Trả lời nhanh
Hình lập phương có 9 mặt phẳng đối xứng. Trong đó có 3 mặt phẳng trung trực của các cạnh (mỗi mặt đi qua trung điểm của 4 cạnh song song) và 6 mặt phẳng chéo (mỗi mặt chứa hai cạnh đối diện). Nếu đề cho bốn phương án, hãy chọn phương án ghi số 9.
Mặt phẳng đối xứng là gì?
Mặt phẳng (P) là mặt phẳng đối xứng của một hình (H) nếu phép đối xứng qua (P) biến (H) thành chính nó. Nói cách khác, (P) chia hình thành hai nửa mà nửa này là “ảnh qua gương” của nửa kia.
Với khối đa diện, ta thường kiểm tra bằng cách xem phép đối xứng qua (P) có biến mỗi đỉnh thành một đỉnh của hình hay không.
Cách đếm 9 mặt phẳng đối xứng của hình lập phương
Xét hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Ta chia các mặt phẳng đối xứng thành hai nhóm.
Nhóm 1: 3 mặt phẳng trung trực của các cạnh
Mỗi mặt phẳng loại này song song với một cặp mặt đối diện và cách đều hai mặt đó. Nó đi qua trung điểm của 4 cạnh song song với nhau.
- Mặt phẳng song song với (ABCD) và (A’B’C’D’), cắt các cạnh bên AA’, BB’, CC’, DD’ tại trung điểm.
- Mặt phẳng song song với (ABB’A’) và (CDD’C’).
- Mặt phẳng song song với (ADD’A’) và (BCC’B’).
Có 3 cặp mặt đối diện nên có đúng 3 mặt phẳng loại này.
Nhóm 2: 6 mặt phẳng chéo
Mỗi mặt phẳng loại này chứa hai cạnh đối diện (hai cạnh song song, không nằm cùng một mặt), tạo thành một thiết diện là hình chữ nhật. Ví dụ: mặt phẳng (BDD’B’) chứa cạnh BB’ và DD’.
Cách đếm: hình lập phương có 12 cạnh, chia thành 3 nhóm song song, mỗi nhóm 4 cạnh. Trong mỗi nhóm, hai cạnh “chéo nhau qua tâm” (đối xứng qua tâm hình) xác định một mặt phẳng; 4 cạnh tạo ra 2 mặt phẳng như vậy. Vậy có 3 × 2 = 6 mặt phẳng.
Cách đếm thứ hai: đó là các mặt phẳng chứa một đường chéo của một mặt và vuông góc với mặt ấy, ứng với 6 cặp cạnh đối diện: (AA’, CC’), (BB’, DD’), (AB, C’D’), (CD, A’B’), (AD, B’C’), (BC, A’D’).
Tổng: 3 + 6 = 9.
Bảng tổng hợp
| Loại mặt phẳng | Đặc điểm | Số lượng |
|---|---|---|
| Trung trực của cạnh | Song song với một cặp mặt, đi qua trung điểm 4 cạnh | 3 |
| Mặt phẳng chéo | Chứa hai cạnh đối diện | 6 |
| Cộng | 9 |
Lỗi sai thường gặp
- Chỉ đếm 3 mặt phẳng: quên các mặt phẳng chéo. Mặt phẳng đi qua một đường chéo của mặt và cạnh bên tương ứng cũng là mặt phẳng đối xứng.
- Đếm 4 mặt phẳng chứa đường chéo của khối: không đúng. Mặt phẳng chéo không phải được chọn theo đường chéo khối mà theo cặp cạnh đối diện; có 6 mặt chứ không phải 4.
- Đếm 12 hoặc 13: do nhầm mặt phẳng chéo với mặt phẳng đi qua ba đỉnh bất kì. Mặt phẳng (ACB’) cắt khối nhưng không phải mặt phẳng đối xứng.
Mẹo nhớ
Nhớ nhanh: “3 song song với mặt + 6 chéo qua cạnh = 9”. Con số 9 cũng bằng số mặt phẳng đối xứng của bát diện đều, vì hai khối này đối ngẫu nhau.
Bài luyện tập
- Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Đáp án: 3 mặt phẳng trung trực của các cạnh. Không có mặt chéo vì thiết diện chéo không chia hình thành hai nửa bằng nhau. - Lăng trụ tứ giác đều (đáy là hình vuông, cạnh bên vuông góc đáy và khác cạnh đáy) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Đáp án: 5. Gồm 1 mặt phẳng song song với đáy ở giữa, 2 mặt trung trực của cạnh đáy và 2 mặt chứa đường chéo đáy. - Tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Đáp án: 6. Mỗi mặt phẳng chứa một cạnh và trung điểm cạnh đối diện.
Câu hỏi thường gặp
Hình lập phương có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Có 9 mặt phẳng đối xứng, gồm 3 mặt phẳng trung trực của các cạnh và 6 mặt phẳng chéo chứa hai cạnh đối diện.
Hình lập phương có bao nhiêu trục đối xứng?
Có 9 trục đối xứng quay: 3 trục đi qua tâm hai mặt đối diện, 6 trục đi qua trung điểm hai cạnh đối diện. Ngoài ra còn 4 đường chéo khối là trục quay bậc 3, nên tổng số trục quay là 13.
Hình lập phương có tâm đối xứng không?
Có. Giao điểm của bốn đường chéo của khối là tâm đối xứng duy nhất của hình lập phương.
Hình hộp chữ nhật có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Nếu ba kích thước khác nhau thì có 3 mặt phẳng đối xứng. Nếu có hai kích thước bằng nhau (đáy vuông) thì có 5, còn nếu cả ba bằng nhau thì là hình lập phương với 9 mặt.