Tài liệu chuyên đề Tính chia hết trong tập hợp các số tự nhiên Toán lớp 6 sách Kết nối tri thức gồm lý thuyết và các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao với phương pháp giải chi tiết và bài tập tự luyện đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán 6. 

Chỉ từ 450k mua trọn bộ Chuyên đề dạy thêm Toán 6 Kết nối tri thức bản word có lời giải chi tiết:

B1: Gửi phí vào tài khoản0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)

B2: Nhắn tin tới zalo Vietjack Official - nhấn vào đây

Xem thử tài liệu tại đây: Link tài liệu

Chuyên đề Tính chia hết trong tập hợp các số tự nhiên

Tài liệu gồm 6 chuyên đề nhỏ, mời bạn đọc xem thử nội dung Chuyên đề Tính chia hết trong tập hợp các số tự nhiên:

Chuyên đề 2: ƯỚC VÀ BỘI CỦA SỐ TỰ NHIÊN

ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT – BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.

1. Ước và bội

§  Nếu có số tự nhiên a chia hết cho b thì ta nói a là bội của b, còn b là ước của a.

§  Tập hợp ước của a là: Ư\(\left( a \right)\), tập hợp các bội của b kí hiệu: B\(\left( b \right)\).

           Ví dụ: Ư\(\left( {30} \right) = \left\{ {1;2;3;5;6;10;15;30} \right\}\)

                       B\(\left( 2 \right) = \left\{ {0;2;4;6;8;...;2k;....} \right\}\).

2. Ước chung và ước chung lớn nhất

§  Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b.

§  Số lớn nhất trong các ước chung của a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b.

§  Ta kí hiệu: tập hợp các ước chung của a và b là: ƯC\(\left( {a,b} \right)\),

tập hợp các ước chung lớn nhất của a và b kí hiệu: ƯC LN\(\left( {a,b} \right)\).

Ví dụ: ƯC\(\left( {30,48} \right) = \left\{ {1;2;3;6} \right\}\), ƯCLN\(\left( {30,48} \right) = 6\).

Chú ý: ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng.

§  Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1.

§  Phân số tối giản là phân số có tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau.

§  Cách tìm ƯCLN:

Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Bước 2: Chọn ra các thừa số chung

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn. mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

3. Bội chung và bội chung nhỏ nhất

§  Số tự nhiên n được gọi là bội chung của hai số a và b nếu n vừa là bội của a vừa là bội của b.

§  Số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của a và b được gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b.

§  Ta kí hiệu: tập hợp các bội chung của a và b là: BC\(\left( {a,b} \right)\),

tập hợp các bội chung nhỏ nhất của a và b kí hiệu: BCNN\(\left( {a,b} \right)\).

Ví dụ: BC\(\left( {4,5} \right) = \left\{ {0;20;40;60;...} \right\}\),

            BCNN\(\left( {4,5} \right) = 20\).

Chú ý: Bội chung của nhiều số là bội của bội chung nhỏ nhất của chúng.

Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là tích của các số đó.

§  Cách tìm BCNN:

Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Bước 2: Chọn ra các thừa số chung và riêng

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn. mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

§  Nhận xét:

BCNN\(\left( {a,1} \right) = a\)

BCNN\(\left( {a,b,1} \right) = \) BCNN\(\left( {a,b} \right)\)

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.

A. ƯỚC VÀ BỘI, ƯỚC CHUNG - BỘI CHUNG CỦA SỐ TỰ NHIÊN.

Dạng 1. Nhận biết một số là ước (bội) của một số cho trước.

I. Phương pháp giải.

+ Để xét \[a\]có là ước của một số cho trước hay không, ta chia số đó cho \[a\]. Nếu chia hết thì \[a\] là ước của số đó.

