. x ≤ – 1 hoặc x ≥ 1;

C. x ≥ 1;

D. x ≤ – 1.

Câu 20. Lớp 10B có 45 học sinh, trong đó có 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Sử, 6 em không thích môn nào, 6 em thích cả Sử và Toán, 8 em thích cả Văn và Toán, 5 em thích cả ba môn. Số học sinh thích cả Văn và Sử là

A. 5;

B. 10;

C. 12; 

D. 15.

Câu 21: Tam giác $ABC$ có $AB=3,AC=6$ và $\widehat{A}=60°$. Bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

A. $R=3\sqrt{3}$.

B. $R=3$.                      

C. $R=\sqrt{3}$.                   

D. $R=6$.

Câu 22. Trong các công thức dưới đây, công thức nào tính diện tích tam giác ABC là đúng?

A. S_ABC = $\frac{1}{2}b.c.\cos A$;  

B. S_ABC = $\frac{abc}{4R}$;             

C. S_ABC = pR;

D. S_ABC = a.h_a.

Câu 23. Tính giá trị biểu thức: cos20° + cos40° + cos60° + ... + cos160° + cos180°.

A. – 1;

B. 1;

C. 2;

D. 0.

Câu 24: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2x+4}}{x-\sqrt{x}-2}$. Tập xác định D của hàm số là

A. D = [0; +∞) \ {1; 4};

B. D = [0; +∞) \ {4};   

C. D = [– 2; +∞) \ {1; 4};

D. D = [– 2; +∞) \ {1}.

Câu 25. Cho tam giác $ABC$ có $AB=5,BC=7,CA=8$. Tam giác ABC là

A. tam giác nhọn;

B. tam giác tù;

C. tam giác vuông;

D. tam giác đều.

Câu 26. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của AC, N là trung điểm của BC và AB = a. Độ dài vectơ $\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{NB}$ bằng

A. a;                             

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}a$;                       

C. $\frac{1}{2}a$;                         

D. $\frac{2}{3}a$.

Câu 27. Cho 90° < α < 180°. Xác định dấu của biểu thức M = sin(90° – α).cot(180° + α).

A. M ≥ 0;   

B. M ≤ 0; 

C. M > 0;

D. M < 0.

Câu 28. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a, AH là đường cao. Tính$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}$

A. $\frac{3}{4}{a}^2$;                        

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2$;                      

C. $\frac{1}{2}{a}^2$;                        

D. a².

Câu 29. Cho tứ giác ABCD, có I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Ta có $\overrightarrow{\text{IJ}}=a\overrightarrow{AC}+b\overrightarrow{BD}$. Khi đó a – b bằng

A. 0;

B. 1;

C. $\frac{1}{4}$;                           

D. $\frac{1}{2}$.

Câu 30. Cho phương trình: $\sqrt{x^2-5x+1}=\sqrt{x-7}$. Số nghiệm của phương trình là

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. vô số nghiệm.

II. PHẦN TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Bài 1. (1 điểm)

Một rạp chiếu phim có sức chứa 1 000 người. Với giá vé là 40 000 đồng, trung bình sẽ có khoảng 300 người đến rạp xem phim mỗi ngày. Để tăng số lượng vé bán ra, rạp chiếu phim đã khảo sát thị trường và thấy rằng giá vé cứ giảm 10 000 đồng thì sẽ có thêm 100 người đến rạp mỗi ngày.

a) Tìm công thức của hàm số R(x) mô tả doanh thu từ tiền bán vé mỗi ngày của rạp chiếu phim khi giá vé là x nghìn đồng.

b) Tìm mức giá vé để doanh thu từ tiền bán vé mỗi ngày của rạp là lớn nhất.

Bài 2. (1,0 điểm)

a) Giải phương trình: $x-2+3\sqrt{x^2-2x-3}=7$.

b) Tìm m để hàm số f(x) = x² – 2(m + 3)x – 4m + 1 > 0 với mọi số thực x.

Bài 3. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC, gọi I và J là hai điểm được xác định bởi$\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}$$3\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}$.

a) Tính $\overrightarrow{\text{IJ}}$$\overrightarrow{AB}$$\overrightarrow{AC}$.

b) Chứng minh đường thẳng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.

HƯỚNG DẪN ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 ĐIỂM)

Câu 1.

Ta có hình vẽ:

+) Hai vectơ $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}$ và $\stackrel{\rightharpoonup }{MB}$ có cùng giá là đường thẳng AB và cùng chiều hướng xuống dưới nên hai vec tơ này cùng hướng. Do đó A đúng.

+) Hai vectơ $\stackrel{\rightharpoonup }{MN}$ và $\stackrel{\rightharpoonup }{CB}$ có giá là hai đường thẳng song song (theo tính chất đường trung bình) nhưng khác hướng. Do đó B sai.

+) Hai vectơ $\stackrel{\rightharpoonup }{MA}$ và $\stackrel{\rightharpoonup }{MB}$ là hai vectơ đối nhau nên không cùng hướng. Do đó C sai.

+) Hai vectơ $\stackrel{\rightharpoonup }{AN}$  và $\stackrel{\rightharpoonup }{CA}$ có cùng giá là đường thẳng AC nhưng ngược hướng. Do đó D sai. 

Câu 2.

Đáp án đúng là: B

Câu “n không chia hết cho 2” là mệnh đề chứa biến tính đúng sai phụ thuộc vào biến n.

Câu 3.

Đáp án đúng là: B

+) Thay x = 0 và y = $-\frac{4}{9}$ vào bất phương trình ta được:$4.0-9.\left(\frac{4}{9}\right)-3\ge 0\iff -7\ge 0$ là mệnh đề sai. Do đó A sai.

+) Thay x = – 1 và y =$-\frac{7}{9}$ vào bất phương trình ta được: $4.\left(-1\right)-9.\left(-\frac{7}{9}\right)-3\ge 0\iff 0\ge 0$ là mệnh đề đúng. Do đó B đúng.

+) Thay x = 4 và y = $\frac{16}{9}$ vào bất phương trình ta được: $4.4-9.\left(\frac{16}{9}\right)-3\ge 0\iff -3\ge 0$ là mệnh đề sai. Do đó C sai.

+) Thay x = – 2 và y = $-\frac{5}{9}$vào bất phương trình ta được: $4.\left(-2\right)-9.\left(-\frac{5}{9}\right)-3\ge 0\iff -6\ge 0$ là mệnh đề sai. Do đó D sai.

Câu 4.

Đáp án đúng là: C

Ta có: (1; 2], {1; 2}, [1; 2] là các tập hợp nên ta có quan hệ tập con (1; 2] ⊂ ℝ, {1; 2} ⊂ ℝ, [1; 2] ⊂ ℝ. Do đó A, B, D sai.

Còn 1 là một số thực nên 1 là một phần tử của tập hợp ℝ, ta viết: 1 ∈ ℝ. Do đó C đúng.

Câu 5.

Đáp án đúng là: D

Ta có: AB ⊥ BD nên $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0$.

Câu 6.

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC, có: AB = AD = a nên tam giác ABC cân tại A mà $\widehat{ABD}=60°$ do đó ABC đều.

Vì vậy $\left|\overrightarrow{BD}\right|=a$.

Câu 7.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}$.

Câu 8.

Đáp án đúng là: B

Ta có α ∈ (120°; 270°) nên cosα < 0, còn sinα có thể âm hoặc dương. Do đó cotα, tanα có thể âm hoặc dương.

Vậy với α ∈ (120°; 270°) thì cosα nhận giá trị âm.

Câu 9.

Đáp án đúng là: D

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax + by ≥ c (ax + by ≤ c, ax + by > c, ax + by < c ) với a, b, c là các số thực.

Do đó chỉ có bất phương trình$\frac{\sqrt{3}}{2}x-y>-12$ là thỏa mãn.

Câu 10.

Đáp án đúng là: D

Gọi hàm số bậc hai cần tìm là y = ax² + bx + c (a ≠ 0).

Ta có giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 2) suy ra c = 2.

Đồ thị hàm số có điểm điểm I(2; – 2) nên ta có:

$\iff \left\{\begin{array}{l}b=-4a\\ \left[\begin{array}{l}a=0\\ a=1\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-4\end{array}\right.$ (loại a = 0 vì không thỏa mãn điều kiện).

Vì vậy hàm số cần tìm là y = x² – 4x + 2.

Câu 11.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{MG}$.

Câu 12.

Đáp án đúng là: C

Hàm số đi lên (đồng biến) trên khoảng (– ∞; – 2) và (0; +∞).

Mà (– 4; – 2) ⊂ (– ∞; – 2) nên hàm số cũng đồng biến (– 4; – 2). Do đó C đúng.

Câu 13.

Đáp án đúng là: D

Ta có: x² – 2x + 1 = (x – 1)² ≥ 0 với mọi x nên để f(x) > 0 thì x – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1.

Câu 14.

Đáp án đúng là: A

+) Thay x = 0 và y = 1 vào lần lượt các bất phương trình trong hệ ta được:

0 – 2.1 = – 2 < 0

0 + 3.1 = 3 > – 2

Là những mệnh đề đúng nên (0; 1) là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y<0\\ x+3y>-2\end{array}\right..$

Do đó A đúng.

+) Thay x = 0 và y = 1 vào lần lượt các bất phương trình trong hệ ta được:

0 – 2.1 = – 2 > 0

0 + 3.1 = 3 < – 2

Là những mệnh đề sai nên (0; 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y<0\\ x+3y>-2\end{array}\right..$ Do đó B sai.

+) Thay x = 0 và y = 1 vào lần lượt các bất phương trình trong hệ ta được:

0 – 2.1 = – 2 ≥ 0 là mệnh đề sai

0 – 3.1 = – 3 ≤ – 2 là mệnh đề đúng

Suy ra (0; 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y\ge 0\\ x-3y\le -2\end{array}\right..$ Do đó C sai.

+) Thay x = 0 và y = 1 vào lần lượt các bất phương trình trong hệ ta được:

0 – 2.1 = – 2 ≤ 0 là mệnh đề đúng

0 – 3.1 = – 3 ≥ – 2 là mệnh đề sai

Suy ra (0; 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y\le 0\\ x-3y\ge -2\end{array}\right..$ Do đó D sai.

Câu 15.

Đáp án đúng là: D

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số nhận giá trị trên tập (– ∞; +∞).

Câu 16.

Đáp án đúng là: D

– 2x + 1 < 0 không là bất phương trình bậc hai một ẩn vì đây là bất phương trình bậc nhất.

$\frac{1}{2}{y}^2-\sqrt{2}\left(y-1\right)\le 0\iff \frac{1}{2}{y}^2-\sqrt{2}y+\sqrt{2}\le 0$ có dạng bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

$x^2-\sqrt{x}>0$ không có dạng của bất phương trình bậc hai một ẩn.

y² + x² – 2x < 0 là bất phương trình bậc hai nhưng có hai ẩn x và y.

Câu 17.

Đáp án đúng là: B

Hàm số bậc hai y = 2x² – $\frac{1}{3}$x có a = 2, b = $\frac{1}{3}$

Khi đó trục đối xứng của hàm số đã cho là: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-\frac{1}{3}}{2.2}=\frac{1}{12}$.

Câu 18.

Đáp án đúng là: A

Xét tam thức f(x) = x² – 5x + 6, có a = 1 > 0, ∆ = (– 5)² – 4.1.6 = 1 > 0 nên f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 2 và x₂ = 3.

Áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta được:

f(x) < 0 khi x ∈ (2; 3).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (2; 3).

Câu 19.

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định của phương trình là: x² – 1 ≥ 0 ⇔ x² ≥ 1 ⇔ |x| ≥ 1

⇔ x ≥ 1 hoặc x ≤ – 1.

Câu 20.

Đáp án đúng là: B

Gọi V là tập hợp số học sinh thích môn Văn;

T là tập hợp số học sinh thích môn Toán;

S là tập hợp số học sinh thích môn Sử;

V ∩ T là tập hợp số học sinh vừa thích Văn vừa thích Toán;

S ∩ T là tập hợp số học sinh vừa thích Sử vừa thích Toán;

V ∩ S là tập hợp số học sinh vừa thích Văn vừa thích Sử;

T ∩ V ∩ S là tập hợp số học sinh vừa thích Văn vừa thích Toán, vừa thích Sử;

T ∪ V ∪ S là tập hợp số học sinh thích ít nhất một trong ba môn Toán, Văn, Sử.

