Trả lời nhanh
Diện tích tam giác OAB bằng √17 / 2. Với O là gốc tọa độ, A(1; 2; 2) và B(2; 1; 2), tích có hướng của OA và OB là vectơ (2; 2; −3), có độ dài √17. Diện tích tam giác bằng một nửa độ dài đó.
Đề bài và các phương án
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 2; 2) và B(2; 1; 2). Diện tích tam giác OAB bằng bao nhiêu?
- A. 3/2
- B. √17 / 2
- C. √17
- D. √13 / 2
Lưu ý: thứ tự phương án có thể khác trong đề của em. O là gốc (0; 0; 0). Đáp án đúng là B.
Tính bằng tích có hướng
Hai cạnh xuất phát từ O là vectơ OA = (1; 2; 2) và OB = (2; 1; 2). Diện tích tam giác bằng một nửa độ dài của tích có hướng:
S = (1/2) × |OA × OB|
Từng thành phần của tích có hướng:
x = 2 × 2 − 2 × 1 = 4 − 2 = 2
y = 2 × 2 − 1 × 2 = 4 − 2 = 2
z = 1 × 1 − 2 × 2 = 1 − 4 = −3
Vậy OA × OB = (2; 2; −3). Độ dài:
|OA × OB| = √(2² + 2² + (−3)²) = √(4 + 4 + 9) = √17
S = √17 / 2
Cách thứ hai dùng công thức (1/2) × |OA| × |OB| × sin. |OA| = √(1 + 4 + 4) = 3. |OB| = √(4 + 1 + 4) = 3. Tích vô hướng OA · OB = 1×2 + 2×1 + 2×2 = 8. Cosin góc ở O bằng 8/9, nên sin bằng √(1 − 64/81) = √(17/81) = √17 / 9. Diện tích = (1/2) × 3 × 3 × (√17 / 9) = √17 / 2. Hai cách khớp nhau.
Thử lại dấu của thành phần y. Công thức đầy đủ là (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx). Thành phần giữa bằng 2×2 − 1×2 = 2, không phải 0. Đảo dấu cả vectơ cũng không đổi độ dài, nên không đổi diện tích.
Vì sao các phương án kia ra đời
Chọn C, √17, là quên chia đôi. √17 là diện tích hình bình hành dựng trên OA và OB, không phải diện tích tam giác. Tam giác chiếm đúng một nửa hình bình hành đó.
Chọn D, √13 / 2, là làm rơi thành phần y. Nếu viết nhầm tích có hướng thành (2; 0; −3) thì độ dài còn √(4 + 0 + 9) = √13, diện tích thành √13 / 2. Thành phần y bằng 2, phải giữ trong căn.
Chọn A, 3/2, là tính như tam giác trong mặt phẳng Oxy và bỏ tọa độ z. Hình chiếu của A và B xuống Oxy là (1; 2) và (2; 1). Diện tích hình chiếu bằng (1/2) × |1×1 − 2×2| = (1/2) × 3 = 3/2. Đó không phải diện tích thật, vì O nằm ở z = 0 còn A, B nằm ở z = 2, tam giác không song song với Oxy. Diện tích hình chiếu nhỏ hơn diện tích thật: 1,5 so với khoảng 2,06.
Ba bài luyện có đáp số
Bài 1. Cho A(1; 0; 0) và B(0; 1; 0). Tính diện tích tam giác OAB.
Đáp án: OA × OB = (0; 0; 1), độ dài 1. Diện tích bằng 1/2. Đây là tam giác vuông cân cạnh 1 trên mặt phẳng Oxy, công thức (1/2)×cạnh×cạnh cũng ra 1/2.
Bài 2. Giữ A(1; 2; 2), B(2; 1; 2). Độ dài AB bằng bao nhiêu?
Đáp án: AB = (1; −1; 0), độ dài √(1 + 1 + 0) = √2. Em không dùng độ dài này để thay cho |OA × OB|.
Bài 3. Nếu đề đổi thành diện tích hình bình hành OACB dựng trên OA và OB thì kết quả là gì?
Đáp án: √17, gấp đôi diện tích tam giác. Đó chính là phương án dễ khoanh nhầm khi quên hệ số 1/2.
Câu hỏi thường gặp
Diện tích tam giác OAB bằng bao nhiêu?
√17 / 2. Đó là một nửa độ dài của vectơ (2; 2; −3).
Vì sao không chọn √17?
√17 là diện tích hình bình hành trên hai vectơ OA và OB. Tam giác chỉ lấy một nửa.
3/2 là số nào?
Đó là diện tích hình chiếu của tam giác xuống mặt phẳng Oxy, khi bỏ tọa độ z. Diện tích thật lớn hơn.
OA và OB dài bao nhiêu?
Mỗi vectơ dài 3. Góc giữa chúng có cosin 8/9, cách này cũng ra diện tích √17 / 2.