+ Để xét \[b\]có là bội của một số khác \[0\] hay không, ta chia \[b\] cho số đó. Nếu chia hết thì \[b\] là bội của số đó.                                                                    

II. Bài toán.

Bài 1. Cho các số sau \[0\,;\,1\,;\,3\,;\,14\,;\,7\,;\,10\,;\,12\,;\,5\,;\,20\], tìm các số

a) Là Ư\[\left( 6 \right)\]                                                       b) Là Ư\[\left( {10} \right)\]    

Lời giải

a) Vì trong các số đã cho \[6\] chia hết cho  \[1\,;\,3\]nên \[\left\{ {1\,;\,3} \right\} \in \] Ư\[\left( 6 \right)\]

b) Vì trong các số đã cho \[10\] chia hết cho \[1\,;\,5\,;\,10\]nên \[\left\{ {1\,;\,5\,;\,10} \right\} \in \] Ư\[\left( {10} \right)\]

Bài 2. Cho các số sau \[13\,;\,19\,;\,20\,;\,36\,;\,121\,;\,125\,;\,201\,;\,205\,;\,206\], chỉ ra các số thuộc tập hợp sau:

a) Là B\[\left( 3 \right)\]                                                        b) Là B\[\left( 5 \right)\]     

Lời giải

a) Vì trong các số đã cho \[36\,;\,201\] chia hết cho \[3\] nên \[\left\{ {36\,;\,201} \right\} \in \] B\[\left( 3 \right)\]

b) Vì trong các số đã cho \[20\,;\,125\,;\,205\] chia hết cho \[5\] nên \[\left\{ {20\,;\,125\,;\,205} \right\} \in \] B\[\left( 5 \right)\]

Dạng 2. Tìm tất cả các ước (bội) của một số.                                                           

I.Phương pháp giải.

+ Để tìm tất cả các ước của một số \[a\] ta làm như sau:

Bước 1: Chia \[a\] lần lượt cho các số \[1\,;\,2\,;\,3\,;\,...\,;\,a\]

Bước 2:  Liệt kê các số mà \[a\] chia hết. Đó là tất cả các ước của \[a\]

+ Để tìm bội của một số \[b\,\,\,\left( {b \ne 0} \right)\] ta làm như sau:

Bước 1: Nhân \[b\] lần lượt cho các số \[0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,...\,\]

Bước 2: Liệt kê các số thu được. Đó là tất cả các bội của \[b\]

Lưu ý: Nếu bài toán tìm ước (bội) của một số thỏa mãn điều kiện cho trước ta làm như sau:

Bước 1: Liệt kê các ước (bội) của số đó

Bước 2: Chọn ra các số thỏa mãn điều kiện đề bài.

II.Bài toán.

Bài 1.

a) Tìm tập hợp các ước của \[6\,;\,10\,;\,12\,;\,13\,\]

b) Tìm tập hợp các bội của \[4\,;\,7\,;\,8\,;\,12\]

Lời giải

a) Ư\[\left( 6 \right) = \left\{ {1\,;\,2\,;3\,;6} \right\}\]                                                         Ư\[\left( {10} \right) = \left\{ {1\,;\,2\,;5\,;10} \right\}\]

Ư\[\left( {12} \right) = \left\{ {1\,;\,2\,;3\,;4\,;\,6\,;\,12} \right\}\]                                       Ư\[\left( {13} \right) = \left\{ {1\,;\,13} \right\}\]

b) \[B\left( 4 \right) = \left\{ {0\,;\,4\,;\,8\,;\,12\,;\,16\,;...} \right\}\]                                               \[B\left( 7 \right) = \left\{ {0\,;\,7\,;\,14\,;\,21\,;\,28\,;...} \right\}\]

\[B\left( 8 \right) = \left\{ {0\,;\,8\,;\,16\,;\,24\,;\,32\,;...} \right\}\]                                     \[B\left( {12} \right) = \left\{ {0\,;\,12\,;\,24\,;\,36\,;\,48\,;...} \right\}\]

Bài 2. Tìm các số tự nhiên \[x\] sao cho

a) \[x \in \] Ư\[\left( {12} \right)\]và \[2 \le x \le 8\]                                                  b) \[x \in \]\[B\left( 5 \right)\]và \[20 \le x \le 36\]                          

c) \[x\, \vdots \,5\] và \[13 < x \le 78\]                                                d) \[12\, \vdots \,x\] và \[x > 4\]                          

Lời giải

a) Ta có Ư\[\left( {12} \right) = \left\{ {1\,;\,2\,;3\,;4\,;\,6\,;\,12} \right\}\]Vì \[x \in \] Ư\[\left( {12} \right)\]và \[2 \le x \le 8\]nên \[x \in \left\{ {2\,;\,3\,;\,4\,;6} \right\}\]

b) \[x \in \]\[B\left( 5 \right)\]và \[20 \le x \le 36\]  Vì \[x \in \]\[B\left( 5 \right)\] nên \[x \in \left\{ {0\,;\,5\,;\,10\,;15\,;\,20\,;\,25\,;30\,;\,35\,;\,40\,;...} \right\}\]

Mặt khác \[20 \le x \le 36\]\[ \Rightarrow x \in \left\{ {20\,;\,25\,;30\,;\,35} \right\}\]

c) \[x\, \vdots \,5\] và \[13 < x \le 78\]Vì \[x\, \vdots \,5\] nên \[x \in \]\[B\left( 5 \right)\] do đó \[x \in \left\{ {0\,;\,5\,;\,10\,;15\,;\,20\,;\,25\,;30\,;\,35\,;\,40\,;...} \right\}\]

Mặt khác \[13 < x \le 78\]\[ \Rightarrow x \in \left\{ {15\,;\,20\,;\,25\,;30\,;\,35\,;\,40\,;45\,;\,50\,;55\,;\,60\,;\,65\,;70\,;\,75} \right\}\]

d) \[12\, \vdots \,x\] và \[x > 4\] Vì \[12\, \vdots \,x\] nên \[x \in \] Ư \[\left( {12} \right) = \left\{ {1\,;\,2\,;3\,;4\,;\,6\,;\,12} \right\}\] và \[x > 4\] nên \[x \in \left\{ {6\,;\,12} \right\}\]

Bài 3. Tìm tập hợp các số tự nhiên vừa là ước của  \[100\] vừa là bội của \[25\].

Lời giải

Gọi \[x\] là số tự nhiên cần tìm. Ta có Ư \[\left( {100} \right) = \left\{ {1\,;\,2\,\,;4\,;\,5\,;\,10\,;\,20\,;\,25\,;\,50\,;\,100} \right\}\]

Vì \[x \in B\left( {25} \right)\] nên \[x\, \vdots \,25\]

\[ \Rightarrow x \in \left\{ {\,25\,;50\,;\,100} \right\}\]

Dạng 3. Tìm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện chia hết.

I. Phương pháp giải.

Áp dụng tính chất chia hết của một tổng (hiệu) và định nghĩa ước của một số tự nhiên.

II. Bài toán.

Bài 1. Tìm số tự nhiên \[n\] sao cho:

a) \[3\, \vdots \,n\]                                                                              b) \[3\, \vdots \,(n + 1)\]

c) \[(n + 3)\, \vdots \,(n + 1)\]                                                d) \[(2n + 3)\, \vdots \,(n - 2)\]

Lời giải                                      

a) \[3\, \vdots \,n \Leftrightarrow n \in \] Ư \[\left( 3 \right) = \left\{ {1\,\,;3\,} \right\}\]

Vậy \[n \in \left\{ {\,1\,;3} \right\}\]

b) \[3\, \vdots \,(n + 1)\]\[ \Leftrightarrow \left( {n + 1} \right) \in \] Ư \[\left( 3 \right) = \left\{ {1\,\,;3\,} \right\}\]

Vậy \[(n + 1) \in \left\{ {\,1\,;3} \right\} \Rightarrow n \in \left\{ {\,0\,;2} \right\}\]

c) \[(n + 3)\, \vdots \,(n + 1)\]

Ta có \[(n + 3)\, \vdots \,(n + 1)\] và \[(n + 1)\, \vdots \,(n + 1)\].

Áp dụng tính chất chia hết của tổng (hiệu) ta có \[\left[ {(n + 3)\, - \,(n + 1)} \right]\, \vdots \,(n + 1) \Leftrightarrow 2 \vdots \,(n + 1)\]

\[ \Leftrightarrow \left( {n + 1} \right) \in \] Ư \[\left( 2 \right) = \left\{ {1\,\,;2\,} \right\}\]

Vậy \[n \in \left\{ {\,1\,;0} \right\}\]

d) \[(2n + 3)\, \vdots \,(n - 2)\]

Ta có \[(2n + 3)\, \vdots \,(n - 2)\] và \[(n - 2)\, \vdots \,(n - 2)\].

