Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu 200 câu tự luận hình oxyz vận dụng có lời giải, tài liệu bao gồm 71 trang, gồm các bài tập có lời giải chi tiết, giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

Mục lục

1. Viết phương trình mặt phẳng. 2

I.1      Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến. 2

I.2      Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu. 3

I.3      Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách. 4

I.4      Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc. 10

I.5      Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến tam giác. 14

I.6      Dạng 6: Các dạng khác về viết phương trình mặt phẳng. 15

1. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG.. 16

II.1     Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương  16

II.2     Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác. 18

II.3     Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác. 23

II.4     Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách. 31

II.5     Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc. 35

II.6     Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến tam giác. 38

III.      VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.. 39

III.1    Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định tâm và bán kính. 39

III.2    Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định các hệ số của phương trình  45

III.3    Dạng 3: Các bài toán liên quan đến mặt cầu. 47

1. TÌM ĐIỂM THOẢ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC.. 49

IV.1    Dạng 1: Xác định điểm thuộc mặt phẳng. 49

IV.2    Dạng 2: Xác định điểm thuộc đường thẳng. 56

IV.3    Dạng 3: Xác định điểm thuộc mặt cầu. 64

IV.4    Dạng 4: Xác định điểm trong không gian. 66

IV.5    Dạng 5: Xác định điểm trong đa giác. 68

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ KHÔNG GIAN (NÂNG CAO)

I.          Viết phương trình mặt phẳng

I.1           Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến

Câu 1.       Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng (P): \[x--3y + 2z--5 = 0\]. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).

         · (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Þ (Q) có VTPT \[\vec n = \left[ {{{\vec n}_P},\overrightarrow {AB} } \right] = (0; - 8; - 12) \ne \overrightarrow 0 \]

       Þ \[(Q):2y + 3z - 11 = 0\].

       Câu hỏi tương tự:

       a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), \[(P):x + 2y + 3z + 3 = 0\].                        ĐS: \[(Q):x - 2y + z - 2 = 0\] 

Câu 2.       Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm \(A(2;1;3),\,B(1; - 2;1)\) và song song với đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 2t\\z =  - 3 - 2t\end{array} \right.\).

       · Ta có \(\overrightarrow {BA}  = (1;3;2)\), d có VTCP \(\vec u = (1;2; - 2)\).

       Gọi \(\vec n\) là VTPT của (P) Þ \(\left\{ \begin{array}{l}\vec n \bot \overrightarrow {BA} \\\vec n \bot \vec u\end{array} \right.\)  Þ chọn \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {BA} ,\vec u} \right] = ( - 10;4; - 1)\)

       Þ Phương trình của (P): \(10x - 4y + z - 19 = 0\).

Câu 3.       Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng \[({d_1})\] và \[({d_2})\]có phương trình: \[({d_1});\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 2}}{1}\], \[({d_2}):{\rm{ }}\frac{{x - 4}}{6} = \frac{{y - 1}}{9} = \frac{{z - 3}}{3}\]. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d\[_1\]) và \[({d_2})\] .

       · Chứng tỏ (d₁) // (d₂). (P): x + y – 5z +10 = 0

Câu 4.       Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,  cho mặt cầu (S) có phương trình:   \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 6y - 4z - 2 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ \(\vec v = (1;6;2)\), vuông góc với mặt phẳng\((\alpha ):x + 4y + z - 11 = 0\) và tiếp xúc với (S).

       · (S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của \((\alpha )\) là \(\vec n = (1;4;1)\).

       Þ VTPT của (P) là: \({\vec n_P} = \left[ {\vec n,\vec v} \right] = (2; - 1;2)\) Þ PT của (P) có dạng: \[2x - y + 2z + m = 0\].

       Vì (P) tiếp xúc với (S) nên \(d(I,(P)) = 4\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 21\\m = 3\end{array} \right.\).

       Vậy: (P): \[2x - y + 2z + 3 = 0\] hoặc  (P): \[2x - y + 2z - 21 = 0\].

Câu 5.       Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng  \(({d_1}):\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{{ - 3}}\)   và  \(({d_2}):\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 4}}{5}\). Chứng minh rằng điểm \(M,\,\,{d_1},\,\,{d_2}\) cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó.

       · \({d_1}\) qua \({M_1}(0; - 1;0)\) và có \({\vec u_1} = (1; - 2; - 3)\),  \({d_2}\) qua \({M_2}(0;1;4)\) và có \({\vec u_2} = (1;2;5)\).

       \(\left[ {{{\vec u}_1};{{\vec u}_2}} \right] = ( - 4; - 8;4) \ne \vec 0\),  \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = (0;2;4)\)Þ  \(\left[ {{{\vec u}_1};{{\vec u}_2}} \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = 0\)Þ \({d_1},\,{d_2}\) đồng phẳng.

       Gọi (P) là mặt phẳng chứa \({d_1},\,{d_2}\) Þ (P) có VTPT  \(\vec n = (1;2; - 1)\)  và đi qua M₁  nên có phương trình \(x + 2y - z + 2 = 0\). Kiểm tra thấy điểm \[M(1;--1;1) \in (P)\].

I.2       Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu

Câu 6.       Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{z}{1}\) và mặt cầu (S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} - 2y - 4{\rm{z}} + 2 = 0\). Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).

       · (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP \(\vec u = (2;2;1)\).

       (P) // d, Ox Þ (P) có VTPT \(\vec n = \left[ {\vec u,\vec i} \right] = (0;1; - 2)\) Þ PT của (P) có dạng: \(y - 2{\rm{z}} + D = 0\).

       (P) tiếp xúc với (S) Û \(d(I,(P)) = R\) Û \(\frac{{\left| {1 - 4 + D} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = 2\) Û \(\left| {D - 3} \right| = 2\sqrt 5 \) Û \(\left[ \begin{array}{l}D = 3 + 2\sqrt 5 \\D = 3 - 2\sqrt 5 \end{array} \right.\)

       Þ (P): \(y - 2{\rm{z}} + 3 + 2\sqrt 5  = 0\)       hoặc    (P): \(y - 2{\rm{z}} + 3 - 2\sqrt 5  = 0\).

Câu 7.       Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 4 = 0\] và mặt phẳng (P):\[x + z - 3 = 0\]. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm \[M(3;1; - 1)\] vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).

       · (S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT \[{\vec n_P} = (1;0;1)\].

       PT (Q) đi qua M có dạng: \[A(x - 3) + B(y - 1) + C(z + 1) = 0,\,\,{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\]

       (Q) tiếp xúc với (S) Û \[d(I,(Q)) = R \Leftrightarrow \left| { - 4A + B + C} \right| = 3\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \]    (*)

       \[(Q) \bot (P) \Leftrightarrow {\vec n_Q}.{\vec n_P} = 0 \Leftrightarrow A + C = 0 \Leftrightarrow C =  - A\]         (**)

       Từ (*), (**) Þ \[\left| {B - 5A} \right| = 3\sqrt {2{A^2} + {B^2}}  \Leftrightarrow 8{B^2} - 7{A^2} + 10AB = 0\] Û \(A = 2B\,\,\, \vee \,\,\,7{\rm{A}} =  - 4B\,\,\)

       · Với \(A = 2B\). Chọn B = 1, A = 2, C = –2 Þ PT (Q): \[2x + y - 2z - 9 = 0\]

       · Với \(7{\rm{A}} =  - 4B\). Chọn B = –7, A = 4, C = –4 Þ PT (Q): \[4x - 7y - 4z - 9 = 0\]

       Câu hỏi tương tự:

       a) Với \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 4z + 5 = 0\), \((P):2x + y - 6z + 5 = 0,\,M(1;1;2)\).

                                                ĐS: \((Q):2x + 2y + z - 6 = 0\) hoặc \((Q):11x - 10y + 2z - 5 = 0\).

Câu 8.       Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): \[{x^2} + {y^2} + {z^2}--2x + 4y + 2z--3 = 0\]. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính \(r = 3\).

       · (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (P) chứa Ox Þ (P): ay + bz = 0.

       Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I.

       Suy ra: –2a – b = 0 \( \Leftrightarrow \)b = –2a   (a\( \ne \)0) Þ (P): y – 2z = 0.

Câu 9.       Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2y + 2z--1 = 0\] và đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x - y - 2 = 0\\2x - z - 6 = 0\end{array} \right.\]. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d  và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính \(r = 1\).

