Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng $d:y=(3m+1)x+3+m$ vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2-1$.

Đáp án B

Phương pháp giải:

- Giải phương trình $y^{\text{'}}=0$, từ đó xác định 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số $A(x_1;y_1),B(x_2;y_2)$.

- Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số: $AB:\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$.

- Hai đường thẳng $d:y=ax+b$ và $d^{\text{'}}:y=a^{\text{'}}x+b^{\text{'}}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $a.a^{\text{'}}=-1$.

Giải chi tiết:

Ta có: $y=x^3-3x^2-1\Rightarrow y^{\text{'}}=3x^2-6x$.

$y^{\text{'}}=0\iff 3x(x-2)=0\iff [\begin{array}{l}x=0\Rightarrow y=-1\\ x=2\Rightarrow y=1\end{array}$, do đó đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị $A(0;-1);B(2;-5)$.

Phương trình đường thẳng $AB$ là: $\frac{x-0}{2-0}=\frac{y+1}{-5+1}\iff y=-2x-1$.

Để $AB\perp d$ thì $(3m+1).(-2)=-1\iff 3m+1=\frac{1}{2}\iff m=-\frac{1}{6}$.

Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước:

    Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là y = ax + b.

        + Sử dụng điều kiện hai đường thẳng vuông góc để xác định hệ số a.

        + Với a tìm được, sử dụng điều kiện điểm thuộc đường thẳng để xác định tung độ gốc b.

Bài tập liên quan:

Cho hàm số $y=2x^3+3\left(m-1\right)x^2+6\left(m-2\right)x-1$ với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trong khoảng (-2; 3)

A. $m \in (-1; 3) \cup (3; 4)$

B. (1; 3)

C. (3; 4)

D. (-1; 4)

Cách giải:

Ta có

 

Để hàm số có hai cực trị kh y’=0  có hai nghiệm phân biệt

$\iff 2-m\ne -1\iff m\ne 3$

● Nếu  -1 < 2 - m hay m < 3,

ycbt 

● Nếu 2 - m < -1 hay m > 3, ycbt 

Vậy m ∈ (−1; 3) ∪ (3; 4)

Chọn A.

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Đề thi tham khảo Toán 2024

Đề thi thử Toán 2024 phát triển từ đề tham khảo