Chuyên đề Phân số và số thập phân

Chuyên đề Phân số và số thập phân | Cánh diều Toán lớp 6

Van Anh Ngày: 07-03-2024 Lớp 6

Mua tài liệu 415

Tài liệu chuyên đề Phân số và số thập phân Toán lớp 6 sách Cánh diều gồm lý thuyết và các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao với phương pháp giải chi tiết và bài tập tự luyện đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán 6.

Chỉ từ 450k mua trọn bộ Chuyên đề dạy thêm Toán 6 Cánh diều word có lời giải chi tiết:

B1: Gửi phí vào tài khoản0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)

B2: Nhắn tin tới zalo Vietjack Official - nhấn vào đây

Xem thử tài liệu tại đây: Link tài liệu

Chuyên đề Phân số và số thập phân

Tài liệu gồm 5 chuyên đề nhỏ, mời bạn đọc xem thử nội dung Chuyên đề Các phép toán về cộng, trừ, nhân, chia phân số:

CHUYÊN ĐỀ 2: CÁC PHÉP TOÁN VỀ CỘNG, TRỪ, NHÂN , CHIA PHÂN SỐ

PHẦN I.TÓM TẮT LÍ THUYẾT.

A- PHÉP CỘNG

1. Cộng hai phân số cùng mẫu

Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu số, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu\[\frac{a}{m} + \frac{b}{m} = \frac{{a + b}}{m}\]

2. Cộng phân số không cùng mẫu

Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta viết các phân số đó dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu rồi cộng các tử và giữa nguyên mẫu chung.

3. Tính chất cơ bản của phép cộng phân số

Tương tự phép cộng số nguyên, phép cộng phân số có các tính chất cơ bản sau:

+ Tính chất giao hoán: \[ - \frac{a}{b}\]

+ Tính chất kết hợp: \[\frac{a}{b} + \left( { - \frac{a}{b}} \right) = 0\]

+ Cộng với số 0: \[ - \frac{a}{b} = \frac{{ - a}}{b} = \frac{a}{{ - b}}\]

B – PHÉP TRỪ

1. Số đối

- Hai số được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.

- Số đối của phân số \[\frac{a}{m} + \frac{b}{m} = \frac{{a + b}}{m}\] được kí hiệu là \[ - \frac{a}{b}\]

* Chú ý: \[\frac{a}{b} + \left( { - \frac{a}{b}} \right) = 0\] và \[ - \frac{a}{b} = \frac{{ - a}}{b} = \frac{a}{{ - b}}\]

2. Phép trừ hai phân số

- Muốn trừ một phân số cho một phân số, ta cộng số bị trừ với số đối của số trừ. Nghĩa là:\[\frac{7}{{ - 25}} + \frac{{ - 8}}{{25}}\]

- Kết quả của phép trừ \[\frac{7}{{ - 25}}\] được gọi là hiệu của \[\frac{7}{{ - 25}} = \frac{{7.\left( { - 1} \right)}}{{\left( { - 25} \right).\left( { - 1} \right)}} = \frac{{ - 7}}{{25}}\] và \[\frac{{ - 7}}{{25}} + \frac{{ - 8}}{{25}} = \frac{{\left( { - 7} \right) + \left( { - 8} \right)}}{{25}} = \frac{{ - 15}}{{25}} = \frac{{\left( { - 15} \right):5}}{{25:5}} = \frac{{ - 3}}{5}\]

* Chú ý:

- Muốn trừ một phân số cho một phân số không cùng mẫu ta quy đồng mẫu rồi lấy từ của phân số bị trừ trừ đi tử của phân số trừ và giữ nguyên mẫu chung.

- Từ \[\frac{1}{6} + \frac{{ - 5}}{6}\] ta suy ra \[\frac{a}{b} = \frac{e}{f} - \frac{c}{d}\]. Như vậy ta cũng có quy tắc chuyển vế đổi dấu như đối với số nguyên.

C – PHÉP NHÂN

+ Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau: $\frac{a}{b}.\frac{c}{d} = \frac{{a.c}}{{b.d}}$ $\left( {a;b;c;d \in \mathbb{Z};\,\,b;d \ne 0} \right)$

+ Lưu ý: Muốn nhân một số nguyên với một phân số (hoặc một phân số với một số nguyên), ta nhân số nguyên với tử của phân số và giữ nguyên mẫu: $c.\frac{a}{b} = \frac{{c.a}}{b}$ $\left( {a;b;c \in \mathbb{Z};\,\,b \ne 0} \right)$

+ Các tính chất:

• Tính chất giao hoán: \[\frac{a}{b}.\frac{c}{d} = \frac{c}{d}.\frac{a}{b}\].