Khi đó: |T ∪ V ∪ S| = 45 – 6 = 39, |V| = 25, |T| = 20, |S| = 18, |V ∩ T| = 8,  |S ∩ T| = 6, |T ∩ V ∩ S| = 5.

Ta có: |T ∪ V ∪ S| = |V| + |T| + |S| – |V ∩ T| – |S ∩ T| – |V ∩ S| + |T ∩ V ∩ S|

⇔ 39 = 25 + 20 + 18 – 8 – 6 – |V ∩ S| + 5

⇔ |V ∩ S| = 15

Vậy có 15 học sinh vừa thích Văn vừa thích Sử.

Câu 21.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC:

Áp dụng định lí cosin ta được:

BC² = AB²  + AC² – 2.AB.AC.cosA

= 3² + 6² – 2.3.6.cos60°

= 27

⇔ BC = 3$\sqrt{3}$

Áp dụng định lí sin ta được:

$\frac{BC}{\sin A}=2R\iff R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{3\sqrt{3}}{2.\sin 60°}=3$.

Câu 22.

Đáp án đúng là: B

Các công thức tính diện tích tam giác là:

S_ABC = $\frac{1}{2}b.c.\sin A=\frac{1}{2}a.b.\sin C=\frac{1}{2}a.c.\sin B$. Do đó A sai.

S_ABC = $\frac{abc}{4R}$. Do đó B đúng.

S_ABC = pr. Do đó C sai.

S_ABC = $\frac{1}{2}$a.h_a = $\frac{1}{2}$b.h_b = $\frac{1}{2}$c.h_c. Do đó D sai.

Câu 23.

Đáp án đúng là: A

cos20° + cos40° + cos60° + ... + cos160° + cos180°

= (cos20° + cos160°) + (cos40° + cos140°) + ... + (cos80° + cos100°) + cos180°

= (cos20° – cos20°) + (cos40° – cos40°) + ... + (cos80° – cos80°) + cos180°

= 0 + 0 + ... + 0 + (– 1)

= – 1.

Câu 24.

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định của hàm số: 

Vậy tập xác định của hàm số là: D = [0; +∞) \ {4}.

Câu 25.

Đáp án đúng là: A

Ta có AB < BC < AC nên $\widehat{C}<\widehat{A}<\widehat{B}$.

Áp dụng hệ quả của định lí cosin ta được:

$\text{cosB=}\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2.AC.BC}=\frac{5^2+7^2-8^2}{\mathrm{2.5.7}}=\frac{1}{7}$

$\Rightarrow \widehat{B}\approx 81°47\text{'}$ < 90°.

Suy ra góc lớn nhất của tam giác ABC là góc nhọn nên hai góc còn lại cũng nhọn. Vì vậy tam giác ABC nhọn.

Câu 26.

Đáp án đúng là: C

Vì $\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{CN}$ (N là trung điểm của BC)

$\Rightarrow \overrightarrow{CM}-\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{NM}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{NB}\right|=\left|\overrightarrow{NM}\right|=MN$

Xét tam giác ABC, có:

M là trung điểm của AC

N là trung điểm của BC

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC

$\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$

Vì vậy $\left|\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{NB}\right|=\frac{1}{2}a$.

Câu 27.

Đáp án đúng là: C

Ta có: M = sin(90° – α).cot(180° + α)

= cosα . (– cotα)

= cosα .$\left(-\frac{cos\alpha }{\sin \alpha }\right)$

= $-\frac{{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha }$

Vì 90° < α < 180° nên sinα > 0

Mà cos²α ≥ 0 với mọi 90° < α < 180°

Do đó $-\frac{{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha }\le 0$ hay M ≤ 0.

Câu 28.

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác đều ABC, có: AB = a, AH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ta lại có AH là đường cao nên cũng là đường phân giác của $\widehat{BAC}$

$\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{CAH}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}.60°=30°$

Câu 29.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

⇒ a = $\frac{1}{2}$ và b = $\frac{1}{2}$

⇒ a – b = $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$ = 0.

Câu 30.

Đáp án đúng là: A

$\sqrt{x^2-5x+1}=\sqrt{x-7}$

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được:

x² – 5x + 1 = x – 7

⇔ x² – 6x + 8 = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=4\\ x=2\end{array}\right.$

Thay x = 4 và x = 2 vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị đều không thỏa mãn.

Vậy phương trình vô nghiệm. 

II. PHẦN TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Bài 1. (1 điểm)

Hướng dẫn giải

a) Ta có x là giá vé nên x > 0.

Số tiền giảm giá so với giá vé cũ là: 40 – x (nghìn đồng).

Số người đến rạp tăng lên: [(40 – x) : 10] . 100 = 400 – 10x (người).

Tổng số người đến rạp sau giảm giá là: 300 + 400 – 10x = 700 – 10x (người).

Doanh thu từ tiền bán vé sau giảm giá là: (700 – 10x).x = – 10x² + 700x (nghìn đồng).

Khi đó công thức của hàm số R(x) mô tả doanh thu từ tiền bán vé là:

R(x) = – 10x² + 700x.

b) Xét hàm số bậc hai R(x) = – 10x² + 700x, có:

Tọa độ điểm đỉnh là: x_I = $-\frac{700}{2.\left(-10\right)}=35$, y_I = $-\frac{{700}^2-4.\left(-10\right).0}{4.\left(-10\right)}=12250$.

Ta có: a = – 10 < 0 nên ta có bảng biến thiên:

Suy ra hàm số đạt giá trị lớn nhất là 12 250 tại x = 35.

Vậy để doanh thu từ tiền bán vé mỗi ngày của rạp là lớn nhất thì rạp cần bán vé với giá 35 nghìn đồng.

Bài 2. (1,0 điểm)

Hướng dẫn giải

a) $3\sqrt{x^2-2x-3}=-x+9$(*)

Điều kiện – x + 9 ≥ 0 ⇔ x ≤ 9

Bình phương hai vế của phương trình (*) ta được:

9(x² – 2x – 3) = x² – 18x + 81

⇔ 9x² – 18x – 27 = x² – 18x + 81

⇔ 8x² = 108

⇔ x² = $\frac{27}{2}$>

⇔ x = $\frac{3\sqrt{6}}{2}$.