Áp dụng tính chất chia hết của tổng (hiệu) ta có \[\left[ {(2n + 3)\, - \,2(n - 2)} \right]\, \vdots \,(n - 2) \Leftrightarrow 7 \vdots \,(n - 2)\]

\[ \Leftrightarrow \left( {n - 2} \right) \in \] Ư \[\left( 7 \right) = \left\{ {1\,\,;7\,} \right\}\]

 Vậy \[n \in \left\{ {\,3\,;9} \right\}\]

Dạng 4. Viết tập hợp các ước chung (bội chung) của hai hay nhiều số.

I. Phương pháp giải.

Bước 1. Viết tập hợp các ước (bội) của các số đã cho.

Bước 2. Tìm giao của các tập hợp đó.

II. Bài toán.

Bài 1. Viết các tập hợp sau:

a) ƯC\[\left( {24\,,\,40} \right)\]                                                       b) ƯC\[\left( {20\,,\,30} \right)\]

c) BC\[\left( {2\,,\,8} \right)\]                                                            d) BC\[\left( {10\,,\,15} \right)\]

Lời giải

Dạng 5: Bài toán có lời văn.

I. Phương pháp giải.

Bước 1: Phân tích đề bài, chuyển bài toán về tìm ước (bội), ước chung, (bội chung) của các số cho trước.

Bước 2: Áp dụng cách tìm ước (bội), ước chung, (bội chung) của các số cho trước.

II. Bài toán.

Bài 1. Có \[20\] viên bi. Bạn Minh muốn chia đều số viên bi vào các hộp. Tìm số hộp và số viên bi trong mỗi hộp? Biết không có hộp nào chứa \[1\] hay  \[20\]viên bi.

Lời giải

Số hộp và số viên bi trong mỗi hộp phải là ước số của \[20\].

Ta có Ư\[\left( {20} \right) = \left\{ {1\,;\,2\,\,;4\,;\,5\,;\,10\,;\,20\,} \right\}\].

Vì không có hộp nào chứa \[1\] hay \[20\] viên bi, nên số viên bi trong mỗi hộp chỉ có thể là \[2\,\,;4\,;\,5\,;\,10\] tương ứng với số hộp là \[10\,\,;5\,;\,4\,;\,2\]

Bài 2. Năm nay Bình \[12\] tuổi. Tuổi của mẹ Bình là bội số của tuổi Bình. Tìm tuổi của mẹ Bình biết tuổi của mẹ lớn hơn \[30\] và nhỏ hơn \[45\].

Lời giải

Gọi \[x\] là số tuổi của mẹ Bình \[\left( {x \in {\rm N};\,30 < x < 45} \right)\]

Tuổi của mẹ Bình là bội số của tuổi Bình nên \[x \in B\left( {12} \right)\]

Mà \[30 < x < 45\] nên \[x = 36\]thỏa mãn đk. Vậy mẹ Bình \[36\] tuổi.

Bài 3. Học sinh lớp 6A nhận được phần thưởng của nhà trường và mỗi em nhận được phần thưởng như nhau. Cô hiệu trưởng đã chia hết \[129\] quyển vở và \[215\] bút chì màu. Hỏi số học sinh lớp 6A là bao nhiêu?

Lời giải

Ta thấy số phần thưởng phải là ƯC\[\left( {129\,,\,215} \right)\]

Có ƯC\[\left( {129\,,\,215} \right) = \left\{ {1\,;\,43} \right\}\]

Vì số học sinh lớp 6A không thể bằng \[1\] nên số học sinh lớp 6A bằng \[43\]

Bài 4. Tính số học sinh của một trường biết rằng mỗi lần xếp hàng \[4\], hàng \[5\], hàng \[6\], hàng \[7\]đều vừa đủ hàng và số học sinh của trường trong khoàng từ \[415\] đến \[421\].

Lời giải

Gọi \[x\] là số học sinh của trường. \[\left( {x \in {\rm N};\,415 < x < 421} \right)\]

Vì mỗi lần xếp hàng \[4\], hàng \[5\], hàng \[6\], hàng \[7\]đều vừa đủ hàng nên \[x\] chia hết cho \[4;\,5\,;6\,;\,7\].

Tức là \[x \in BC\left( {4;\,5\,;6\,;\,7} \right) = \left\{ {0\,;\,420\,;\,840\,;\,...} \right\}\] Mà \[415 < x < 421\] nên \[x = 420\]

Vậy số học sinh của trường là \[420\] học sinh.