Cho hàm số f(x) có đạo hàm, liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn các điều kiệnf1=0 và ∫01f'x2dx=∫01x+1exfxdx=ex−14 . Tính tích phân ∫01fxdx bằng

Đáp án D Đặt u=fxdv=x+1exdx⇔du=f'xv=∫x+1exdx=x.ex . Suy ra ∫01x+1exfxdx=xex.fx01−∫01xex.f'xdx⇒∫01xex.f'xdx=1−e24 . Chọn k sao cho ∫01f'x+k.xex2dx=0⇔∫01f'x2dx+2k.∫01xex.f'xdx+k2.∫01x2e2xdx=0 ⇔e2−14−2k.e2−14+k2.e2−14=0⇔k−12=0⇔k=1⇒f'x=−xex. Do đó fx=∫f'xdx=−∫xexdx=−x−1ex+C mà f1=0⇒C=0 . Vậy fx=−x−1ex⇒∫01fxdx=∫011−xexdx=e−2 .

Câu hỏi:

23/07/2024 313

Cho hàm số f(x) có đạo hàm, liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn các điều kiện $f (1) = 0$ và $\int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x = \int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} f (x) d x = \frac{e^{x} - 1}{4}$ . Tính tích phân $\int_{0}^{1} f (x) d x$ bằng

A. $\frac{e - 1}{2}$

B. $\frac{e^{2}}{4}$ .

C. $\frac{e}{2}$ .

D. $e - 2$ .

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Xem toàn bộ đề thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án D

Đặt $\{\begin{cases} u = f (x) \\ d v = (x + 1) e^{x} d x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} d u = f^{'} (x) \\ v = \int (x + 1) e^{x} d x = x . e^{x} \end{cases}$ .

Suy ra $\int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} f (x) d x = {x e^{x} . f (x)|}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x e^{x} . f^{'} (x) d x \Rightarrow \int_{0}^{1} x e^{x} . f^{'} (x) d x = \frac{1 - e^{2}}{4}$ .

Chọn k sao cho

$\int_{0}^{1} {[f^{'} (x) + k . x e^{x}]}^{2} d x = 0 \Leftrightarrow \int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x + 2 k . \int_{0}^{1} x e^{x} . f^{'} (x) d x + k^{2} . \int_{0}^{1} x^{2} e^{2 x} d x = 0$

$\Leftrightarrow \frac{e^{2} - 1}{4} - 2 k . \frac{e^{2} - 1}{4} + k^{2} . \frac{e^{2} - 1}{4} = 0 \Leftrightarrow {(k - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow k = 1 \Rightarrow f^{'} (x) = - x e^{x}$ .

Do đó $f (x) = \int f^{'} (x) d x = - \int x e^{x} d x = - (x - 1) e^{x} + C$ mà $f (1) = 0 \Rightarrow C = 0$ .

Vậy $f (x) = - (x - 1) e^{x} \Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} (1 - x) e^{x} d x = e - 2$ .

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - (m + 1) x^{2} + (m^{2} + 2 m) x - 3$ nghịch biến trên khoảng $(- 1; 1)$ .

Xem đáp án » 28/10/2024 9 K

Câu 2:

Có bao nhiêu số nguyên M thuộc khoảng $(- 10; 10)$ để hàm số $y = |2 x^{2} - 2 m x + 3|$ đồng biến trên $(1; + \infty)$ ?

Xem đáp án » 23/07/2024 3.5 K

Câu 3:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-1;4] và có đồ thị trên đoạn [-1;4] như hình vẽ bên. Tích phân $\int_{- 1}^{4} f (x) d x$ bằng

Xem đáp án » 22/07/2024 3.1 K

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Hình chiếu vuông góc của S trên AB là điểm H thỏa mãn AH=2BH. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

Xem đáp án » 21/07/2024 2.2 K

Câu 5:

Cho hình chóp A.ABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi H và K lần lượt là trung điểm của cạnh BC và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD.

