Với mọi số thực dương a và b thoả mãn $a^2+b^2=8ab,$  mệnh đề nào dưới đây đúng?

Đáp án B

Ta có $a^2+b^2=8ab\iff a^2+2ab+b^2=10ab\iff {(a+b)}^2=10ab$

$\Rightarrow \log {(a+b)}^2=\log \left(10ab\right)$

$\Rightarrow 2\log \left(a+b\right)=\left(1+\log a+\log b\right)$

$\Rightarrow \log \left(a+b\right)=\frac{1}{2}\left(1+\log a+\log b\right)$

Tính chất của lôgarit

Lôgarit có các tính chất rất phong phú, có thể chia ra thành các nhóm sau đây:

1) Lôgarit của đơn vị và lôgarit của cơ số:

Với cơ số tùy ý, ta luôn có log_a1 = 0 và log_aa= 1.

2) Phép mũ hóa và phép lôgarit hóa theo cùng cơ số (mũ hóa số thực α theo cơ số a là tính a^α; lôgarit hóa số dương b theo cơ số a là tính log_ab) là hai phép toán ngược nhau.

$\forall a>0(a\ne$ 1),  $\forall b>0$, $a^{{\log }_{a}b}=b$

$\forall a>0(a\ne 1)$, ${\log }_a{a}^{\alpha }=\alpha$

3) Lôgarit và các phép toán: Phép lôgarit hóa biến phép nhân thành phép cộng, phép chia thành phép trừ, phép nâng lên lũy thừa thành phép nhân, phép khai căn thành phép chia, cụ thể là 

Với $\mathrm{\forall }a,b_1,b_2>0,a\ne 1$ ta có:

+) ${\log }_a\left(b_1{b}_2\right)={\log }_a{b}_1+{\log }_a{b}_2$

+) ${\log }_a\left({\displaystyle \frac{b_1}{b_2}}\right)={\log }_a{b}_1-{\log }_a{b}_2$

+) $\forall a,b>0(a\ne 1),$  $\forall \alpha$ ta có:

${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha .{\log }_{a}b$

${\log }_a\sqrt[n]{b}={\displaystyle \frac{1}{n}}.{\log }_{a}b$

4) Đổi cơ số: Có thể chuyển các phép lấy lôgarit theo những cơ số khác nhau về việc tính lôgarit theo cùng một cơ số chung, cụ thể là 

$\forall a,b,c>0(a,c\ne 1)$, ${\log }_{a}b={\displaystyle \frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}}$.

Đặc biệt $\forall a,b>0(a,b\ne 1){\log }_{a}b={\displaystyle \frac{1}{{\log }_{b}a}}$

$\forall a,b>0(a\ne 1),\forall \alpha ,\beta (\alpha \ne 0)$ ta có:

${\log }_{a^{\alpha }}b={\displaystyle \frac{1}{\alpha }}{\log }_{a}b$

${\log }_{a^{\alpha }}{b}^{\beta }={\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}{\log }_{a}b$

${\log }_a{\displaystyle \frac{1}{b}}=-{\log }_{a}b\left(0<a\ne 1;b>0\right)$

${\log }_a\sqrt[n]{b}={\log }_a{b}^{\frac{1}{n}}={\displaystyle \frac{1}{n}}{\log }_{a}b$ $\left(0<a\ne 1;b>0;n>0;n\in N^{\ast }\right)$

${\log }_{a}b.{\log }_{b}c={\log }_{a}c\iff {\log }_{b}c={\displaystyle \frac{{\log }_{a}c}{{\log }_{a}b}}$ $\left(0<a,b\ne 1;c>0\right)$

${\log }_{a}b={\displaystyle \frac{1}{{\log }_{b}a}}\iff {\log }_{a}b.{\log }_{b}a=1$ $\left(0<a,b\ne 1\right)$

${\log }_{a^n}b={\displaystyle \frac{1}{n}}{\log }_{a}b$ $\left(0<a\ne 1;b>0;n\ne 0\right)$

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Dạng bài tập Biến đổi logarit

Đề tham khảo tốt nghiệp THPT năm 2023 tất cả các môn học

500 Đề thi thử THPT Quốc gia 2024 môn Toán (cả nước, có lời giải)