Cho \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\). Tính \(A = \frac{{\tan \alpha + 4\cot \alpha }}{{\tan \alpha + \cot \alpha }}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có

\(A = \frac{{\tan \alpha + 4\cot \alpha }}{{\tan \alpha + \cot \alpha }}\)\( = \frac{{\tan \alpha + 4.\frac{1}{{\tan \alpha }}}}{{\tan \alpha + \frac{1}{{\tan \alpha }}}}\)\( = \frac{{\frac{{{{\tan }^2}\alpha + 4}}{{\tan \alpha }}}}{{\frac{{{{\tan }^2}\alpha + 1}}{{\tan \alpha }}}}\)

\( = \frac{{{{\tan }^2}\alpha + 4}}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}} = \frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} + 3}}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}} = 1 + 3{\cos ^2}\alpha \).

Thay \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\) vào biểu thức \(A = 1 + 3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = 1 + 3.\frac{1}{9} = \frac{4}{3}\).

Bài tập liên quan: 

Cho góc α thỏa mãn cotα = 3. Tính P = sin4α – cos4α.

A. \( - \frac{4}{5}\);

B.\( - \frac{9}{{10}}\);

C. \(\frac{4}{5}\);

D. \(\frac{9}{{10}}\).

Cách giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có P = sin4α – cos4α \( = \left( {{{\sin }^2}\alpha - {{\cos }^2}\alpha } \right).\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right) = {\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha \).

Do cotα = 3, suy ra sinα ≠ 0.

Chia cả hai vế của biểu thức cho sin2α ta được: \(\frac{P}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 - {\cot ^2}\alpha \)

\( \Leftrightarrow P\left( {1 + {{\cot }^2}\alpha } \right) = 1 - {\cot ^2}\alpha \)

Thay cotα = 3 vào ta được: P.(1 + 9) = 1 – 9 \( \Leftrightarrow P = \frac{{ - 8}}{{10}} = \frac{{ - 4}}{5}\).

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức | Tổng hợp kiến thức Toán 11 Kết nối tri thức

20 Bài tập Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (sách mới) – Toán 11