Vậy phương trình có nghiệm x = $\frac{3\sqrt{6}}{2}$.

b) Xét hàm số f(x) = x² – 2(m + 3)x – 4m + 1 có a = 1 > 0, ∆’ = (m + 3)² – (– 4m + 1).1 = m² + 6m + 9 + 4m – 1 = m² + 10m + 8.

Để hàm số f(x) = x² – 2(m + 3)x – 4m + 1 > 0 với mọi số thực x thì $\left\{\begin{array}{l}a=1>0\\ \Delta \text{'}=m^2+10m+8<0\end{array}\right.\iff -5-\sqrt{17}<m<-5+\sqrt{17}$.

Vậy $-5-\sqrt{17}<m<-5+\sqrt{17}$.

Bài 3. (1,0 điểm)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 

b)

Ta có:

$\Rightarrow \overrightarrow{IG}=\left(\frac{5}{3}:2\right)\overrightarrow{IJ}=\frac{5}{6}\overrightarrow{IJ}$.

Vậy I, J, G thẳng hàng hay IJ đi qua G.

Đề thi Học kì 1 Toán lớp 10 có đáp án năm 2024 - Đề 3

Phòng Giáo dục và Đào tạo ...

Đề thi Học kì 1 - Cánh diều

Năm học 2024 - 2025

Môn: Toán lớp 10

Thời gian làm bài: phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 3)

A. TRẮC NGHIỆM (5,0 điểm)

Câu 1. Trục đối xứng của parabol y = x² + 3x – 1 là đường thẳng:

A. $x=\frac{3}{4}$;

B. $x=-\frac{3}{4}$;

C. $x=\frac{3}{2}$;

D. $x=-\frac{3}{2}$.

Câu 2. Cho α là góc nhọn. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\cot \alpha <0,\sin \alpha <0$;

B. $\cot \alpha >0,\sin \alpha >0$;

C. $\cot \alpha >0,\sin \alpha <0$;

D. $\cot \alpha <0,\sin \alpha >0$.

Câu 3. Cho hình bình hành ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 2, $\widehat{ABC}=72°$. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$ gần với giá trị nào nhất sau đây:

A. 2,1;                                                                     

B. 6,5;

C. 2,5;                                                                     

D. 6,0.

Câu 5. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃x ∈ ℝ, x³ – 2x + 1 < 0” là:

A. ∀x ∈ ℝ, x³ – 2x + 1 ≥ 0;

B. ∀x ∈ ℝ, x³ – 2x + 1 < 0”;

C. ∃x ∈ ℝ, x³ – 2x + 1 ≥ 0”;                                    

D. ∀x ∈ ℝ, x³ – 2x + 1 > 0”.

Câu 6. Cho hai vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$> Tích vô hướng của $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$ được xác định bởi công thức

Câu 7. Cho hình bình hành ABCD, có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác ABC (tham khảo hình vẽ bên). Khi đó $\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AG}$. Vậy k bằng:

A. $k=\frac{2}{3}$;

B. $k=\frac{1}{3}$;

C. $k=\frac{3}{2}$;

D. k = 3.

Câu 8. Cho hai tập hợp A = {– 3; – 1; 1; 2; 4; 5} và B = {– 2; – 1; 0; 2; 3; 5}. Tập hợp A\B:

A. A \ B = {– 3; 1; 4};                                             

B. A \ B = { – 2; 0; 3};

C. A \ B = {– 1; 2; 5};                                             

D. $A\backslash B=\left\{-3;-1;2;5\right\}.$

Câu 9. Tập hợp A = {x ∈ ℝ| – 2 ≤ x < 0} viết lại dưới dạng khác là:

A. A = (– 2; 0];                                                        

B. A = [– 2; 0];                  

C. A = [– 2; 0);

D. A = {– 2; – 1}.

Câu 10. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục hoành làm trục đối xứng.

B. Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

C. Đồ thị của một hàm số chẵn nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

D. Đồ thị của một số chẵn đi qua gốc tọa độ.

Câu 11. Hai điểm A, B nằm trên đồ thị hàm số y = |x| và đối xứng với nhau qua trục tung. Biết $AB=\sqrt{3}$>, diện tích S của tam giác OAB là (biết O là gốc tọa độ, tham khảo đồ thị hàm số y = |x| ở hình vẽ bên).

A. $S=\frac{\sqrt{3}}{4}$;

B. $S=\frac{3}{4}$;

C. $S=\frac{3}{2}$;

D. $S=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Câu 12. Cho $\overrightarrow{a}=(2;-1),\overrightarrow{b}=(4;-2).$ Tọa độ của vectơ $\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{3}{4}\overrightarrow{b}$ là:

A. (1;  – 1);

B. (– 2; 1);                        

C. (4; – 2);                        

D. (– 3; 5).

Câu 13. Cho hình vuông ABCD. Có bao nhiêu vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{AB}$:

A. 1;                                                                        

B. 2;                                  

C. 3;                                                                        

D. 0.

Câu 14. Giá trị nào dưới đây là nghiệm của phương trình $x+\sqrt{1-x^2}=-1$?

A. x = 0;                            

B. x = – 1;                         

C. x = 0 và x = – 1;           

D. Không tồn tại x là nghiệm của phương trình.

Câu 15. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 2, AC = 5, $\widehat{ABC}=34°$.Tính $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC}$:

A. 7,4;                                                                     

B. – 7,4;

C. 4,4;                                                                     

D. – 4,4.

Câu 16. Cho parabol (P):

Hình vẽ trên là đồ thị của hàm số bậc hai nào dưới đây:

A. y = 3x² – 6x – 1;

B. y = x² – 2x – 1;

C. y = – x² + 2x + 1;

D. y = – 3x² + 6x – 1.

Câu 17. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?

A. f(x) = x³ + 1;                

B. f(x) = 2x⁴ + 3;               

C. f(x) = |x|;                      

D. f(x) = x³.

Câu 18. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

A. Tập nghiệm phương trình $\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g\left(x\right)}$ là tập nghiệm của phương trình f(x) = g(x);

B. Tập nghiệm phương trình $\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g\left(x\right)}$ là tập nghiệm của phương trình [f(x)]² = [g(x)]²;        

C. Mọi nghiệm của phương trình f(x) = g(x) đều là nghiệm của phương trình $\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g\left(x\right)}$;        

D. Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g\left(x\right)}$ là tập hợp các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) thỏa mãn bất phương trình f(x) ≥ 0 (hoặc g(x) ≥ 0).

