Chứng minh rằng với n thuộc N*: n^3 + 11n chia hết cho 6....

Question

Chứng minh rằng với n ∈ N*: n3 + 11n chia hết cho 6.

VietJack · Accepted Answer

Cách 1: Chứng minh quy nạp.Đặt Un = n3 + 11n+ Với n = 1 ⇒ U1 = 12 chia hết 6+ giả sử đúng với n = k ≥ 1 ta có:Uk = (k3 + 11k) chia hết 6 (giả thiết quy nạp)Ta cần chứng minh: Uk + 1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) chia hết 6Thật vậy ta có:Uk+1 = (k + 1)3 + 11(k +1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 11k + 11 = (k3 + 11k) + 3k2 + 3k + 12 = Uk + 3(k2 + k + 4)Mà: Uk ⋮ 6 (giả thiết quy nạp)3.(k2 + k + 4) ⋮ 6. (Vì k2 + k + 4 = k(k + 1) + 4 ⋮2)⇒ Uk + 1 ⋮ 6.Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ N*.Cách 2: Chứng minh trực tiếp.Có: n3 + 11n= n3 – n + 12n= n(n2 – 1) + 12n= n(n – 1)(n + 1) + 12n.Vì n(n – 1)(n + 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3⇒ n(n – 1)(n + 1) ⋮ 6.Lại có: 12n ⋮ 6⇒ n3 + 11n = n(n – 1)(n + 1) + 12n ⋮ 6.

Câu hỏi:

Chứng minh rằng với $n \in N * : n^{3} + 11 n$ chia hết cho 6.

Trả lời:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có đẳng thức: $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + . . . . + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Câu 2:

Chứng minh rằng với $n \in N *$ thì $1 + 2 + 3 + . . . + n = \frac{n (n + 1)}{2}$

Câu 3:

Chứng minh rằng với $n \in N *$ , ta có đẳng thức: $2 + 5 + 8 + . . . + 3 n - 1 = \frac{n (3 n + 1)}{2}$

Câu 4:

cho tổng $S_{n} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + . . . + \frac{1}{n (n + 1)}$ với $n \in N *$
a.Tính S1, S2, S3
b.Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp.

Câu 5:

Chứng minh rằng với $n \in N * : 4^{n} + 15 n - 1$ chia hết cho 9

Câu 6:

Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là $n (n - 3) / 2$

Câu 7:

Chứng minh rằng với $n \in N * : n^{3} + 3 n^{2} + 5 n$ chia hết cho 3

Câu 8:

Chứng minh rằng với $n \in N *$ , ta có đẳng thức: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + . . . + \frac{1}{2^{n}} = \frac{2^{n} - 1}{2^{n}}$

Câu 9:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 2$ , ta có bất đẳng thức: $3^{n} > 3 n + 1$

Câu 10:

Xét hai mệnh đề chứa biến P(n): $“ 3 n < n + 100 ”$ và Q(n): $" 2 n > n "$ với $n \in N $ .
a) Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
b) Với mọi n ∈ N thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

Câu 11:

Cho hai số $3^{n}$ và 8n với $n \in N *$ .
a) So sánh $3^{n}$ và 8n khi $n = 1, 2, 3, 4, 5 .$
b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Câu 12:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 2$ , ta có các bất đẳng thức: $2^{n + 1} > 2 n + 3$

Đề thi liên quan

Câu hỏi mới nhất