       · (S) có tâm \(I( - 1;1; - 1)\), bán kính R = 2.

       PT mặt phẳng (P) có dạng: \[ax + by + cz + d = 0\,\,\,({a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0)\].

       Chọn \(M(2;0; - 2),\,N(3;1;0) \in d\).

       Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}M \in (P)\\N \in (P)\\d(I,(P)) = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \end{array} \right.\) Û \(\left[ \begin{array}{l}a = b,\,2c =  - (a + b),\,d =  - 3a - b & (1)\\17a =  - 7b,\,2c =  - (a + b),\,d =  - 3a - b & (2)\end{array} \right.\)

       + Với (1) Þ (P): \(x + y - z - 4 = 0\)       + Với (2) Þ (P): \(7x - 17y + 5z - 4 = 0\)

Câu 10.    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng \[{\Delta _1}:\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\], \[{\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\] và mặt cầu (S): \[{x^2} + {y^2} + {z^2}--2x + 2y + 4z--3 = 0\]. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng D₁ và D₁.

       · (P):  \[y + z + 3 + 3\sqrt 2  = 0\] hoặc  (P): \[y + z + 3 - 3\sqrt 2  = 0\]

Câu 11.    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 11 = 0\] và mặt phẳng (a) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (b) song song với (a) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng \(p = 6\pi \).

       · Do (b) // (a) nên (b) có phương trình 2x + 2y – z + D = 0   (D\[ \ne \]17)

       (S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5. Đường tròn có chu vi 6p nên có bán kính r = 3.

       Khoảng cách từ I tới (b) là h = \[\sqrt {{R^2} - {r^2}}  = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4\]

       Do đó  \[\frac{{\left| {2.1 + 2( - 2) - 3 + D} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = 4 \Leftrightarrow \left| { - 5 + D} \right| = 12 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}D =  - 7\\D = 17{\rm{ (loa\"i i)}}\end{array} \right.\]

       Vậy (b) có phương trình \[2x + 2y--z--7 = 0\].

       Câu hỏi tương tự:

       a) \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 6z - 11 = 0\), \((\alpha ):2x + y - 2z + 19 = 0\), \(p = 8\pi \).

                                                                        ĐS: \[(\beta ):2x + y - 2z + 1 = 0\]

I.3           Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách

Câu 12.    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): \(x + y + z = 0\) và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng \(\sqrt 2 \).

       · PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: \[{\rm{Ax}} + By + C{\rm{z}} = 0\] (với \({A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\)).

       · Vì (P) ^ (Q) nên: \(1.A + 1.B + 1.C = 0\) Û \(C =  - A - B\)  (1)

       · \(d(M,(P)) = \sqrt 2 \) Û \(\frac{{\left| {A + 2B - C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = \sqrt 2 \) Û \({(A + 2B - C)^2} = 2({A^2} + {B^2} + {C^2})\)   (2)

       Từ (1) và (2) ta được: \(8{\rm{A}}B + 5{B^2} = 0\) Û \(\left[ \begin{array}{l}B = 0 &  & (3)\\8{\rm{A}} + 5B = 0 & (4)\end{array} \right.\)

       · Từ (3): B = 0 Þ C = –A. Chọn A = 1, C = –1 Þ (P): \(x - z = 0\)

       · Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 Þ C = 3 Þ (P): \(5{\rm{x}} - 8y + 3{\rm{z}} = 0\).

Câu 13.    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D : \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{z}{4}\) và điểm M(0; –2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường thẳng D, đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng D và mặt phẳng (P) bằng 4.

       · Phương trình mp (P) đi qua M(0; –2; 0) có dạng: \[{\rm{ax}} + by + cz + 2b = 0\] (\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0\))

       D đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một VTCP \(\vec u = (1;1;4)\)

       Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta \parallel (P)\\d(A;(P)) = d\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + 4c = 0\\\frac{{\left| {a + 5b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 4\end{array} \right.\) Û \(\left\{ \begin{array}{l}a = 4c\\a =  - 2c\end{array} \right.\).

       · Với \(a = 4c\). Chọn \(a = 4,\,c = 1 \Rightarrow b =  - 8\)Þ Phương trình (P): \[4x - 8y + z - 16 = 0\].

       · Với \(a =  - 2c\). Chọn \(a = 2,\,c =  - 1 \Rightarrow b = 2\) Þ Phương trình (P): \(2{\rm{x}} + 2y - z + 4 = 0\).

       Câu hỏi tương tự:

       a) Với \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{4};\,M(0;3; - 2),\,d = 3\). 

                                                ĐS: \((P):2x + 2y - z - 8 = 0\) hoặc \((P):4x - 8y + z + 26 = 0\).

Câu 14.    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng \((d):\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - 1 + 2t\\z = 1\end{array} \right.\) và điểm \(A( - 1;2;3)\). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3.

       · (d) đi qua điểm \(M(0; - 1;1)\) và có VTCT \(\vec u = (1;2;0)\). Gọi \(\vec n = (a;b;c)\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0\) là VTPT của (P) .

       PT mặt phẳng (P): \(a(x - 0) + b(y + 1) + c(z - 1) = 0 \Leftrightarrow ax + by + cz + b - c = 0\)   (1).

       Do (P) chứa (d) nên: \(\vec u.\vec n = 0 \Leftrightarrow a + 2b = 0 \Leftrightarrow a =  - 2b\) (2)

       \(d\left( {A,(P)} \right) = 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| { - a + 3b + 2c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| {5b + 2c} \right|}}{{\sqrt {5{b^2} + {c^2}} }} = 3 \Leftrightarrow \left| {5b + 2c} \right| = 3\sqrt {5{b^2} + {c^2}} \)

       \( \Leftrightarrow 4{b^2} - 4bc + {c^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {2b - c} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow c = 2b\)    (3)

       Từ (2) và (3), chọn \(b =  - 1\) Þ \(a = 2,\,c =  - 2\) Þ PT mặt phẳng (P): \(2x - y - 2z + 1 = 0\).

Câu 15.    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm \(M( - 1;1;0),\,N(0;0; - 2),\,I(1;1;1)\). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng \(\sqrt 3 \).

       · PT mặt phẳng (P) có dạng: \[ax + by + cz + d = 0\,\,({a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0)\].

       Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}M \in (P)\\N \in (P)\\d(I,(P)) = \sqrt 3 \end{array} \right.\) Û \(\left[ \begin{array}{l}a =  - b,\,2c = a - b,\,d = a - b & (1)\\5a = 7b,\,2c = a - b,\,d = a - b & (2)\end{array} \right.\).

       + Với (1) Þ PT mặt phẳng (P): \(x - y + z + 2 = 0\)

       + Với (2) Þ PT mặt phẳng (P): \(7x + 5y + z + 2 = 0\).

Câu 16.    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với \(A(1; - 1;2)\), \(B(1;3;0)\), \(C( - 3;4;1)\), \(D(1;2;1)\). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).

       · PT mặt phẳng (P) có dạng: \[ax + by + cz + d = 0\,\,\,({a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0)\].

       Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A \in (P)\\B \in (P)\\d(C,(P)) = d(D,(P))\end{array} \right.\) Û \(\left\{ \begin{array}{l}a - b + 2c + d = 0\\a + 3b + d = 0\\\frac{{\left| { - 3{\rm{a}} + 4b + c + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| {a + 2b + c + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\end{array} \right.\)

       Û \(\left[ \begin{array}{l}b = 2a,\,c = 4a,\,d =  - 7a\\c = 2a,\,b = a,\,d =  - 4a\end{array} \right.\)

       + Với \(b = 2a,\,c = 4a,\,d =  - 7a\) Þ (P): \(x + 2y + 4z - 7 = 0\).

       + Với \(c = 2a,\,b = a,\,d =  - 4a\) Þ (P): \(x + y + 2z - 4 = 0\).

       Câu hỏi tương tự:

       a) Với \(A(1;2;1),\,B( - 2;1;3),\,C(2; - 1;1),\,D(0;3;1)\).

                                                ĐS: \((P):4x + 2y + 7z - 15 = 0\) hoặc \((P):2x + 3z - 5 = 0\).

