Số điểm cực trị của hàm số $y=\left|\left(x-1\right){\left(x-2\right)}^2\right|$ là:

Đáp án A

Xét hàm số $y=\left(x-1\right){\left(x-2\right)}^2=x^3-5x^2+8x-4$

TXĐ: D = R

Ta có: $y\text{'}=3x^2-10x+8$

$y\text{'}=0\iff 3x^2-10x+8=0\iff \left[\begin{array}{c}x=2\\ x=\frac{4}{3}\end{array}\right.$

BBT:

Từ BBT của đồ thị hàm số $y=\left(x-1\right){\left(x-2\right)}^2$ ta suy ra BBT của đồ thị hàm số $y=\left|\left(x-1\right){\left(x-2\right)}^2\right|$ như sau:

Từ BBT ta thấy hàm số $y=\left|\left(x-1\right){\left(x-2\right)}^2\right|$ có 3 điểm cực trị.

Phương pháp giải:

Ta có: $y=\left|f\left(x\right)\right|\Rightarrow y^{\prime }=\frac{f^{\prime }\left(x\right).f\left(x\right)}{\left|f\left(x\right)\right|}$ do đó

Số điểm cực trị của hàm số $y=\left|f\left(x\right)\right|$ là số nghiệm bội lẻ của phương trình $f^{\prime }\left(x\right).f\left(x\right)=0.$

Như vậy: Nếu gọi m là số điểm cực trị của hàm số $y=f\left(x\right)$ và n là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$và trục hoành thì $m+n$ là số điểm cực trị của hàm số $y=\left|f\left(x\right)\right|$ (chú ý ta cần bỏ đi các nghiệm bội chẵn).

Định nghĩa Cực trị: Cho hàm số y = f(x)xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a là -∞; b là +∞) và điểm x₀∈(a;b).

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x)< f(x₀ ) với mọi x ∈ (x₀ - h;x₀ + h) và x≠x_0 thì ta nói hàm số f_(x) đạt cực đại tại x₀.

Nếu tồn tại số h >0 sao cho f(x) >f(x₀ ) với mọi x ∈ (x₀ - h;x₀ + h) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f_(x) đạt cực tiểu tại x₀.

Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 1:

   Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

   Bước 2. Tínhf'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x)bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.

   Bước 3. Lập bảng biến thiên.

   Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

   Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

   Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x)và ký hiệux_i (i=1,2,3,...)là các nghiệm của nó.

   Bước 3. Tính f''(x) và f''(x_i ) .

   Bước 4. Dựa vào dấu của f''(x_i )suy ra tính chất cực trị của điểm x_i.

Bài tập liên quan: 

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$. Hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ bên.

Hàm số $y=f\left(x^2-1\right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5

B. 7

C. 4

D. 3

Cách giải:

Đáp án A

Đặt $y=g\left(x\right)=f\left(x^2-1\right)$

Ta có: $g\text{'}\left(x\right)=\left(x^2-1\right)\text{'}f\text{'}\left(x^2-1\right)=2xf\text{'}\left(x^2-1\right)$

Cho $g\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ f\text{'}\left(x^2-1\right)=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x^2-1=-1\\ x^2-1=1\\ x^2-1=4\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm \sqrt{2}\\ x=\pm \sqrt{5}\end{array}\right.$

(tất cả các nghiệm trên đều là nghiệm bội lẻ)

Bảng xét dấu :

Vậy hàm số $y=f\left(x^2-1\right)$ có tất cả 5 điểm cực trị.

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

50 câu Trắc nghiệm Cực trị của hàm số – Toán 12

50 Bài tập trắc nghiệm về GTLN – GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 2023