Câu 19. Cho tứ giác ABCD. Xác định điểm M thỏa mãn: $3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}$

A. M là điểm thỏa mãn MA = MG;

B. M là trung điểm của AG;

C. M thuộc đoạn AG thỏa mãn MA = 3 MG;

D. M thuộc trung trực của đoạn thẳng AG.

Câu 20. Cho tứ giác ABC có AB = 5, AC = 4, $\widehat{BAC}=92°$. Khi đó độ dài BC khoảng:

A. 42,4;

B. 6,5;                               

C. 3;                                  

D. 3,2.

Câu 21. Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình – x² + 2x – 4 ≤ 0. Khi đó S bằng:

A. ℝ;

B. ℝ\{2; 4};                      

C. ∅;                                 

D. {2; 4}.

Câu 22. Cho hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y\ge -4\\ x-3y<0\\ x>0\end{array}\right.$. Điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho?

A. M(– 5; 1);

B. N(4; 1);                        

C. P(0; 1);                         

D. Q(1; 2).

Câu 23. Với giá trị nào của tham số m thì tam thức f(x) = – x² – 3x + m – 5 không dương với mọi x:

A. m = 2;

B. m = 4;                           

C. m = 3;                          

D. m = 6.

Câu 24. Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) (như hình vẽ) hãy tìm tập nghiệm của bất phương trình f(x) > 0:

A. [1; 3];

B. (1; 3];                           

C. (1; 3);                           

D. {1; 2; 3}.

Câu 25. Nếu hai điểm M và N thỏa mãn: $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NM}=-16$ thì độ dài đoạn MN bằng:

A. 8;

B. 4;                                  

C. 2;                                  

D. 64.

B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Bài 1. (1,0 điểm)

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x² – 5x.

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình $\sqrt{x^2-(2m-1)x-m^2+5m-1}=x+1$ có một nghiệm duy nhất.

Bài 2. (1,0 điểm)

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có $\left|\overrightarrow{a}\right|=2,5$, $\left|\overrightarrow{b}\right|=4,6$ và $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-5,75$. Tính $\cos \left(\overrightarrow{a}\text{,}\overrightarrow{b}\right).$

b) Cho tam giác ABC , M là trung điểm của cạnh BC điểm N nằm trên cạnh AC sao cho NA = 2NC , D là trung điểm của AN. Chứng minh $\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AB}=6\overrightarrow{MN}.$

Bài 3. (1,0 điểm) Bác Nam muốn uốn tấm tôn phẳng có dạng hình chữ nhật với bề ngang 40 cm thành một rãnh dẫn nước bằng cách chia tấm tôn đó thành ba phần rồi gấp hai bên lại theo một góc vuông sao cho độ cao hai thành rãnh bằng nhau. Để đảm bảo kĩ thuật, diện tích mặt cắt ngang của rãnh dẫn nước phải lớn hơn hoặc bằng 160 cm². Bác Nam cần làm rãnh nước có độ cao ít nhất là bao nhiêu xăng – ti – mét để đảm bảo kĩ thuật?

HƯỚNG DẪN ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

A. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)

Câu 1	D	Câu 6	A	Câu 11	B	Câu 16	A	Câu 21	B
Câu 2	B	Câu 7	D	Câu 12	B	Câu 17	D	Câu 22	D
Câu 3	C	Câu 8	A	Câu 13	C	Câu 18	D	Câu 23	C
Câu 4	B	Câu 9	C	Câu 14	B	Câu 19	B	Câu 24	C
Câu 5	A	Câu 10	B	Câu 15	B	Câu 20	B	Câu 25	B

Hướng dẫn đáp án chi tiết

Câu 1. Trục đối xứng của parabol y = x² + 3x – 1 là đường thẳng:

Đáp án đúng là D

Parabol y = x² + 3x – 1 có trục đối xứng là đường thẳng $x=-\frac{3}{2}$.

Câu 2. Cho α là góc nhọn. Khẳng định nào sau đây đúng?

Đáp án đúng là B

Vì α là góc nhọn nên sinα > 0 và cosα > 0

⇒ cotα = $\frac{cos\alpha }{\sin \alpha }>0$

Vậy chọn đáp án B.

Câu 3. Cho hình bình hành ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?

Đáp án đúng là C

Lấy điểm E sao cho ABDE là hình bình hành, khi đó $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{ED}$

Suy ra AB = ED mà AB = CD nên DE = DC hay D là trung điểm của EC.

Ta có: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AD}$ (quy tắc hình bình hành).

Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 2, $\widehat{ABC}=72°$. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$ gần với giá trị nào nhất sau đây:

A. 2,1;                                                                     

B. 6,5;

C. 2,5;                                                                     

D. 6,0.

Đáp án đúng là B

Ta có: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$

⇒ $\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|=BC$

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

cosB = $\frac{AB}{BC}$

⇔ cos72° = $\frac{2}{BC}$

⇔  BC  = $\frac{2}{BC}$.

Vậy độ dài của vectơ $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$ gần vớ 6,5.

Câu 5. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃x ∈ ℝ, x³ – 2x + 1 < 0” là:

A. ∀x ∈ ℝ, x³ – 2x + 1 ≥ 0;

B. ∀x ∈ ℝ, x³ – 2x + 1 < 0”;

C. ∃x ∈ ℝ, x³ – 2x + 1 ≥ 0”;                                    

D. ∀x ∈ ℝ, x³ – 2x + 1 > 0”.

Đáp án đúng là A

Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃x ∈ ℝ, x³ – 2x + 1 < 0” là ∀x ∈ ℝ, x³ – 2x + 1 ≥ 0.

Câu 6. Cho hai vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}.$ Tích vô hướng của $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$ được xác định bởi công thức

Đáp án đúng là A

Tích vô hướng của $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$ được xác định bởi công thức $\overrightarrow{x}.\overrightarrow{y}=\left|\overrightarrow{x}\right|.\left|\overrightarrow{y}\right|.\cos (\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}).$

Câu 7. Cho hình bình hành ABCD, có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác ABC (tham khảo hình vẽ bên). Khi đó$\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AG}$. Vậy k bằng:

A. $k=\frac{2}{3}$;

B. $k=\frac{1}{3}$;

C. $k=\frac{3}{2}$;

D. k = 3.

Đáp án đúng là D

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có: $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$.

Mặt khác ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$

⇒ $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$ hay$\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$.

Vậy k = 3.

Câu 8. Cho hai tập hợp A = {– 3; – 1; 1; 2; 4; 5} và B = {– 2; – 1; 0; 2; 3; 5}. Tập hợp A\B:

A. A \ B = {– 3; 1; 4};                                             

B. A \ B = { – 2; 0; 3};

C. A \ B = {– 1; 2; 5};                                             

D. A \ B = {-3;-1; 2; 5}.

Đáp án đúng là A

Ta có tập hợp A \ B là tập hợp các phần tử thuộc tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B nên khi đó ta có: A \ B = {– 3; 1; 4}.

Câu 9. Tập hợp A = {x ∈ ℝ| – 2 ≤ x < 0} viết lại dưới dạng khác là:

A. A = (– 2; 0];                                                        

B. A = [– 2; 0];                  

C. A = [– 2; 0);

D. A = {– 2; – 1}.

Đáp án đúng là C

Ta có: A = {x ∈ ℝ| – 2 ≤ x < 0} = [– 2; 0).

Câu 10. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục hoành làm trục đối xứng.

B. Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

C. Đồ thị của một hàm số chẵn nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

D. Đồ thị của một số chẵn đi qua gốc tọa độ.

Đáp án đúng là B

Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

Câu 11. Hai điểm A, B nằm trên đồ thị hàm số y = |x| và đối xứng với nhau qua trục tung. Biết$AB=\sqrt{3}$, diện tích S của tam giác OAB là (biết O là gốc tọa độ, tham khảo đồ thị hàm số y = |x| ở hình vẽ bên).

Đáp án đúng là B

Vì A và B đối xứng với nhau qua Oy nên AB ⊥ Oy

Mà Ox ⊥ Oy nên AB // Ox

Kẻ AH vuông góc với Ox và gọi K là trung điểm của AB.

Ta có $AB=\sqrt{3}$ nên AK = KB = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ hay OH = $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Suy ra x_A = $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Mặt khác A thuộc vào đồ thị hàm số nên y_A = |x_A| = $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

⇒ OK = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Diện tích tam giác OAB là: S_OAB = $\frac{1}{2}.OK.AB=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=\frac{3}{4}$ (đvdt).

Vậy diện tích tam giác OAB là $S=\frac{3}{4}$.

Câu 12. Cho $\overrightarrow{a}=(2;-1),\overrightarrow{b}=(4;-2).$ Tọa độ của vectơ $\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{3}{4}\overrightarrow{b}$ là:

A. (1;  – 1);

B. (– 2; 1);                        

C. (4; – 2);                        

D. (– 3; 5).

Đáp án đúng là B

Ta có:

$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}=\frac{1}{2}(2;-1)=\left(1;-\frac{1}{2}\right)$;

$\frac{3}{4}\overrightarrow{b}=\frac{3}{4}(4;-2)=\left(3;-\frac{3}{2}\right)$.

Khi đó: $\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{3}{4}\overrightarrow{b}=\left(1-3;-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\right)=\left(-2;1\right)$.

Câu 13. Cho hình vuông ABCD. Có bao nhiêu vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{AB}$:

A. 1;                                                                        

B. 2;                                  

C. 3;                                                                        

D. 0.

Đáp án đúng là C

Các vectơ cùng phương là các vectơ có giá song song hoặc trùng nhau. Do đó các vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{AB}$ là: $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{DC}$$\overrightarrow{CD}$.

Vậy có 3 vec tơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Câu 14. Giá trị nào dưới đây là nghiệm của phương trình $x+\sqrt{1-x^2}=-1$?

A. x = 0;                            

B. x = – 1;                         

C. x = 0 và x = – 1;           

D. Không tồn tại x là nghiệm của phương trình.

Đáp án đúng là B

Xét phương trình sqrt>1−x2=−1

⇔ $\sqrt{1-x^2}$>< = – 1 – x (điều kiện – 1 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ – 1)

⇔ 1 – x² = x² + 2x + 1

⇔ 2x² + 2x = 0 

⇔ $\left[\begin{array}{l}2x=0\\ x+1=0\end{array}\right.$⇔ $\left[\begin{array}{l}x=0\left(KMT\right)\\ x=-1\left(TM\right)\end{array}\right.$

Vậy x =  – 1 là nghiệm của phương trình đã cho.

Câu 15. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 2, AC = 5, $\widehat{ABC}=34°$.Tính $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC}$:

A. 7,4;                                                                     

B. – 7,4;

C. 4,4;                                                                     

D. – 4,4.

Đáp án đúng là B

Câu 16. Cho parabol (P):

Hình vẽ trên là đồ thị của hàm số bậc hai nào dưới đây:

A. y = 3x² – 6x – 1;

B. y = x² – 2x – 1;

C. y = – x² + 2x + 1;

D. y = – 3x² + 6x – 1.

Đáp án đúng là A

Gọi hàm số cần tìm có dạng y = ax² + bx + c (a ≠ 0)

Quan sát hình vẽ ta có:

- Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm B(0; – 1) nên thay tọa độ điểm B vào hàm số ta được c = – 1.

- Tọa độ điểm đỉnh I(1; – 4)

Khi đó: $-\frac{b}{2a}=1\iff b=-2a$  

Và $-\frac{\Delta }{4a}=-4\iff \Delta =16a\iff b^2-4ac=16a$

Thay b = – 2a vào biểu thức trên ta được: 4a² + 4a = 16a ⇔ 4a² – 12a = 0 ⇔ a = 0 (không TM) hoặc a = 3 (TM).

⇒ b = – 2.3 = – 6 .

Vậy hàm số cần tìm là: y = 3x² – 6x – 1.

Câu 17. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?