Xem đáp án » 18/07/2024 1.8 K

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0) , C(0;0;c) với z,b,c là các số thực dương thay đổi tùy ý sao cho $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$ . Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) lớn nhất bằng

Xem đáp án » 23/07/2024 1.1 K

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu có tâm I(1;1;1) và diện tích bằng $4 π$ có phương trình là

Xem đáp án » 16/07/2024 685

Câu 8:

Cho hai hàm số $f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ và $g (x) = m x^{3} + n x^{2} + p x + 1$ với a, b, c, d, e, m, n, p, q là các số thực. Đồ thị của hai hàm số $y = f^{'} (x); y = g^{'} (x)$ như hình vẽ dưới. Tổng các nghiệm của phương trình $f (x) + q = g (x) + e$ bằng

Xem đáp án » 15/07/2024 676

Câu 9:

Trên mặt phẳng Oxy ta xét một hình chữ nhật ABCD với các điểm $A (- 2; 0)$ , $B (- 2; 2)$ , $C (4; 2)$ , $D (4; 0)$ . Một con châu chấu nhảy trong hình chữ nhật đó tính cả trên cạnh hình chữ nhật sao cho chân nó luôn đáp xuống mặt phẳng tại các điểm có tọa độ nguyên (tức là điểm có cả hoành độ và tung độ đều nguyên). Tính xác suất để nó đáp xuống các điểm $M (x; y)$ mà $x + y < 2$ .

Xem đáp án » 18/07/2024 634

Câu 10:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị được cho như hình vẽ bên dưới. Hỏi phương trình $|f (x^{3} - 3 x + 1) - 2| = 1$ có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Xem đáp án » 23/07/2024 583

Câu 11:

Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc (IJ,CD) bằng:

Xem đáp án » 17/07/2024 471

Câu 12:

Trong không gian Oxyz, cho bốn đường thẳng: $d_{1} : \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 1}{1}$ , $d_{2} : \frac{x}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 1}{1}$ , $d_{3} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{1}$ , $d_{4} : \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 1}{1}$ . Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là

Xem đáp án » 13/07/2024 391

Câu 13:

Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 3}{x + 1}$ . Khi đó, điểm I nằm trên đường thẳng có phương trình:

Xem đáp án » 19/07/2024 375

Câu 14:

Một cái cột có hình dạng như hình bên (gồm một khối nón và một khối trụ khép lại). Chiều cao đo được ghi trên hình, chu vi đáy là 20cm. Thể tích của cột bằng

Xem đáp án » 23/07/2024 335

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Trắc nghiệm Hàm số lũy thừa có đáp án

32 câu hỏi 0 lượt thi Chi tiết
Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (P1) (Vận dụng)

15 câu hỏi 0 lượt thi Chi tiết
Đề kiểm tra 1 tiết Giải tích 12 Chương 4 có đáp án

20 câu hỏi 0 lượt thi Chi tiết
Bộ Đề thi THPT Quốc gia chuẩn cấu trúc Bộ Giáo dục môn Toán 2019 (Đề số 5)

50 câu hỏi 0 lượt thi Chi tiết
Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay (Đề 6)

50 câu hỏi 0 lượt thi Chi tiết
Đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) Đề số 10

50 câu hỏi 0 lượt thi Chi tiết
Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)

20 câu hỏi 0 lượt thi Chi tiết
Đề thi Học kì 2 Giải tích 12 có đáp án

34 câu hỏi 0 lượt thi Chi tiết
Bộ Đề thi THPT Quốc gia chuẩn cấu trúc Bộ Giáo dục môn Toán 2019 (Đề số 6)

50 câu hỏi 0 lượt thi Chi tiết
Bô đề luyện thi thpt quốc gia môn Toán cực hay có lời giải (Đề số 2)

50 câu hỏi 0 lượt thi Chi tiết

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »

Bảng 22, Bảng 23 lần lượt biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình các tháng năm 2021 tại Hà Nội và Huế (đơn vị: độ C).

Nhóm	Giá trị đại diện	Tần số	Nhóm	Giá trị đại diện	Tần số
[16,8; 19,8)	18,3	2	[16,8; 19,8)	18,3	1
[19,8; 22,8)	21,3	3	[19,8; 22,8)	21,3	2
[22,8; 25,8)	24,3	2	[22,8; 25,8)	24,3	3
[25,8; 28,8)	27,3	1	[25,8; 28,8)	27,3	2
[28,8; 31,8)	30,3	4	[28,8; 31,8)	30,3	4
		n = 12			n = 12

Bảng 22 Bảng 23

(Nguồn: Niên giám Thống kê 2021, NXB Thống kê, 2022)

a) Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của Hà Nội và Huế.