Câu 17.    Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A(1;2;3)\), \(B(0; - 1;2)\),  \(C(1;1;1)\). Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A\) và gốc tọa độ \(O\) sao cho khoảng cách từ \(B\) đến \((P)\) bằng khoảng cách từ \(C\) đến \((P)\).

       · Vì O Î (P) nên \((P):ax + by + cz = 0\), với \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0\).

       Do A Î (P) Þ \(a + 2b + 3c = 0\)           (1)  và \(d(B,(P)) = d(C,(P)) \Leftrightarrow \left| { - b + 2c} \right| = \left| {a + b + c} \right|\)    (2)

       Từ (1) và (2) Þ \(b = 0\) hoặc \(c = 0\).

       · Với \(b = 0\)thì \(a =  - 3c\) Þ \((P):3x - z = 0\)           · Với \(c = 0\) thì \(a =  - 2b\) Þ \((P):2x - y = 0\)

       Câu hỏi tương tự:

       a) Với \(A(1;2;0),\,B(0;4;0),\,C(0;0;3)\). ĐS: \( - 6x + 3y + 4z = 0\) hoặc \(6x - 3y + 4z = 0\).

Câu 18.    Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(1;\,1; - 1)\), \(B(1;\,1;\,2)\), \(\,C( - 1;\,2; - 2)\) và mặt phẳng (P): \(x - 2y + 2z + 1 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho \(IB = 2IC\).

       · PT \((\alpha )\)có dạng: \[{\rm{ax}} + by + cz + d = 0\], với \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0\)

       Do \(A(1;\,1; - 1) \in (\alpha )\)nên: \(a + b - c + d = 0\)   (1);   \((\alpha ) \bot (P)\) nên \(a - 2b + 2c = 0\)   (2)

       \(IB = 2IC\)Þ \(d(B,(\alpha )) = 2d(C;(\alpha ))\)  Þ \(\frac{{\left| {a + b + 2c + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 2\frac{{\left| { - a + 2b - 2c + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

            \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3a - 3b + 6c - d = 0\\ - a + 5b - 2c + 3d = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,(3)\)

       Từ (1), (2), (3) ta có 2 trường hợp sau :

       TH1 : \(\left\{ \begin{array}{l}a + b - c + d = 0\\a - 2b + 2c = 0\\3a - 3b + 6c - d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow b = \frac{{ - 1}}{2}a;\,\,c =  - a;\,\,d = \frac{{ - 3}}{2}a\).

            Chọn \(a = 2 \Rightarrow b =  - 1;\,c =  - 2;\,d =  - 3\) Þ \((\alpha )\): \(2x - y - 2z - 3 = 0\)

       TH2 : \(\left\{ \begin{array}{l}a + b - c + d = 0\\a - 2b + 2c = 0\\ - a + 5b - 2c + 3d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow b = \frac{3}{2}a;\,c = a;\,d = \frac{{ - 3}}{2}a\).

            Chọn \(a = 2 \Rightarrow b = 3;\,c = 2;\,d =  - 3\)Þ \((\alpha )\): \(2x + 3y + 2z - 3 = 0\)

       Vậy: \((\alpha )\): \(2x - y - 2z - 3 = 0\)hoặc \((\alpha )\): \(2x + 3y + 2z - 3 = 0\)

Câu 19.    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1},\,{d_2}\) lần lượt có phương trình \[{d_1}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{3}\], \[{d_2}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{4}\].  Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng \({d_1},\,{d_2}\).

       · Ta có \({d_1}\) đi qua A(2;2;3) , có  \[{\vec u_{d1}} = (2;1;3)\], \({d_2}\) đi qua \(B(1;2;1)\) và có \[{\vec u_{d2}} = (2; - 1;4)\].