• Tính chất kết hợp: \[\left( {\frac{a}{b}.\frac{c}{d}} \right).\frac{p}{q} = \frac{a}{b}.\left( {\frac{c}{d}.\frac{p}{q}} \right)\].

• Nhân với số 1: \[\frac{a}{b}.1 = 1.\frac{a}{b} = \frac{a}{b}\]

• Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: \[\frac{a}{b}.\left( {\frac{c}{d} + \frac{p}{q}} \right) = \frac{a}{b}.\frac{c}{d} + \frac{a}{b}.\frac{p}{q}\]

D- PHÉP CHIA PHÂN SỐ

+ Số nghịch đảo : Hai số gọi là nghịch đảo của nhau nêu tích của chúng bằng \[1\].

+ Phép chia phân số

Muốn chia một phân số hoặc một số nguyên cho một phân số ta nhân số bị chia với nghịch đảo của số

chia: \[\frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a}{b}.\frac{d}{c} = \frac{{a.d}}{{b.c}};\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}a:\frac{c}{d} = a.\frac{d}{c} = \frac{{ad}}{{b.c}}(c \ne 0)\]

+ Lưu ý: Muốn chia một phân số cho một số nguyên (khác 0), ta giữ nguyên tử của phân số và nhân mẫu với số nguyên: \[\frac{a}{b}:c = \frac{a}{{b.c}}(c \ne 0).\]

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.

Dạng 1. Phép cộng các phân số

I. Phương pháp giải.

- Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu số, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu \[\frac{a}{m} + \frac{b}{m} = \frac{{a + b}}{m}\]

- Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta viết các phân số đó dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu rồi cộng các tử và giữa nguyên mẫu chung.

II.Bài toán.

Bài 1. Cộng phân số cùng mẫu ( rút gọn nếu có thể ) :

a) \[\frac{1}{6} + \frac{{ - 5}}{6}\] b) \[\frac{7}{{ - 25}} + \frac{{ - 8}}{{25}}\] c) \[\frac{6}{{13}} + \frac{{ - 15}}{{39}}\] d) \[\frac{5}{7} + \frac{4}{{ - 14}}\] e) \[\frac{{ - 8}}{{18}} + \frac{{ - 15}}{{27}}\]

Lời giải:

a) \[\frac{1}{6} + \frac{{ - 5}}{6} = \frac{{1 + \left( { - 5} \right)}}{6} = \frac{{ - 4}}{6} = \frac{{ - 2}}{3}\]

b) Trước hết ta sẽ đưa phân số \[\frac{7}{{ - 25}}\] thành phân số có mẫu dương, nghĩa là: \[\frac{7}{{ - 25}} = \frac{{7.\left( { - 1} \right)}}{{\left( { - 25} \right).\left( { - 1} \right)}} = \frac{{ - 7}}{{25}}\]

Khi đó hai phân số sẽ cùng mẫu, ta thực hiện phép cộng hai phân số có cùng mẫu (rồi rút gọn nếu có thể): \[\frac{{ - 7}}{{25}} + \frac{{ - 8}}{{25}} = \frac{{\left( { - 7} \right) + \left( { - 8} \right)}}{{25}} = \frac{{ - 15}}{{25}} = \frac{{\left( { - 15} \right):5}}{{25:5}} = \frac{{ - 3}}{5}\]

c) Trước hết ta sẽ rút gọn phân số \[\frac{{ - 15}}{{39}}\]: \[\frac{{ - 15}}{{39}} = \frac{{ - 15:3}}{{39:3}} = \frac{{ - 5}}{{13}}\]

Khi đó hai phân số sẽ cùng mẫu, ta thực hiện phép cộng hai phân số có cùng mẫu (rồi rút gọn nếu có thể):\[\frac{6}{{13}} + \frac{{ - 5}}{{13}} = \frac{{6 + \left( { - 5} \right)}}{{13}} = \frac{1}{{13}}\]

d) \[\frac{5}{7} + \frac{4}{{ - 14}} = \frac{5}{7} + \frac{{ - 2}}{7} = \frac{3}{7}\]

e) $\frac{- 18}{24} + \frac{15}{21} = \frac{- 3}{4} + \frac{5}{7} = \frac{- 21}{28} + \frac{20}{28} = \frac{- 1}{28}$

Bài 2. Cộng phân số khác mẫu ( rút gọn nếu có thể ) :

a) \[\frac{3}{5} + \frac{{ - 7}}{4}\] b) \[\left( { - 2} \right) + \frac{{ - 5}}{8}\] c) \[\frac{1}{{ - 8}} + \frac{{ - 5}}{9}\] d) \[\frac{6}{{13}} + \frac{{ - 14}}{{39}}\] e) \[\frac{{ - 18}}{{24}} + \frac{{15}}{{21}}\]

Lời giải:

a) \[\frac{3}{5} + \frac{{ - 7}}{4} = \frac{{12}}{{20}} + \frac{{ - 35}}{{20}} = \frac{{ - 23}}{{20}}\] b) \[\left( { - 2} \right) + \frac{{ - 5}}{8} = \frac{{ - 2}}{1} + \frac{{ - 5}}{8} = \frac{{ - 16}}{8} + \frac{{ - 5}}{8} = \frac{{ - 21}}{8}\]

c) \[\frac{1}{{ - 8}} + \frac{{ - 5}}{9} = \frac{{ - 9}}{{72}} + \frac{{40}}{{72}} = \frac{{31}}{{72}}\] d) \[\frac{6}{{13}} + \frac{{ - 14}}{{39}} = \frac{{18}}{{39}} + \frac{{ - 14}}{{39}} = \frac{4}{{39}}\]

e) \[\frac{{ - 18}}{{24}} + \frac{{15}}{{21}} = \frac{{ - 3}}{4} + \frac{5}{7} = \frac{{ - 21}}{{28}} + \frac{{20}}{{28}} = \frac{{ - 1}}{{28}}\]

Bài 3. Tìm x, biết :

1) \[x = \frac{{ - 1}}{2} + \frac{3}{4}\] 2) \[x - \frac{1}{5} = \frac{2}{{11}}\] 3) \[x - \frac{5}{6} = \frac{{16}}{{42}} + \frac{{ - 8}}{{56}}\]

4) \[\frac{x}{5} = \frac{5}{6} + \frac{{ - 19}}{{30}}\] 5) \[\left| x \right| - \frac{1}{4} = \frac{6}{{18}}\] 6) \[x = \frac{{ - 1}}{2} + \frac{3}{4}\]

7) \[\frac{x}{{15}} = \frac{3}{5} + \frac{{ - 2}}{3}\] 8) \[\frac{{11}}{8} + \frac{{13}}{6} = \frac{{85}}{x}\] 9) \[x - \frac{7}{8} = \frac{{13}}{{12}}\]

10) \[x - \frac{{ - 6}}{{15}} = \frac{4}{{27}}\] 11)\[ - \frac{{ - 6}}{{12}} + x = \frac{9}{{48}}\] 12) \[x - \frac{4}{6} = \frac{5}{{25}} + \frac{{ - 7}}{{15}}\]

13)\[x - \frac{4}{5} = \frac{6}{{20}} + \frac{{ - 7}}{3}\] 14) \[ - \frac{{ - 7}}{5} + x = \frac{4}{9}\]

Lời giải:

1) \[x = \frac{{ - 1}}{2} + \frac{3}{4}\]

\[x = \frac{{ - 2}}{4} + \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\]

Vậy $x = \frac{1}{4}$

2) \[x - \frac{1}{5} = \frac{2}{{11}}\]

$x = \frac{2}{{11}} + \frac{1}{5} = \frac{{10}}{{55}} + \frac{{11}}{{55}} = \frac{{21}}{{55}}$

Vậy $x = \frac{{21}}{{55}}$

3) \[x - \frac{5}{6} = \frac{{16}}{{42}} + \frac{{ - 8}}{{56}}\]

\[x - \frac{5}{6} = \frac{8}{{21}} + \frac{{ - 1}}{7}\]

\[x - \frac{5}{6} = \frac{8}{{21}} + \frac{{ - 3}}{{21}}\]

\[x - \frac{5}{6} = \frac{5}{{21}}\]

\[ \Rightarrow x = \frac{5}{{21}} + \frac{5}{6} = \frac{{10}}{{42}} + \frac{{35}}{{42}} = \frac{{45}}{{42}} = \frac{{15}}{{14}}\]

Vậy $x = \frac{{15}}{{14}}$

4) \[\frac{x}{5} = \frac{5}{6} + \frac{{ - 19}}{{30}}\]

\[\frac{x}{5} = \frac{{25}}{{30}} + \frac{{ - 19}}{{30}}\]

\[\frac{x}{5} = \frac{6}{{30}}\]

\[\frac{x}{5} = \frac{1}{5}\]

$ \Rightarrow x = 1$

Vậy $x = 1$

5) \[\left| x \right| - \frac{1}{4} = \frac{6}{{18}}\]

\[\left| x \right| = \frac{6}{{18}} + \frac{1}{4}\]

\[\left| x \right| = \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\]\[ = \frac{4}{{12}} + \frac{3}{{12}}\]

\[\left| x \right| = \frac{7}{{12}}\]

