Phương pháp hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng thức

Gia Bảo Ngày: 08-03-2024 Lớp 9

Tải xuống 10 1.3 K 12

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu bài tập Phương pháp hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng thức, tài liệu bao gồm 10 trang, tuyển chọn tổng hợp đầy đủ lý thuyết và bài tập trắc nghiệm Phương pháp hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng thức (có đáp án và lời giải chi tiết), giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho bài thi môn Toán lớp 9. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

undefined (ảnh 1)

PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Có bao nhiêu điều bí ẩn mà bạn chưa biết đến? Câu trả lời là rất nhiều và đôi khi bạn cảm thấy bực bội và khó chịu khi không thể tìm ra một lời giải thích thỏa đáng cho bí ẩn nào đó. Trong thế giới bất đẳng thức cũng vậy, đôi khi bạn không thể hiểu được vì sao người ta lại tìm ra một lời giải trông có vẻ “ kì cục” như thế. Phải chăng là lần mò và may rủi mới tìm ra được? Câu trả lời là mỗi lời giải đều có sự giải thích riêng của bản thân nó. Để thấy được tính
hiệu quả của phương pháp này chúng ta cùng phân tích hai bài toán sau
1. Phân tích ý tƣởng của phƣơng pháp hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng thức
Bài toán 1. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a+b+c = 3. Chứng minh rằng

$\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} + \frac{2 (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{3} \geq 5$

Giải:

Bất đẳng thức đã cho viết lại thành $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} + \frac{2 a^{2}}{3} + \frac{2 b^{2}}{3} + \frac{2 c^{2}}{3} \geq 5$

Ta chứng minh bất đẳng thức sau đây $\frac{1}{a^{2}} + \frac{2 a^{2}}{3} \geq \frac{7}{3} - \frac{2 a}{3} (1)$

Bất đẳng thức trên tương đương với $\frac{{(a - 1)}^{2} {(2 a^{2} + 6 a + 3)}^{2}}{3 a^{2}} \geq 0$ luôn đúng với mọi số dương a.

Tương tự ta có: $\frac{1}{b^{2}} + \frac{2 b^{2}}{3} \geq \frac{7}{3} - \frac{2 b}{3} (2); \frac{1}{c^{2}} + \frac{2 c^{2}}{3} \geq \frac{7}{3} - \frac{2 c}{3} (3)$

Cộng (1); (2); (3) theo vế ta có:

$\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} + \frac{2 (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{3} \geq 7 - \frac{2 (a + b + c)}{3} = 5$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Nếu để ý đến dấu đẳng thức xảy ra thì ta nghĩ đến chứng minh bất đẳng thức

$\frac{1}{a^{2}} + \frac{2 a^{2}}{3} \geq \frac{5}{3} \Leftrightarrow \frac{(a - 1) (a + 1) (2 a^{2} - 3)}{3 a^{2}} \geq 0$
Tuy nhiên đánh giá trên không hoàn toàn đúng với số dương a.
Để ý là với cách làm trên ta chưa sử dụng điều kiện a+b+c = 3
Như vậy ta sẽ không đi theo lối suy nghĩ đơn giản ban đầu nữa mà sẽ đi tìm hệ số để bất đẳng
thức sau đúng $\frac{1}{a^{2}} + \frac{2 a^{2}}{3} \geq m a + n (4)$