Vì OA là tiếp tuyến của (O’) nên ∆OAO’ vuông tại A

Vì (O) và (O’) cắt nhau tại A, B nên đường nối tâm OO’ là trung trực của đoạn AB

Gọi giao điểm của AB và OO’ là I thì AB ⊥ OO’ tại I là trung điểm của AB

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAO’ ta có:

Đáp án cần chọn là: D

Vì OA là tiếp tuyến của (O’) nên OAO’ vuông tại A

Vì (O) và (O’) cắt nhau tại A, B nên đường nối tâm OO’ là trung trực của đoạn AB

Gọi giao điểm của AB và OO’ là I thì AB ⊥ OO’ tại I là trung điểm của AB

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAO’ ta có:

Đáp án cần chọn là: B

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA. Xác định tính tương đối của hai đường tròn

Lời giải:

Gọi đường tròn (O') là đường tròn đường kính OA.

Ta có:

⇒ (O) và (O') tiếp xúc trong.

Câu 2: Cho hai đường tròn (O); (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với M ∈ (O); N ∈ (O’). Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’; Q là điểm đối xứng với N qua OO’. MN + PQ bằng:

Lời giải:

Vì P là điểm đối xứng với M qua OO’

Q là điểm đối xứng với N qua OO’ nên MN = PQ

P ∈ (O); Q ∈ (O’) và MP ⊥ OO’; NQ ⊥ OO’ ⇒ MP // NQ mà MN = PQ

nên MNPQ là hình thang cân

Kẻ tiếp tuyến chung tại A của (O); (O’) cắt MN; PQ lần lượt tại B; C

⇒ OP ⊥ PQ tại P ∈ (O) nên PQ là tiếp tuyến của (O).

Chứng minh tương tự ta có PQ là tiếp tuyến của (O’)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

BA = BM = BAO NHIÊU; CP = CA = CQ suy ra B; C lần lượt là trung điểm của MN; PQ và MN + PQ = 2MB + 2 PC = 2AB + 2AC = 2BC

Lại có BC là đường trung bình của hình thang MNPQ nên MP + NQ = 2BC

Do đó MN + PQ = MP + NQ

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hai đường tròn (O; 20) và (O'; 15) cắt nhau tại A và B. Tính đoạn thẳng nối OO' biết rằng AB = 24

Câu 2: Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) cắt nhau tại hai điểm A và B. Vẽ đường kính AOC và đường kính AO'D

a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng

b) Qua A vẽ cát tuyến cắt (O) và (O') lần lượt tại M và N. CMR: MN ≤ CD

B. Lý thuyết Vị trí tương đối của hai đường tròn

1.Vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O')

a) (O) cắt  $\left(O^{\text{'}}\right)\iff$(O) và (O') có hai điểm chung phân biệt.

b) (O) tiếp xúc $\left(O^{\text{'}}\right)\iff$ (O) và (O') có một điểm chung.

c) (O) không giao nhau với $\left(O^{\text{'}}\right)\iff$ (O) và không có điểm chung.

2.Hệ thức xác định vị trí tương đối giữa hai đường tròn

Cho đường tròn (O;R) và (O';R') có tâm không trùng nhau. Đường thẳng OO' gọi là đường nối tâm, đoạn OO' = d gọi là đoạn nối tâm.

a) (O;R) cắt  $(O^{\text{'}};R^{\text{'}})\iff |R-R^{\text{'}}|<d<R+R^{\text{'}}.$

b) (O;R) tiếp xúc $(O^{\text{'}};R^{\text{'}})\iff \left\{\begin{array}{l}Tiếp xúc ngoài:d=R+R^{\text{'}}\\ Tiếp xúc trong :d=|R-R^{\text{'}}|\end{array}\right.\begin{array}{c}\end{array}.$ 

c) (O;R)  không giao nhau với  $(O^{\text{'}};R^{\text{'}})\iff \left\{\begin{array}{l}O ngoài nhau:d>R+R^{\text{'}}\\ Otrong nhau:d<|R-R^{\text{'}}|\end{array}\right.\begin{array}{c}\end{array}.$

3.Tính chất của đường nối tâm

a) Đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn.

b) Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

4.Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

a) Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.

b) Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.

c) Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm.