Cho số phức z = 1 + 2i. Môđun số phức $\frac{z}{\overline{z}}+\frac{\overline{z}}{z}$ bằng

Đáp án đúng là: B

Ta có số phức z = 1 + 2i nên suy ra $\overline{z}=1-2i$

Xét các biểu thức:

+) $z+\overline{z}=\left(1+2i\right)+\left(1-2i\right)=2$

+) $z.\overline{z}={\left|z\right|}^2=1^2+2^2=5$

Ta có xét số phức

$w=\frac{z}{\overline{z}}+\frac{\overline{z}}{z}=\frac{z^2+{\overline{z}}^2}{z.\overline{z}}=\frac{{\left(z+\overline{z}\right)}^2-2z.\overline{z}}{z.\overline{z}}$

$=\frac{2^2-2.5}{5}=-\frac{6}{5}$

Vậy Mô đun của số phức w là

$\left|w\right|=\left|-\frac{6}{5}\right|=\frac{6}{5}.$

 

Phương pháp giải:

Áp dụng các kiến thức:

a) Số phức \[z\] là biểu thức có dạng \[z=a+bi\,\,\,(a,\,\,b\in \mathbb{R},\,\,{{i}^{2}}=-1)\]. Khi đó:

+) Phần thực của \[z\] là \[a\], phần ảo của \[z\] là \[b\] và \[i\] được gọi là đơn vị ảo.

b) Số phức liên hợp của \[z\] là \[\overline{z}=\overline{a+bi}=a-bi\].

c) Mô đun của số phức.

+) Mô đun của số phức \[z\] là $\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$.

+) $\left| z \right|=\sqrt{z.\overline{z}}$; $\left| z \right|=\left| \overline{z} \right|$

d) Cộng, trừ, nhân, chia số phức

Cho hai số phức \[{{z}_{1}}~=a+bi\]và \[{{z}_{2}}~=c+d\,i\] thì:

• Phép cộng số phức: \[{{z}_{1}}+\text{ }{{z}_{2}}=\left( a+c \right)+\left( b+d \right)i\]

• Phép trừ số phức: \[{{z}_{1}}-\text{ }{{z}_{2}}=\left( a-c \right)+\left( b-d \right)i\]

• Phép nhân số phức: \[{{z}_{1}}.{{z}_{2}}~=\left( ac-bd \right)+\left( ad+bc \right)i\]

• Phép chia số phức: $\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=\frac{{{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}}{{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}}=\frac{ac+bd}{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}+\frac{bc-ad}{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}.i$ (với $({{z}_{2}}\ne 0)$.

Tham khảo thêm một số kiến thức liên quan:

Lý thuyết + Bài tập Số phức

50 Bài tập Số phức có đáp án