Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Bài 5: Hình chữ nhật – Hình vuông sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 8.

Lý thuyết Toán lớp 8 Bài 5: Hình chữ nhật – Hình vuông

A. Lý thuyết Hình chữ nhật – Hình vuông

I. Hình chữ nhật

1. Khái niệm

Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

2. Tính chất

Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Nhận xét: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.

3. Dấu hiệu nhận biết

Nếu một tứ giác có ba góc vuông thì góc còn lại cũng là góc vuông và tứ giác đó là hình chữ nhật.

II. Hình vuông

1. Khái niệm

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

2. Tính chất 

Trong một hình vuông, hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau, cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và là các đường phân giác của các góc của hình vuông.

3. Dấu hiệu nhận biết hình vuông

- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

- Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

Ví dụ: 

Hình b là hình chữ nhật vì có 4 góc vuông.

Hình d là hình vuông.

B. Bài tập Hình chữ nhật – Hình vuông

Bài 1.Cho tam giác ADC vuông tại D có đường trung tuyến DE (E ∈ AC). Trên tia đối của tia ED lấy điểm B sao cho EB = ED.

a) Tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao?

b) Biết AD = 5 dm, DC = 4 dm. Tính chu vi tứ giác ABCD.

Hướng dẫn giải

a) Vì DE là đường trung tuyến của tam giác ADC nên E là trung điểm của AC

Vì EB = ED nên E là trung điểm của BD

Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành.

Theo giả thiết, ta có $\widehat{ADC}=90°$nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

b) Chu vi hình chữ nhật ABCD là: (5 + 4) . 2 = 18 (dm).

Bài 2.Cho $\widehat{xOy}=90°$ và tia phân giác Om. Lấy điểm A bất kì trên tia Om. Kẻ AB, AC lần lượt vuông góc với Ox, Oy. Chứng minh OBAC là hình vuông.

Hướng dẫn giải

Ta có: AB ⊥ Ox, AC ⊥ Oy nên $\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90°$ .

Lại có $\widehat{xOy}=90°$ nên tứ giác OBAC có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

Mà A nằm trên tia phân giác Om của $\widehat{xOy}$ nên OA là tia phân giác của $\widehat{BOC}$

Do đó hình chữ nhật OBAC là hình vuông.

Bài 3. Cho hình vuông FIHG. Trên các cạnh FI, IH, HG, GF lần lượt lấy các điểm J, M, N, K sao cho FJ = IM = HN = GK.

a) Chứng minh các tam giác KFJ, JIM, MHN và KNG bằng nhau.

b) Tứ giác KJMN là hình gì? Tại sao?

Hướng dẫn giải

a) Vì FIHG là hình vuông nên $\widehat{KFI}=\widehat{FIH}=\widehat{IHG}=\widehat{HGK}=90°$ và FI = IH = HG = GF (1)

Theo giả thiết: FJ = IM = HN = GK (2)

Từ (1) và (2) suy ra: JI = MH = NG = KF

Xét ∆KFJ và ∆JIM có:

$\widehat{KFJ}=\widehat{JIM}=90°$

FJ = IM (giả thiết);

KF = JI (chứng minh trên)

Do đó DKFJ = DJIM (hai cạnh góc vuông)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

∆JIM = ∆MHN; ∆MHN = ∆NGK (hai cạnh góc vuông).

Vậy ∆KFJ = ∆JIM = ∆MHN = ∆NGK.

b) Theo câu b, ∆KFJ = ∆JIM nên KJ = JM (hai cạnh tương ứng).

Tương tự, JM = MN, MN = NK

Suy ra KJ = JM = MN = KN.

Do đó tứ giác KJMN là hình thoi.

Do DKFJ = DJIM (theo câu b) nên $\widehat{JKF}=\widehat{MJI}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{KJF}+\widehat{JKF}=90°$ (hai góc nhọn trong tam giác vuông KFJ)

Suy ra $\widehat{KJF}+\widehat{MJI}=90°$

Lại có $\widehat{KJF}+\widehat{KJM}+\widehat{MJI}=180°$ , nên $\widehat{KJM}=90°$

Hình thoi KJMN có nên là hình vuông.

Bài 4. Cho DABC nhọn có AB < AC. Gọi N là trung điểm của AC. Lấy điểm D trên tia BN sao cho ND = NB.

a) Chứng minh ABCD là hình bình hành.

b) Kẻ AP ⊥ BC, CQ ⊥ AD. Chứng minh P, N, Q thẳng hàng.

c) DABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác ABCD là hình vuông?

Hướng dẫn giải

a) Tứ giác ACBD có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường nên là hình bình hành.

b) Ta có: AP ⊥ BC, AQ // BC (do ACBD là hình bình hành)

Suy ra AP ⊥ AQ.

Tứ giác APCQ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

Khi đó hai đường chéo AC, PQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà N là trung điểm của AC nên N là trung điểm của PQ

Do đó P, N, Q thẳng hàng.

c) Để tứ giác ABCD là hình vuông thì cần AB ⊥ BC, AB = BC

Hay DABC vuông cân tại B.

Video bài giảng Toán 8 Bài 5: Hình chữ nhật – Hình vuông - Chân trời sáng tạo

Xem thêm các bài tóm tắt Lý thuyết Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 4: Hình bình hành – Hình thoi

Lý thuyết Bài 5: Hình chữ nhật – Hình vuông

Lý thuyết Bài 1: Khái niệm hàm số