Vậy $x \in \left\{ { \pm \frac{7}{{12}}} \right\}$

6) \[x = \frac{{ - 1}}{2} + \frac{3}{4}\]

\[x = \frac{{ - 2}}{4} + \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\]

Vậy $x = \frac{1}{4}$

7) \[\frac{x}{{15}} = \frac{3}{5} + \frac{{ - 2}}{3}\]

\[\frac{x}{{15}} = \frac{9}{{15}} + \frac{{ - 10}}{{15}}\]

\[\frac{x}{{15}} = \frac{{ - 1}}{{15}}\]

Vậy (x = - 1)

8) \[\frac{{11}}{8} + \frac{{13}}{6} = \frac{{85}}{x}\]

\[\frac{{33}}{{24}} + \frac{{52}}{{24}} = \frac{{85}}{x}\]

\[\frac{{85}}{{24}} = \frac{{85}}{x}\]

$ \Rightarrow x = 24$

Vậy $x = 24$

9) \[x - \frac{7}{8} = \frac{{13}}{{12}}\]

\[ \Rightarrow x = \frac{{13}}{{12}} + \frac{7}{8} = \frac{{26}}{{24}} + \frac{{21}}{{24}} = \frac{{47}}{{24}}\]

Vậy $x = \frac{{47}}{{24}}$

10) \[x - \frac{{ - 6}}{{15}} = \frac{4}{{27}}\]

\[ \Rightarrow x = \frac{4}{{27}} + \frac{{ - 6}}{{15}} = \frac{{20}}{{135}} + \frac{{ - 54}}{{135}} = \frac{{ - 34}}{{135}}\]

Vậy $x = \frac{{ - 34}}{{135}}$

11)\[ - \frac{{ - 6}}{{12}} + x = \frac{9}{{48}}\]

\[ \Rightarrow x = \frac{9}{{48}} + \frac{{ - 6}}{{12}} = \frac{9}{{48}} + \frac{{ - 24}}{{48}} = \frac{{ - 15}}{{48}} = \frac{{ - 5}}{{16}}\]

Vậy $x = \frac{{ - 5}}{{16}}$

12) \[x - \frac{4}{6} = \frac{5}{{25}} + \frac{{ - 7}}{{15}}\]

\[x - \frac{4}{6} = \frac{{15}}{{75}} + \frac{{ - 35}}{{75}}\]

\[x - \frac{4}{6} = \frac{{ - 20}}{{75}} = \frac{{ - 4}}{{15}}\]

\[ \Rightarrow x = \frac{{ - 4}}{{15}} + \frac{4}{6} = \frac{{ - 8}}{{30}} + \frac{{20}}{{30}} = \frac{{12}}{{30}} = \frac{2}{5}\]

Vậy $x = \frac{2}{5}$

13)\[x - \frac{4}{5} = \frac{6}{{20}} + \frac{{ - 7}}{3}\]

\[x - \frac{4}{5} = \frac{3}{{10}} + \frac{{ - 7}}{3}\]

\[x - \frac{4}{5} = \frac{9}{{30}} + \frac{{ - 70}}{{30}}\]

\[x - \frac{4}{5} = \frac{{ - 61}}{{30}}\]

\[x = \frac{{ - 61}}{{30}} + \frac{4}{5}\]\[ = \frac{{ - 61}}{{30}} + \frac{{24}}{{30}}\]

\[x = \frac{{ - 37}}{{30}}\]

Vậy $x = \frac{{ - 37}}{{30}}$

14) \[ - \frac{{ - 7}}{5} + x = \frac{4}{9}\]

\[ \Rightarrow x = \frac{4}{9} + \frac{{ - 7}}{5} = \frac{{20}}{{45}} + \frac{{ - 63}}{{45}} = \frac{{ - 43}}{{45}}\]

Vậy $x = \frac{{ - 43}}{{45}}$

Bài 4. Hai người cùng làm chung một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất phải mất $4$ giờ, người thứ hai phải mất $7$ giờ mới xong công việc. Hỏi nếu làm chung thì mỗi giờ cả hai người làm được mấy phần công việc?

Lời giải:

Coi toàn bộ công việc là $1$ đơn vị.

Người thứ nhất làm xong công việc trong $4$ giờ. Suy ra trong $1$ giờ làm được \[\frac{1}{4}\] công việc.

Người thứ hai làm xong công việc trong $7$ giờ. Suy ra trong $1$ giờ làm được \[\frac{1}{7}\] công việc.

Vậy trong $1$ giờ, cả hai cùng làm thì được số phần công việc là: \[\frac{1}{4} + \frac{1}{7} = \frac{{11}}{{28}}\] công việc.