Chứng minh rằng với mọi n thuộc N thì $A=n^4\mathrm{ }+2n^3\mathrm{ }+2n^2\mathrm{ }+2n+1$ không phải số chính phương

 

 

$A=n^4+2n^3+2n^2+2n+1$

$=(n^4+2n^3+n^2)+(n^2+2n+1)$

$=n^2(n^2+2n+1)+(n^2+2n+1)$

$=n^2\mathrm{.}{(n+1)}^2+{(n+1)}^2$

$=(n^2+1){(n+1)}^2$

Vì $n^2<n^2+1<{(n+1)}^2$ nên $n^2+1$ không thể là số chính phương

$A=(n^2+1){(n+1)}^2$ không thể là số chính phương (đpcm)

Phương pháp giải:

Nhận biết số chính phương vào tính chất của chúng, ta có một số tính chất quan trọng sau:

- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0,1,4,5,6,9. Nếu các số tận cùng là 2,3,7,8 thì không phải là số chính phương.

- Ngoại trừ số 0 và số 1 thì các số chính phương còn lại: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100..v.v Đều là số chính phương lớn hơn 1.

- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.

- Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 4 dạng: 4n hoặc 4n + 1, 3n hoặc 3n + 1

Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2, 4n + 2 hoặc 4n + 3 (với n thuộc tập hợp số tự nhiên N).

- Số chính phương có chữ số tận cùng là 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.

- Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

- Số chính phương chia cho 3 không bao giờ có số dư là 2; chia cho 4 không bao giờ dư 2 hoặc 3; số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1. Ví dụ: 81:8 = 10 dư 1.

- Số ước nguyên dương của số chính phương chính là một số lẻ.

- Tất cả các số chính phương đều có thể viết thành dãy tổng của các số lẻ tăng dần từ 1. Bắt đầu từ 1; 1 + 3; 1 + 3 + 5; 1 + 3 + 5 + 7; 1 + 3 + 5 + 7 + 9;…v.v