Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên $\left(-\infty ;+\infty \right)$?

Phương pháp giải:

•Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Giả sử K là khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y = f(x) là hàm số xác định trên K.

- Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ $\Rightarrow$ f(x₁) < f(x₂).

- Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ $\Rightarrow$ f(x₁) > f(x₂).

Chú ý:

- Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải (H.1.3a).

- Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải (H.1.3b).

- Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên K. Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số.

- Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà không chỉ rõ tập K thì ta hiểu là xét trên tập xác định của hàm số đó.

• Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

- Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng K.

- Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng K.

Chú ý:

- Định lí trên vẫn đúng trong trường hợp f'(x) bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trong khoảng K.

- Người ta chứng minh được rằng, nếu f'(x) = 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) không đổi trên khoảng K.

• Các bước xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x)

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số y = f(x).

Bước 2. Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm x_i (i = 1, 2, …, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 3. Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Xem thêm một số kiến thức liên quan:

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số (Kết nối tri thức) | Lý thuyết Toán 12

Phương pháp giải Tính đơn điệu của hàm số