       Do (P) cách đều  \[{d_1},{d_2}\] nên (P) song song với \[{d_1},{d_2}\]  Þ \({\vec n_P} = \left[ {{{\vec u}_{d1}},{{\vec u}_{d2}}} \right] = (7; - 2; - 4)\)

       Þ PT mặt phẳng (P) có dạng: \(7x - 2y - 4z + d = 0\)

       Do (P) cách đều \({d_1},{d_2}\)suy ra \(d(A,(P)) = d(B,(P))\)

       Û \(\frac{{\left| {7.2 - 2.2 - 4.3 + d} \right|}}{{\sqrt {69} }} = \frac{{\left| {7.1 - 2.2 - 4.1 + d} \right|}}{{\sqrt {69} }}\)\( \Leftrightarrow \left| {d - 2} \right| = \left| {d - 1} \right| \Leftrightarrow d = \frac{3}{2}\)

       Þ Phương trình mặt phẳng (P): \(14x - 4y - 8z + 3 = 0\)

Câu 20.    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1},\,{d_2}\) lần lượt có phương trình \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 1\end{array} \right.\), \({d_2}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{2}\).  Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với \({d_1}\) và \({d_2}\), sao cho khoảng cách từ \({d_1}\) đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ \({d_2}\) đến (P).

       ·  Ta có : \({d_1}\) đi qua \[A(1;2;1)\] và có VTCP \({\vec u_1} = (1; - 1;0)\)

            \({d_2}\) đi qua \[B(2;1; - 1)\] và có VTCP là \({\vec u_2} = (1; - 2;2)\)

       Gọi \(\vec n\) là VTPT của (P), vì (P) song song với  \({d_1}\) và \({d_2}\) nên \(\vec n = \left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = ( - 2; - 2; - 1)\)

       Þ Phương trìnht (P): \[2x + 2y + z + m = 0\].

       \(d({d_1},(P)) = d(A;(P)) = \frac{{\left| {7 + m} \right|}}{3}\) ; \(d({d_2},(P))\; = d(B,(P)) = \frac{{\left| {5 + m} \right|}}{3}\)

       \[d({d_1},(P)) = 2d({d_2},(P))\]\( \Leftrightarrow \left| {7 + m} \right| = 2.\left| {5 + m} \right|\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7 + m = 2(5 + m)\\7 + m =  - 2(5 + m)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m =  - 3;\,\,m =  - \frac{{17}}{3}\)

       + Với \[m =  - 3\]\( \Rightarrow \) \[(P):2x + 2y + z--3 = 0\]       + Với \(m =  - \frac{{17}}{3}\)\( \Rightarrow \)\[(P):2x + 2y + z - \frac{{17}}{3} = {\rm{ }}0\]

Câu 21.    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm \(A(0; - 1;2)\), \(B(1;0;3)\) và tiếp xúc với mặt cầu (S): \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = 2\).

       · (S) có tâm \(I(1;2; - 1)\), bán kính \(R = \sqrt 2 \).

       PT mặt phẳng (P) có dạng: \[ax + by + cz + d = 0\,\,\,({a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0)\]

       Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A \in (P)\\B \in (P)\\d(I,(P)) = R\end{array} \right.\) Û \[\left[ \begin{array}{l}a =  - b,\,c =  - a - b,\,d = 2a + 3b &  & (1)\\3a =  - 8b,\,c =  - a - b,\,d = 2a + 3b & (2)\end{array} \right.\]

       + Với (1) Þ Phương trình của (P): \(x - y - 1 = 0\)

       + Với (2) Þ Phương trình của (P): \(8x - 3y - 5z + 7 = 0\)

Câu 22.    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \[A(2; - 1;1)\]. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.

       · Ta có \[d(O,(P)) \le OA\]. Do đó \[d{(O,(P))_{\max }} = OA\] xảy ra \[ \Leftrightarrow OA \bot (P)\]nên mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với OA. Ta có \[\overrightarrow {OA}  = (2; - 1;1)\]

       Vậy phương trình mặt phẳng (P): \[2x - y + z - 6 = 0\]..

Câu 23.    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có phương trình: \[\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{3}\]. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.

       · Gọi H là hình chiếu của A trên d Þ  d(d, (P)) = d(H, (P)). Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có \[AH \ge HI\]Þ HI lớn nhất khi \[A \equiv I\]. Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận \[\overrightarrow {AH} \] làm VTPT Þ (P): \(7x + y - 5z - 77 = 0\).

Câu 24.    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số \(\left\{ {x =  - 2 + t;\,\,y =  - 2t;\,\,z = 2 + 2t} \right.\). Gọi D là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d) và  I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Viết phương trình của mặt phẳng chứa D và có khoảng cách đến (d) là lớn nhất.

