Chứng minh rằng với n thuộc N* n^3 + 3n^2 + 5n chia hết cho 3...

Question

Chứng minh rằng với n ∈ N*: n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3

VietJack · Accepted Answer

Cách 1: Quy nạpĐặt An = n3 + 3n2 + 5n+ Ta có: với n = 1A1 = 1 + 3 + 5 = 9 chia hết 3+ giả sử với n = k ≥ 1 ta có:Ak = (k3 + 3k2 + 5k) chia hết 3 (giả thiết quy nạp)Ta chứng minh Ak + 1 chia hết 3Thật vậy, ta có:Ak + 1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5 = (k3 + 3k2 + 5k) + 3k2 + 9k + 9Theo giả thiết quy nạp: k3 + 3k2 + 5k ⋮ 3Mà 3k2 + 9k + 9 = 3.(k2 + 3k + 3) ⋮ 3⇒ Ak + 1 ⋮ 3.Cách 2: Chứng minh trực tiếp.Có: n3 + 3n2 + 5n = n.(n2 + 3n + 5) = n.(n2 + 3n + 2 + 3) = n.(n2 + 3n + 2) + 3n = n.(n + 1)(n + 2) + 3n.Mà: n(n + 1)(n + 2) ⋮ 3 (tích của ba số tự nhiên liên tiếp)3n ⋮ 3⇒ n3 + 3n2 + 5n = n(n + 1)(n + 2) + 3n ⋮ 3.Vậy n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 với mọi ∀n ∈ N*

Câu hỏi:

Chứng minh rằng với $n \in N * : n^{3} + 3 n^{2} + 5 n$ chia hết cho 3

Trả lời:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có đẳng thức: $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + . . . . + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Câu 2:

Chứng minh rằng với $n \in N *$ thì $1 + 2 + 3 + . . . + n = \frac{n (n + 1)}{2}$

Câu 3:

Chứng minh rằng với $n \in N * : n^{3} + 11 n$ chia hết cho 6.

Câu 4:

Chứng minh rằng với $n \in N *$ , ta có đẳng thức: $2 + 5 + 8 + . . . + 3 n - 1 = \frac{n (3 n + 1)}{2}$

Câu 5:

cho tổng $S_{n} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + . . . + \frac{1}{n (n + 1)}$ với $n \in N *$
a.Tính S1, S2, S3
b.Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp.

Câu 6:

Chứng minh rằng với $n \in N * : 4^{n} + 15 n - 1$ chia hết cho 9

Câu 7:

Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là $n (n - 3) / 2$

Câu 8:

Chứng minh rằng với $n \in N *$ , ta có đẳng thức: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + . . . + \frac{1}{2^{n}} = \frac{2^{n} - 1}{2^{n}}$

Câu 9:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 2$ , ta có bất đẳng thức: $3^{n} > 3 n + 1$

Câu 10:

Xét hai mệnh đề chứa biến P(n): $“ 3 n < n + 100 ”$ và Q(n): $" 2 n > n "$ với $n \in N $ .
a) Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
b) Với mọi n ∈ N thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

Câu 11:

Cho hai số $3^{n}$ và 8n với $n \in N *$ .
a) So sánh $3^{n}$ và 8n khi $n = 1, 2, 3, 4, 5 .$
b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Câu 12:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 2$ , ta có các bất đẳng thức: $2^{n + 1} > 2 n + 3$

Đề thi liên quan

Câu hỏi mới nhất