A. f(x) = x³ + 1;                

B. f(x) = 2x⁴ + 3;               

C. f(x) = |x|;                      

D. f(x) = x³.

Đáp án đúng là D

+) Xét hàm số f(x) = x³ + 1

Tập xác định: D = ℝ          

Lấy – x ∈ D, khi đó f(– x) = (– x)³ + 1 = – x³ + 1.

Do đó f(x) không chẵn cũng không lẻ. 

+) Xét hàm số f(x) = 2x⁴ + 3

Tập xác định: D = ℝ          

Lấy – x ∈ D, khi đó f(– x) = 2(– x)⁴ + 3 = 2x⁴ + 3 = f(x).

Do đó f(x) là hàm chẵn.    

+) Xét hàm số f(x) = |x|

Tập xác định: D = ℝ          

Lấy – x ∈ D, khi đó f(– x) = |– x| = |x| = f(x).

Do đó f(x) là hàm chẵn.    

+) Xét hàm số f(x) = x³

Tập xác định: D = ℝ          

Lấy – x ∈ D, khi đó f(– x) = (– x)³ = – x³ = – f(x).

Do đó f(x) là hàm lẻ.

Câu 18. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

A. Tập nghiệm phương trình $\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g\left(x\right)}$ là tập nghiệm của phương trình f(x) = g(x);

B. Tập nghiệm phương trình $\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g\left(x\right)}$ là tập nghiệm của phương trình [f(x)]² = [g(x)]²;        

C. Mọi nghiệm của phương trình f(x) = g(x) đều là nghiệm của phương trình $\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g\left(x\right)}$;        

D. Tập nghiệm của phương trình$\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g\left(x\right)}$ là tập hợp các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) thỏa mãn bất phương trình f(x) ≥ 0 (hoặc g(x) ≥ 0).

Đáp án đúng là D

Xét phương trình $\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g\left(x\right)}$

Điều kiện xác định f(x) ≥ 0 hoặc g(x) ≥ 0

Bình phương hai vế của phương trình đã cho ta được: f(x) = g(x)

Vì vậy tập nghiệm của phương trình $\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g\left(x\right)}$ là tập hợp các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) thỏa mãn bất phương trình f(x) ≥ 0 (hoặc g(x) ≥ 0).

Câu 19. Cho tứ giác ABCD. Xác định điểm M thỏa mãn: $3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}$

A. M là điểm thỏa mãn MA = MG;

B. M là trung điểm của AG;

C. M thuộc đoạn AG thỏa mãn MA = 3 MG;

D. M thuộc trung trực của đoạn thẳng AG.

Đáp án đúng là B

Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, khi đó ta có: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$

Vậy M là trung điểm của GA.

Câu 20. Cho tứ giác ABC có AB = 5, AC = 4, $\widehat{BAC}=92°$. Khi đó độ dài BC khoảng:

A. 42,4;

B. 6,5;                               

C. 3;                                  

D. 3,2.

Đáp án đúng là B

Xét tam giác ABC, có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cos$\widehat{BAC}$

= 4² + 5² – 2.4.5.cos92°

≈ 42,4

⇒ BC = 6,5

Vậy BC = 6,5.

Câu 21. Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình – x² + 2x – 4 ≤ 0. Khi đó S bằng:

A. ℝ;

B. ℝ\{2; 4};                      

C. ∅;                                 

D. {2; 4}.

Đáp án đúng là B

Xét bất phương trình – x² + 2x – 4 ≤ 0 có a = – 1 < 0 và ∆’ = (– 1)² – (– 1)(– 4) = – 3 < 0.

Dựa vào định lí dấu tam thức bậc hai ta có – x² + 2x – 4 ≤ 0 ∀x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ℝ.

Câu 22. Cho hệ bất phương trình>$\left\{\begin{array}{l}x+y\ge -4\\ x-3y<0\\ x>0\end{array}\right.$. Điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho?

A. M(– 5; 1);

B. N(4; 1);                        

C. P(0; 1);                         

D. Q(1; 2).

Đáp án đúng là D

Xét hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y\ge -4\left(1\right)\\ x-3y<0\left(2\right)\\ x>0\left(3\right)\end{array}\right.$

Thay lần lượt tọa độ các điểm M, N, P, Q vào hệ bất phương trình ta có:

Tọa độ điểm M không thỏa mãn BPT (3);

Tọa độ điểm N không thỏa mãn BPT (2);

Tọa độ điểm P không thỏa mãn BPT (3);

Tọa độ điểm Q thỏa mãn tất cả các BPT của hệ nên thuộc vào miền nghiệm.

Vậy chọn D.

Câu 23. Với giá trị nào của tham số m thì tam thức f(x) = – x² – 3x + m – 5 không dương với mọi x:

A. m = 2;

B. m = 4;                           

C. m = 3;                          

D. m = 6.

Đáp án đúng là C

Xét tam thức f(x) = – x² – 3x + m – 5 có a = – 1 và ∆ = (– 3)² – 4.(– 1).(m – 5) = 9 + 4m – 20 = 4m – 11.

Để tam thức f(x) = – x² – 3x + m – 5 không dương với mọi x thì ∆ ≤ 0

⇔ 4m – 11 ≤ 0

⇔ m ≤ $\frac{11}{4}$

Vậy m = 2 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 24. Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) (như hình vẽ) hãy tìm tập nghiệm của bất phương trình f(x) > 0:

A. [1; 3];

B. (1; 3];                           

C. (1; 3);                           

D. {1; 2; 3}.

Đáp án đúng là C

Quan sát hình vẽ ta thấy với x ∈ (1; 3) thì đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành.

Hay f(x) > 0 khi x ∈ (1; 3).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình f(x) > 0 là S = (1; 3).

Câu 25. Nếu hai điểm M và N thỏa mãn: $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NM}=-16$ thì độ dài đoạn MN bằng:

A. 8;

B. 4;                                  

C. 2;                                  

D. 64.

Đáp án đúng là B

Ta có: $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NM}$ = MN.NM.$c\text{os}\left(\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NM}\right)$ = MN².cos180^o = -MN²

Suy ra – MN² = – 16 ⇔ MN = $\sqrt{16}=4$

Vậy MN = 4.

B. TỰ LUẬN (5,0 điểm)

Bài 1. (2,0 điểm)

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x² – 5x.