       · Gọi (P) là mặt phẳng chứa D, thì \((P)\parallel (d)\) hoặc \((P) \supset (d)\). Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ta luôn có \(IH \le IA\) và \(IH \bot AH\).

       Mặt khác  \(\left\{ \begin{array}{l}d(d,(P)) = d(I,(P)) = IH\\H \in (P)\end{array} \right.\)

       Trong (P), \(IH \le IA\); do đó \(m{\rm{axIH  =  IA}} \Leftrightarrow {\rm{H}} \equiv {\rm{A}}\). Lúc này (P) ở vị trí (P₀) ^ IA tại A.

       Vectơ pháp tuyến của (P₀) là \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {IA}  = \left( {6;0; - 3} \right)\), cùng phương với \(\overrightarrow v  = \left( {2;0; - 1} \right)\).

       Phương trình của mặt phẳng (P₀) là: \(2(x - 4) - 1.(z + 1) = 2x - z - 9 = 0\).

Câu 25.    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\) và điểm \(A(2;5;3)\). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất.

       · PT mặt phẳng (P) có dạng: \[{\rm{ax}} + by + c{\rm{z}} + d = 0\,\,({a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0)\].

       (P) có VTPT \(\vec n = (a;b;c)\), d đi qua điểm \(M(1;0;2)\) và có VTCP \(\vec u = (2;1;2)\).

       Vì (P) É d nên \(\left\{ \begin{array}{l}M \in (P)\\\vec n.\vec u = 0\end{array} \right.\) Þ \(\left\{ \begin{array}{l}a + 2c + d = 0\\2a + b + 2c = 0\end{array} \right.\) Þ \(\left\{ \begin{array}{l}2c =  - (2a + b)\\d = a + b\end{array} \right.\) . Xét 2 trường hợp:

       TH1: Nếu b = 0 thì (P): \(x - z + 1 = 0\). Khi đó: \(d(A,(P)) = 0\).

       TH2: Nếu b ¹ 0. Chọn \(b = 1\) ta được (P): \(2ax + 2y - (2a + 1)z + 2a + 2 = 0\).

       Khi đó: \(d(A,(P)) = \frac{9}{{\sqrt {8{a^2} + 4a + 5} }} = \frac{9}{{\sqrt {2{{\left( {2a + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{2}} }} \le 3\sqrt 2 \)

       Vậy  \(\max d(A,(P)) = 3\sqrt 2 \)Û \(2a + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow a =  - \frac{1}{4}\). Khi đó: (P): \(x - 4y + z - 3 = 0\).

       Câu hỏi tương tự:

       a) \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{5},\,A(5;1;6)\).                  ĐS: \((P):2x + y - z + 1 = 0\)

       b) \(d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{z}{2},\,A(1;4;2)\).                   ĐS: \((P):5x + 13y - 4z + 21 = 0\)

Câu 26.    Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm \[M(0; - 1;2)\] và \[N( - 1;1;3)\]. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm\[K(0;0;2)\] đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.

       · PT (P) có dạng: \[Ax + B(y + 1) + C(z - 2) = 0 \Leftrightarrow Ax + By + Cz + B - 2C = 0\]

                                                                                                            \[({A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0)\]

       \[N( - 1;1;3) \in (P) \Leftrightarrow  - A + B + 3C + B - 2C = 0 \Leftrightarrow A = 2B + C\]            \[ \Rightarrow (P):(2B + C)x + By + Cz + B - 2C = 0\];      \[d(K,(P)) = \frac{{\left| B \right|}}{{\sqrt {4{B^2} + 2{C^2} + 4BC} }}\]

       · Nếu B = 0 thì  d(K, (P)) = 0 (loại)

       · Nếu  \[B \ne 0\]thì  \[d(K,(P)) = \frac{{\left| B \right|}}{{\sqrt {4{B^2} + 2{C^2} + 4BC} }} = \frac{1}{{\sqrt {2{{\left( {\frac{C}{B} + 1} \right)}^2} + 2} }} \le \frac{1}{{\sqrt 2 }}\]

       Dấu “=” xảy ra khi B = –C. Chọn C = 1. Khi đó PT (P): \[x + y--z + 3 = 0\].