1 K 19/07/2024 Xem đáp án

Cho mẫu số liệu ghép nhóm có tứ phân vị thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là Q₁, Q₂, Q₃. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng:

A. 2Q₂.

B. Q₁ – Q₃.

C. Q₃ – Q₁.

D. Q₃ + Q₁ – Q₂.

835 16/07/2024 Xem đáp án

Xem thêm »

Câu hỏi:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm, liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn các điều kiệnf1=0 và ∫01f'x2dx=∫01x+1exfxdx=ex−14 . Tính tích phân ∫01fxdx bằng

A. e−12

B. e24 .

C. e2 .

D. e−2 .

Trả lời:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y=13x3−m+1x2+m2+2mx−3 nghịch biến trên khoảng −1;1 .

Câu 2:

Có bao nhiêu số nguyên M thuộc khoảng −10;10 để hàm số y=2x2−2mx+3 đồng biến trên 1;+∞ ?

Câu 3:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-1;4] và có đồ thị trên đoạn [-1;4] như hình vẽ bên. Tích phân ∫−14fxdx bằng

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Hình chiếu vuông góc của S trên AB là điểm H thỏa mãn AH=2BH. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

Câu 5:

Cho hình chóp A.ABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi H và K lần lượt là trung điểm của cạnh BC và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0) , C(0;0;c) với z,b,c là các số thực dương thay đổi tùy ý sao cho a2+b2+c2=3. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) lớn nhất bằng

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu có tâm I(1;1;1) và diện tích bằng 4πcó phương trình là

Câu 8:

Cho hai hàm số fx=ax4+bx3+cx2+dx+e và gx=mx3+nx2+px+1 với a, b, c, d, e, m, n, p, q là các số thực. Đồ thị của hai hàm số y=f'x; y=g'x như hình vẽ dưới. Tổng các nghiệm của phương trình fx+q=gx+e bằng

Câu 9:

Câu 10:

Cho hàm số y=fx có đồ thị được cho như hình vẽ bên dưới. Hỏi phương trình fx3−3x+1−2=1 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Câu 11:

Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc (IJ,CD) bằng:

Câu 12:

Trong không gian Oxyz, cho bốn đường thẳng: d1:x−31=y+1−2=z+11 , d2:x1=y−2=z−11 , d3:x−12=y+11=z−11 , d4:x1=y−1−1=z−11 . Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là

Câu 13:

Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của đồ thị hàm số y=2x−3x+1 . Khi đó, điểm I nằm trên đường thẳng có phương trình:

Câu 14:

Một cái cột có hình dạng như hình bên (gồm một khối nón và một khối trụ khép lại). Chiều cao đo được ghi trên hình, chu vi đáy là 20cm. Thể tích của cột bằng

Đề thi liên quan

Câu hỏi mới nhất

Cho hàm số f(x) có đạo hàm, liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn các điều kiện $f (1) = 0$ và $\int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x = \int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} f (x) d x = \frac{e^{x} - 1}{4}$ . Tính tích phân $\int_{0}^{1} f (x) d x$ bằng

A. $\frac{e - 1}{2}$

B. $\frac{e^{2}}{4}$ .

C. $\frac{e}{2}$ .

D. $e - 2$ .

Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - (m + 1) x^{2} + (m^{2} + 2 m) x - 3$ nghịch biến trên khoảng $(- 1; 1)$ .

Có bao nhiêu số nguyên M thuộc khoảng $(- 10; 10)$ để hàm số $y = |2 x^{2} - 2 m x + 3|$ đồng biến trên $(1; + \infty)$ ?

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-1;4] và có đồ thị trên đoạn [-1;4] như hình vẽ bên. Tích phân $\int_{- 1}^{4} f (x) d x$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0) , C(0;0;c) với z,b,c là các số thực dương thay đổi tùy ý sao cho $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$ . Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) lớn nhất bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu có tâm I(1;1;1) và diện tích bằng $4 π$ có phương trình là

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị được cho như hình vẽ bên dưới. Hỏi phương trình $|f (x^{3} - 3 x + 1) - 2| = 1$ có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 3}{x + 1}$ . Khi đó, điểm I nằm trên đường thẳng có phương trình: