Trả lời nhanh
Giá bán để cửa hàng thu lợi nhuận lớn nhất là 42.000 đồng/quả. Khi đó cửa hàng bán được 120 quả và lãi 1.440.000 đồng. Mức này tương ứng với việc giảm 8.000 đồng so với giá 50.000 đồng. Các mức 40.000 đồng, 45.000 đồng hay 48.000 đồng đều cho lãi thấp hơn.
Đề bài và các phương án
Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng của Phú Thọ với giá bán mỗi quả là 50.000 đồng. Với giá này cửa hàng chỉ bán được 40 quả. Cửa hàng dự định giảm giá: cứ giảm mỗi quả 5.000 đồng thì số bưởi bán được tăng thêm 50 quả. Giá nhập mỗi quả là 30.000 đồng. Hỏi giá bán để lợi nhuận lớn nhất.
Dạng trắc nghiệm thường gặp (đơn vị: đồng/quả):
- A. 40.000 đồng
- B. 45.000 đồng
- C. 42.000 đồng
- D. 48.000 đồng
Lưu ý: thứ tự phương án có thể khác trong đề của em. Một số đề viết bước giảm là 1.000 đồng và lượng tăng là 10 quả. Đó vẫn là cùng một quan hệ cầu: giảm 1.000 đồng thì bán thêm 10 quả, nên giá tối ưu vẫn là 42.000 đồng.
Lời giải bằng hàm lợi nhuận
Gọi x là số lần giảm giá, mỗi lần 5.000 đồng. Điều kiện: giá bán không thấp hơn giá nhập và không cao hơn giá ban đầu, nên 0 ≤ x ≤ 4. Khi x = 4 thì giá bán bằng 30.000 đồng, lãi mỗi quả bằng 0.
- Giá bán: 50.000 − 5.000x (đồng).
- Số quả bán được: 40 + 50x.
- Lãi một quả: (50.000 − 5.000x) − 30.000 = 20.000 − 5.000x.
Lợi nhuận (đồng):
P(x) = (20.000 − 5.000x)(40 + 50x).
Khai triển: 20.000 × 40 = 800.000; 20.000 × 50x = 1.000.000x; 5.000x × 40 = 200.000x; 5.000x × 50x = 250.000x². Vậy
P(x) = −250.000x² + 800.000x + 800.000.
Đây là parabol bậc hai có hệ số a < 0, bề lõm quay xuống, đạt cực đại tại
x = −b/(2a) = −800.000 / (2 × (−250.000)) = 800.000/500.000 = 1,6.
Giá bán: 50.000 − 5.000 × 1,6 = 50.000 − 8.000 = 42.000 đồng. Số quả: 40 + 50 × 1,6 = 120. Lãi mỗi quả: 42.000 − 30.000 = 12.000 đồng. Tổng lãi: 12.000 × 120 = 1.440.000 đồng.
Thử lại bằng cách thế x = 1,6 vào P: −250.000 × 2,56 + 800.000 × 1,6 + 800.000 = −640.000 + 1.280.000 + 800.000 = 1.440.000. Khớp.
Vì sao từng phương án còn lại chưa phải mức lãi cao nhất
| Giá bán | Số lần giảm x | Số quả | Lợi nhuận |
|---|---|---|---|
| 50.000 đồng (không giảm) | 0 | 40 | 800.000 đồng |
| 48.000 đồng (phương án D) | 0,4 | 60 | 1.080.000 đồng |
| 45.000 đồng (phương án B) | 1 | 90 | 1.350.000 đồng |
| 42.000 đồng (phương án C) | 1,6 | 120 | 1.440.000 đồng |
| 40.000 đồng (phương án A) | 2 | 140 | 1.400.000 đồng |
| 35.000 đồng | 3 | 190 | 950.000 đồng |
| 30.000 đồng | 4 | 240 | 0 đồng |
Với giá 48.000 đồng, mức giảm là 2.000 đồng, tức 0,4 lần bước 5.000 đồng. Số quả thêm: 50 × 0,4 = 20, tổng 60 quả. Lãi một quả 18.000 đồng, tổng lãi 18.000 × 60 = 1.080.000 đồng.
Phương án A bán được nhiều hơn (140 quả) nhưng lãi mỗi quả chỉ còn 10.000 đồng, tổng 1.400.000 đồng, kém đỉnh 40.000 đồng. Phương án B lãi mỗi quả 15.000 đồng trên 90 quả, tổng 1.350.000 đồng. Giảm giá giúp bán nhiều hơn, nhưng giảm quá sâu thì phần lãi trên mỗi quả bị ăn mòn. Đỉnh parabol nằm giữa 40.000 và 45.000 đồng, đúng tại 42.000 đồng.
Kiến thức cần nhớ và lỗi hay gặp
Bài này thuộc ứng dụng cực trị của hàm bậc hai, trong đề giữa kì Toán 12 (bộ Cánh Diều hay gặp dạng khảo sát lợi nhuận). Mô hình: lợi nhuận = (giá bán − giá nhập) × số lượng. Cả giá bán và số lượng đều bậc nhất theo biến giảm giá, nên tích là bậc hai.
Ba lỗi khiến em chọn sai đáp án:
- Lấy doanh thu làm lợi nhuận, quên trừ 30.000 đồng giá nhập. Doanh thu lớn nhất không trùng lợi nhuận lớn nhất.
- Chỉ thử các mốc chẵn 40.000 và 45.000 rồi chọn 40.000 vì bán được nhiều quả hơn. Phải so tổng lãi, không so số quả.
- Đặt x là số tiền giảm (đồng) nhưng lại cộng thêm 50 quả cho mỗi đồng. Cần thống nhất đơn vị: hoặc x là số lần giảm 5.000 đồng, hoặc t là số nghìn đồng đã giảm và mỗi 5 nghìn đồng thì thêm 50 quả.
Nếu đề chỉ cho giảm theo bước nguyên, em vẫn lập P(x) rồi so các giá trị nguyên kề đỉnh. Ở bài này đỉnh x = 1,6 không nguyên, nhưng giá 42.000 đồng vẫn là nghiệm đúng của mô hình liên tục mà đề yêu cầu.
Bài luyện tập có đáp số
Bài 1. Một quầy bán cam sành, giá niêm yết 40.000 đồng thì bán được 20 quả. Cứ giảm 2.000 đồng một quả thì bán thêm 10 quả. Giá nhập 20.000 đồng/quả. Tìm giá bán để lãi lớn nhất.
Đáp án: Gọi x là số lần giảm 2.000 đồng. P(x) = (20.000 − 2.000x)(20 + 10x) = −20.000x² + 160.000x + 400.000. Đỉnh tại x = 160.000/40.000 = 4. Giá bán 40.000 − 8.000 = 32.000 đồng, bán 60 quả, lãi (32.000 − 20.000) × 60 = 720.000 đồng.
Bài 2. Với chính cửa hàng bưởi Đoan Hùng ở đề bài, nếu chủ quán muốn lãi ít nhất 1.400.000 đồng thì những giá nào trong bảng trên đạt?
Đáp án: 42.000 đồng (1.440.000) và 40.000 đồng (1.400.000). Mức 45.000 đồng chỉ lãi 1.350.000 nên chưa đủ.
Bài 3. Đặt t là số nghìn đồng giảm so với 50 (đơn vị nghìn đồng). Viết lại hàm lãi và tìm t.
Đáp án: Mỗi 1 nghìn đồng giảm thì bán thêm 10 quả. Giá bán 50 − t, số quả 40 + 10t, lãi một quả 20 − t (nghìn đồng). P = (20 − t)(40 + 10t) = −10t² + 160t + 800. Đỉnh t = 8. Giá bán 50 − 8 = 42 nghìn đồng, tức 42.000 đồng, P = 1.440 nghìn đồng. Cùng kết quả với cách đặt x = 1,6.
Câu hỏi thường gặp
Giá bán bưởi Đoan Hùng để lợi nhuận lớn nhất là bao nhiêu?
42.000 đồng mỗi quả. Cửa hàng bán được 120 quả và lãi 1.440.000 đồng.
Nếu đề ghi giảm 1.000 đồng thì bán thêm 10 quả thì đáp án có đổi không?
Không đổi. Đó là cùng một quan hệ cầu với cách nói giảm 5.000 đồng thì bán thêm 50 quả, nên giá tối ưu vẫn là 42.000 đồng.
Vì sao bán 140 quả với giá 40.000 đồng lại lãi ít hơn?
Lãi mỗi quả chỉ còn 10.000 đồng, tổng 1.400.000 đồng, thấp hơn 1.440.000 đồng tại giá 42.000 đồng.
Bài này thuộc dạng toán nào của lớp 12?
Cực trị của hàm bậc hai: lợi nhuận là tích của hai đại lượng bậc nhất theo số lần giảm giá.