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình $\sqrt{x^2-(2m-1)x-m^2+5m-1}=x+1$ có một nghiệm duy nhất.

a) Xét hàm số y = x² – 5x, có: a = 1, b = – 5, c = 0 và ∆ = (– 5)² – 4.1.0 = 25

Khi đó, ta có:

- Điểm đỉnh I có x_I = $-\frac{b}{2a}=-\frac{-5}{2.1}=\frac{5}{2}$; y_I = $-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{25}{4.1}=-\frac{25}{4}$;

- a = 1 > 0 .

Do đó ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số sẽ đồng biến trên khoảng$\left(-\infty ;\frac{5}{2}\right)$, hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{5}{2};+\infty \right)$.

b) Xét hàm số y = x² – 5x, có: a = 1, b = – 5, c = 0 và ∆ = (– 5)² – 4.1.0 = 25

Khi đó, ta có:

- Điểm đỉnh I có x_I = $-\frac{b}{2a}=-\frac{-5}{2.1}=\frac{5}{2}$; y_I = $-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{25}{4.1}=-\frac{25}{4}$. Do đó I$\left(\frac{5}{2};-\frac{25}{4}\right)$.

- Trục đối xứng của đồ thị là $x=\frac{5}{2}$.

- Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ (0; 0).

- Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ (0; 0) và (5; 0).

- Ta có a = 1 > 0 bề lõm của đồ thị quay lên trên.

b) Xét phương trình $\sqrt{x^2-(2m-1)x-m^2+5m+\frac{15}{4}}=x+1$>(*)

Điều kiện x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ – 1

(*) ⇔ x² – (2m – 1)x – m² + 5m + $\frac{15}{4}$ = x² + 2x + 1

⇔ (2m + 1)x + m² – 5m – $\frac{11}{4}$ = 0

+) TH1: 2m + 1 = 0 ⇔ m = $-\frac{1}{2}$. Khi đó ta có:

⇔ 0.x + 0 = 0 (luôn đúng) với mọi x ≥ – 1

Do đó m = $-\frac{1}{2}$ thỏa mãn.

+) TH1: 2m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ $-\frac{1}{2}$. Khi đó ta có:

(2m + 1)x + m² – 5m – $\frac{11}{4}$ = 0

⇔ x = $-\frac{m^2-5m-\frac{11}{4}}{2m+1}$

Để phương trình có nghiệm thì $-\frac{m^2-5m-\frac{11}{4}}{2m+1}\ge -1$

⇔ m² – 5m – $\frac{11}{4}$ ≥ – 2m – 1

⇔ m² – 3m – $\frac{7}{4}$ ≥ 0

Xét tam thức bậc hai f(m) = m² – 3m – $\frac{7}{4}$, có a = 1 và ∆ = (– 3)² – 4.1.$\left(-\frac{7}{4}\right)$ = 16 > 0 suy ra f(m) có hai nghiệm m₁ = $-\frac{1}{2}$ và m₂ = $\frac{7}{2}$.

Dựa vào định lí dấu tam thức bậc hai ta có:

f(m) ≥ 0 ⇔ m ≤ $-\frac{1}{2}$ hoặc m ≥ $\frac{7}{2}$.

Suy ra m < $-\frac{1}{2}$ hoặc m ≥ $\frac{7}{2}$.

Vậy với m ≤ $-\frac{1}{2}$ hoặc m ≥ $\frac{7}{2}$ thì phương trình có nghiệm.

Bài 2. (1,5 điểm)

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy  cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$ có $\left|\overrightarrow{a}\right|=2,5$, $\left|\overrightarrow{b}\right|=4,6$ và $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-5,75$. Tính $\cos \left(\overrightarrow{a}\text{,}\overrightarrow{b}\right).$

b) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC điểm N nằm trên cạnh AC sao cho NA = 2NC , D  là trung điểm của AN. Chứng minh $\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AB}=6\overrightarrow{MN}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$

⇔ $\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{-5,75}{2,5.4,6}=-0,5$

Vậy $\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=-0,5$.

b)

Ta có hình vẽ sau:

+) Ta có AC = 3DA và $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{DA}$ là hai vec tơ ngược hướng nên $\overrightarrow{AC}=-3\overrightarrow{DA}$

Hay $\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$.

+) Ta có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}$

⇔ $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

⇔ $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

⇔ $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

⇔ $6\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AB}$.

Bài 3. (1,5 điểm) Bác Nam muốn uốn tấm tôn phẳng có dạng hình chữ nhật với bề ngang 42 cm thành một rãnh dẫn nước bằng cách chia tấm tôn đó thành ba phần rồi gấp hai bên lại theo một góc vuông sao cho độ cao hai thành rãnh bằng nhau. Để đảm bảo kĩ thuật, diện tích mặt cắt ngang của rãnh dẫn nước phải lớn hơn hoặc bằng 160 cm². Bác Nam cần làm rãnh nước có độ cao ít nhất là bao nhiêu xăng – ti – mét để đảm bảo kĩ thuật?

Hướng dẫn giải

Chia tấm tôn đó thành ba phần theo các kích thước x (cm), 42 – x (cm) và x (cm).

Khi gấp hai bên lại ta được rãnh dẫn nước có mặt cắt ngang có kích thước là x (cm) và 42 – x (cm).

Diện tích của mặt cắt ngang là x.(42 – x) = – x² + 42x (cm²).

Để đảm bảo kĩ thuật, diện tích mặt cắt ngang của rãnh dẫn nước phải lớn hơn hoặc bằng 160 cm² nên ta có:

– x² + 42x ≥ 160

⇔ – x² + 42x – 160 ≥ 0

Xét tam thức bậc hai f(x) = – x² + 42x – 160 có a = – 1, b = 42, c = – 160 và ∆ = 42² – 4.(– 1).(– 160) = 1124 > 0.

Suy ra f(x) có hai nghiệm x₁ = $\frac{-42+2\sqrt{281}}{4.\left(-1\right)}\approx 2,12$ và x₂ = $\frac{-42-2\sqrt{281}}{4.\left(-1\right)}\approx 18,88$.

Áp dụng định lí dấu của tam thức bậc hai ta được:

f(x) ≥ 0 khi 2,12 ≤ x ≤ 18,88

Vậy rãnh nước phải có độ cao ít nhất khoảng 2,12 cm.